24.3正多边形和圆课时训练-2023-2024学年九年级上册人教版（含解析）

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24.3正多边形和圆课时训练-2023-2024学年九年级上册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．如图是一个正八边形，则它（　　）
A．只是轴对称图形 B．只是中心对称图形
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
2．利用圆的等分，在半径为3的圆中作出如图的图案，则相邻两等分点之间的距离为（ ）
A．3 B． C．4 D．6
3．内角为的正多边形是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，以点为圆心的两个同心圆把以为半径的大圆的面积三等分，这两个圆的半径分别为，．则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（ ）
A．72° B．60° C．48° D．36°
6．一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
7．若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．正多边形的作图，正边形的中心角为 ．
10．正n边形的中心角为72°，则 ．
11．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD的度数为 °．
12．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，连接DF．若DF恰好是同圆的一个内接正多边形的一边，则这个正多边形的边数为 ．
13．如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正 边形．
14．有一个边长是的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，则这个圆形纸片的最小半径是 .
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为 ．

16．如图所示，若的度数等于38°，则∠CBE+∠D的度数为 .
三、解答题
17．如图，正六边形内接于，求的度数．
18．在圆内接四边形中，，，的度数比是，求四边各内角的度数.
19．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径．
20．如图，正方形内接于，E是的中点，连接．

