5.5.2简单的三角恒等变换（一）学案

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5.5.2简单的三角恒等变换（一）
班级 姓名
学习目标
1．通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.
2．了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题.
3．掌握两角和、差的正、余弦公式，通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 1、二倍角公式三角函数公式简记正弦sin 2α＝ S2α余弦cos 2α＝ ＝ ＝ C2α正切tan 2α＝ T2α2、半角公式(1)sin＝± ， (2)cos＝± ， (3)tan＝± ，(4)tan＝＝＝， tan＝＝＝.
半角公式的运用 例1、已知θ∈且sin θ＝，求sin ，cos ，tan 的值．
带根号形式的化简 例2、已知π<α<，化简：＋.变式1、化简：(1)＋＝________．(2)＝________．
和差化积与积化和差 例3、证明：(1)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； (2)sin θ＋sin φ＝2sin cos ； INCLUDEPICTURE "D:\\源文件\\2021\\同步\\数学\\人教A版必修第一册\\左括.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\苏德亭2021\\同步\\数学\\数学 人教A版 必修第一册\\新建文件夹\\左括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\苏德亭2021\\同步\\数学\\数学 人教A版 必修第一册\\新建文件夹\\左括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\苏德亭2021\\同步\\数学\\数学 人教A版 必修第一册\\新建文件夹\\左括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\苏德亭\\d\\苏德亭2021\\同步\\数学\\数学 人教A版 必修第一册\\新建文件夹\\左括.TIF" \* MERGEFORMATINET 知识梳理 INCLUDEPICTURE "D:\\源文件\\2021\\同步\\数学\\人教A版必修第一册\\右括.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\苏德亭2021\\同步\\数学\\数学 人教A版 必修第一册\\新建文件夹\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\苏德亭2021\\同步\\数学\\数学 人教A版 必修第一册\\新建文件夹\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\苏德亭2021\\同步\\数学\\数学 人教A版 必修第一册\\新建文件夹\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\苏德亭\\d\\苏德亭2021\\同步\\数学\\数学 人教A版 必修第一册\\新建文件夹\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET 1．积化和差sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]；cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．2．和差化积sin θ＋sin φ＝2sin cos ； sin θ－sin φ＝2cos sin ；cos θ＋cos φ＝2cos cos ； cos θ－cos φ＝－2sin sin .
三角恒等式的证明 例4、求证：＝sin 2α.
课后作业
一、基础训练题
1．已知cos α＝－，<α<π，则sin 等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
2．已知sin α＝，cos α＝，则tan 等于(　　)
A．2－ B．2＋
C.－2 D．±(－2)
3．设－3π<α<－，化简的结果是(　　)
A．sin ＋cos B．－cos －sin
C．cos －sin D．sin －cos
4．化简的结果是(　　)
A．－cos 1 B．cos 1
C.cos 1 D．－cos 1
5．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有(　　)
A．cC．a6．sincos化为和差的结果是________．
7．＝ .
8．已知α∈，β∈，cos β＝－，sin(α＋β)＝，则tan＝ ，sin α＝ .
9．化简：.
10．求证：tan－tan＝.
二、综合训练题
11．＋32cos212°的值为(　　)
A．4 B．8 C．16 D．32
12．化简：＝________.
三、能力提升题
13．设α∈，β∈，且＝，则(　　)
A．2α＋β＝ B．2α－β＝
C．α＋2β＝ D．α－2β＝
14．化简得(　　)
A．2＋sinα B．2＋
C．2 D．2＋
15．tan 20°＋4sin 20°＝________.
5.5.2简单的三角恒等变换（一）
参考答案
1、答案　D
解析　由<α<π可知<<，故sin ＝＝＝.
2、答案　C
解析　方法一　因为sin α＝，cos α＝，所以tan ＝＝－2.
方法二　因为sin α＝>0，cos α＝>0，所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，
所以tan >0，故tan ＝＝＝－2.
3、答案　D
解析　∵－3π<α<－，∴－<<－.
∴sin >0，cos <0，＝＝＝＝sin －cos .
4、答案　C
解析　原式＝＝，因为0<1<，故原式＝cos 1.
5、答案　C
解析　a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，b＝2sin 13°·cos 13°＝sin 26°，c＝sin 25°，
y＝sin x在0°≤x≤90°时上单调递增，∴a6、答案　[cos(A＋B)＋sin(A－B)]
解析　sincos＝＝[cos(A＋B)＋sin(A－B)]．
7、答案　2
解析　原式＝＝＝2.
8、答案　　　
解析　因为β∈，cos β＝－，则sin β＝，tan＝＝＝.
因为α∈，β∈，故α＋β∈，
从而cos(α＋β)＝－＝－＝－，
所以sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝×－×＝.
9、解:　原式＝2＋
＝2＋＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|.
由于π<4<，∴sin 4<0，cos 4<0，sin 4＋cos 4<0，
∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4.
10、证明: 法一：(由左推右)tan－tan＝－＝
＝＝＝＝.
法二：(由右推左)
＝＝＝－＝tan－tan.
11、答案　C
解析　原式＝＋16·(2cos212°－1)＋16＝＋16cos 24°＋16
＝＋16cos 24°＋16＝＋16cos 24°＋16
＝＋16cos 24°＋16＝16.
12、答案　tan
解析　原式＝＝＝＝tan .
13、答案　B
解析　由题意得sin α－sin αsin β＝cos αcos β，sin α＝cos(α－β)，∴cos＝cos(α－β)．
∵－α∈，α－β∈，∴－α＝α－β或－α＋α－β＝0(舍去)，∴2α－β＝.
14、答案　2
解析　原式＝1＋2sincos＋1－cos＝2＋sinα－cos＝2＋sinα－sinα＝2.
15、答案　
解析　原式＝＋4sin 20°＝＝
＝＝＝.
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