4.2.1 等差数列的性质及其应用 课件（共21张PPT）

4.2.1 等差数列的性质及其应用
第四章 数列
4.2 等差数列
复习引入
1.等差数列的定义
2.等差中项的定义
如果在a与b中间插入一个数A，使a, A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.
3.等差数列的通项公式
2A=a+b
4.等差数列的函数特征
函数图象上所有的点在同一条直线上：d＞0,等差数列单调递增；d＜0,等差数列单调递减；d＝0,等差数列为常数列.
新知探究
探究1 等差数列的性质
问题1 观察等差数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,……说出8是哪两项的等差中项？并找到它们满足的规律？
问题2 观察项的角标满足什么关系？由此你能得到什么固定的结论吗？
新知探究
证明：
反例： 常数列
新知生成
等差数列一些常见的性质
（1）通项公式的推广公式： ????????=????????+(?????????)????(????,????∈?????)?????=??????????????????????????(????≠????) ．
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（2）若 {????????} 为等差数列，且 ????+????=????+????=???????? ，则 ????????+????????=????????+????????=???????????? (????,????,????,????,????∈?????) ．
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(3)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，
即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
（4）在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列.
即：若 {an} 是等差数列，公差为 d ，则 ak ， ak+m ， ak+2m ， …(k,m∈?????) 是公差为 md 的等差数列．
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若下标成等差数列，则对应的项成等差数列.
(5)若{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列, 则
①数列{c＋an}的公差为 ；②数列{c·an}的公差为 ；
③数列{an＋an＋k}的公差为 ；④数列{pan＋qbn}的公差为 .
d
cd
2d
pd＋qd′
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新知运用
例1 （1）已知等差数列 {an} ， a5=10 ， a15=25 ，求 a25 的值；
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（2）已知等差数列 {an} ， a3+a4+a5+a6+a7=70 ，求 a1+a9 的值；
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（3）已知数列 {an} ， {bn} 都是等差数列，且 a1=2 ， b1=?3 ， a7?b7=17 ，求 a19?b19 的值．
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[解析] （1）（法一）设 {an} 的公差为 d ，则 &a1+4d=10，&a1+14d=25， 解得 &a1=4，&d=32， 故 a25=a1+24d=4+24×32=40 .
（法二）因为 5+25=2×15 ，所以在等差数列 {an} 中有 a5+a25=2a15 ，从而 a25=2a15?a5=2×25?10=40 .
（法三）因为5, 15 , 25 成等差数列，所以 a5 ， a15 ， a25 也成等差数列，因此 a25?a15=a15?a5 ，即 a25?25=25?10 ，解得 a25=40 .
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（2）由等差数列的性质，得 a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9 ，所以 a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70 ，解得 a5=14 ，故 a1+a9=2a5=28 .
（3）令 cn=an?bn ，因为 {an} ， {bn} 都是等差数列，所以 {cn} 也是等差数列．设数列 {cn} 的公差为 d ，由已知得 c1=a1?b1=5 ，由 a7?b7=c7=17 ，得 5+6d=17 ，解得 d=2 ，故 a19?b19=c19=5+18×2=41 .
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思考：若数列 {an} 是等差数列，首项为 a1 ，公差为 d ，在 {an} 中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？
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例4
新知运用
解:
解1:
解2:
问题2：如果四个数成等差数列，那么如何设这四个数更方便运算？
探究2 等差数列的综合问题
问题1：对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法：
（1）设这三个数分别为 a ， b ， c .
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（2）设该数列的首项为 a ,公差为 d ,则这三个数分别为 a , a+d , a+2d .
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（3）设该数列的中间项为 b ,公差为 d,则这三个数分别为 b?d , b , b+d .
那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？
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[答案] 方法（3）可能更便捷一些．
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对称项设法
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式.
(2)当已知数列有 ???????? 项时，可设为 ?????(?????????????)???? ， … ， ????????????? ， ????????? ， ????+???? ， ????+???????? ， … ， ????+(?????????????)???? ，此时公差为 ???????? .
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(3)当已知数列有 ????????+???? 项时，可设为 ????????????? ， ?????(?????????)???? ， … ， ????????? ， ???? ， ????+???? ， … ， ????+(?????????)???? ， ????+???????? ，此时公差为 ???? .
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新知运用
例2 已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数．
（法三）设这四个数分别为 a?3d ， a?d ， a+d ， a+3d ，根据题意，
得 &(a?3d)+(a?d)+(a+d)+(a+3d)=26，&(a?d)(a+d)=40，
化简得 &4a=26,&a2?d2=40, 解得 &a=132，&d=±32.
∴这四个数分别为2, 5 , 8 , 11 或 11 , 8 , 5 , 2 .
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方法总结 等差数列项的常见设法：
（1）通项法.
（2）对称项设法.对称项设法的优点是：若有 n 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为 na .
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巩固训练
例2 (1)三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数；(2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数．
探究3 等差数列的应用
例3
解:
当堂练习
B
A
B
30
当堂练习
当堂练习
(1)证：
(2)解：
课堂小结
1.知识清单：
(1)等差数列通项公式的变形运用.
(2)等差数列的性质.
(3)等差数列中项的设法.
2.方法归纳：解方程组法.