(1)求∠E的度数．
(2)求证：．
(3)若，则点E到的距离为 ．
21．如图，已知．

(1)用尺规作图作的内接正六边形（不写作法、保留作图痕迹）；
(2)若的半径为2，求所作正六边形的面积．
22．如图，正六边形内接于，半径为．

(1)求的长度；
(2)若G为的中点，连接，求的长度．
参考答案：
1．C
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：正八边形既是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．熟练掌握定义是解答本题的关键．
2．A
【分析】如解析图，只需要证明是等边三角形，即可得到．
【详解】解：如图所示，A、B是相邻两等分点，连接，
由题意得，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，证明是等边三角形是解题的关键．
3．B
【分析】先求解正多边形的每一个外角，再利用外角和除以这个外角的大小可得正多边形的边数，从而可得答案．
【详解】解：∵内角为的正多边形的每一个外角为：
∴正多边形的边数为：
故选B
【点睛】本题考查的是正多边形的内角与相邻的外角互补，求解正多边形的边数，掌握“利用正多边形的外角和为”是解本题的关键．
4．C
【分析】根据圆的面积公式得出方程，根据算术平方根求出OA、OB、OC的值，再代入即可得出答案
【详解】解：以OA半径的圆的面积是πr2，则以OB半径的圆的面积是πr2，则以OC半径的圆的面积是πr2
∴πr2，πr2，
∴OB＝r，OC＝r．
∴OA：OB：OC＝r：r：r＝ ：：1，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，算术平方根，圆的面积的应用，解此题的关键是能根据题意得出关于OA、OB、OC的方程，难度不是很大．
5．A
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式： 是解题的关键．
6．C
【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据正多边形的中心角与边数的关系即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，
是等边三角形，
，
则这个正多边形的边数为，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的中心角与边数的关系是解题关键．
7．C
【分析】根据题意，内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则正n边形的中心角为 ，由 可得结果．
【详解】解： 内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，
正n边形的中心角为，
，
n的值为6，
故选：C．
【点睛】本题考查了正n边形中心角的定义，熟记并理解正n边形中心角的定义是解决本题的关键．
8．B
【分析】①没有边相等的信息不能判定其是正多边形；②符合正三角形的定义；③仅有各角相等没有边相等的信息不能判定其是圆内正多边形；④符合圆内接多边形的定义．
【详解】①错误，如矩形，满足条件，却不是正多边形；②正确；③错误，如圆内接矩形，满足条件，却不是正多边形；④正确．共有2个正确．
故选B
【点睛】本题考查正多边形的定义、性质、圆与正多边形的关系，掌握正多边形的性质、圆的内接正多边形的性质是解题关键.
9．
【分析】利用正多边形的中心角相等，一个周角为360度求解．
【详解】解：正n边形的中心角为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角的求得，记住公式是解题的关键．利用了正多边形的中心角相等，一个周角为360度求解．
10．5
【分析】根据正多边形的中心角之和为360°计算即可．
【详解】根据题意有：，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角之和为360°是解答本题的关键．
11．54
【分析】根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵多边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD==72°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=×（180°-72°）=54°，
故答案为：54．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形中心角的度数．
12．12
【分析】连接OA、OD、OF，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，则∠DOF=30°，然后计算即可得到n的值．
【详解】解：连接OA、OD、OF，如图，设这个正多边形为n边形，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，
∴n==12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
13．六
【分析】根据题意可得，进而证明是等边三角形，得到，即可证明出这个多边形是正六边形．
【详解】解：如图，连接OB，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴这个多边形是正六边形．
故答案为：六．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，圆内接正多边形的性质，解题的关键是根据题意求出．
14．5
【分析】要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，这个圆形纸片的边缘即为其外接圆，根据正六边形的边长与外接圆半径的关系即可求出．
【详解】解：∵边长是5cm的正六边形，
∴正六边形的半径是5，
∴这个圆形纸片的最小半径是5cm．
故答案为：5．
【点睛】本题考查正多边形与圆的知识．注意正六边形的外接圆半径与边长相等．
15．110°．
【分析】根据圆内接四边形的性质即可求解.
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，且∠B＝110°
∴∠ADE=∠B＝110°
故填：110°.
【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
16．161°.
【分析】连接BA，根据圆周角定理可得∠ABE，再根据圆内接四边形的性质即可得到答案.
【详解】连接BA，则∠ABE=×38°=19°.因カ四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ABC+∠D=180°，所以∠CBE+∠D=180°-19°=161°.
【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质.
17．
【分析】由正六边形与圆的性质可得：再求解从而可得答案.
【详解】解： 正六边形内接于，
是直径，
【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正多边形的中心角的计算，直径所对的圆周角是直角”是解题的关键.
18．四边形各内角的度数分别是，，，.
【分析】设，，，由圆内接四边形的性质可得，得到x，再由圆周角定理得到答案.
【详解】依题意，设，，，
∴，∴.
∴，，.
∴.
∴四边形各内角的度数分别是，，，.
【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质.
19．2cm
【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．
【详解】过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴点O即是三角形内心也是外心，
∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，
∴cos30°===，
解得：BO=2，
即⊙O的半径为2cm．
【点睛】考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°，BD=CD是解题关键．
20．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识．
（1）利用正方形和圆的关系，求得中心角的度数，再利用圆周角定理即可求解；
（2）要证明，只要证明即可；
（3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，，

∴
∵正方形内接于，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接并延长交于点F，

∵，，∴是线段的垂直平分线，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即点E到的距离为，
故答案为：．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）在上任取一点A，然后过点A画的直径，以点A为圆心，圆的半径为半径依次在圆上画出交点，则六边形满足条件；
（2）连接、，过O点作于G点，则，利用正六边形的性质得到，则可判断为等边三角形，接着计算出的面积，然后把的面积乘以6得到正六边形的面积．
【详解】（1）解：正六边形如图所示：

（2）连接，过点作，垂足为，
则，
．
正六边形的面积．
【点睛】本题主要考查了圆和内接多边形，首先确定六边形的度数或边长关系，再结合圆的度数作图，利用内接六边形的小三角形为正三角形是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）连接，，根据正六边形的性质可得，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而可求解．
（2）连接，，由为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解．
【详解】（1）解：连接，，如图：

六边形是正六边形，
，
又，是的半径，且半径为，
，
是等边三角形，
．
（2）连接，，如图：

则为的直径，
，，
由（1）得：，
在中，，
，
G为的中点，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理及圆周角，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键．
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