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北师大版九年级数学下册第三章《圆》单元检测试卷
选择题（本大题共有40个小题，每小题4分，共40分）
1．如图，在直径为的中，弦，于点C，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点A、B、C在圆O上，若∠OBC=40°，则∠A的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
3．如图，是的外接圆，直径，，则（ ）
A． B． C． D．
为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽（相邻两边互相垂直）内，
测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6 .如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，
连接BO，BD，则∠OBD的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
7．正方形内接于，P是劣弧上任意一点，则等于（ ）
A． B． C． D．
8 .如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，
该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，
圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面愁为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，与相切于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C，D为半径OA，OB的中点，点E为的中点，
连接CE，DE，若OA=4，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π﹣2 B．4π﹣4 C．2π+2 D．4π+4
填空题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分）
11．如图，的弦、交于点，若，，则的度数是_______
12如图，中弦相交于点P，已知，则_______
如图，把一块含45°的直角三角板的一个锐角顶点A放在半径为4的上，
边、分别与交于点、点，则位于三角板内部的弧的长度为_______
14．如图，分别与相切于点，为上一点，，则_______
15.如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度．
则截面圆中弦的长为_________
如图，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，
若弧与弧所在圆的圆心都为点O，则阴影部分的面积为__________
三、解答题（本大题共有6个小题，共36分）
17．在中，弦，求证．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，∠ADC=50°，求∠CEB的度数．
如图，在⊙O中，直径AB与弦AC的夹角为30°，
过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD＝30 cm.求直径AB的长．
20.如图，点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC交于D，AD平分∠BAC．
（1）求证，BC是⊙O的切线．
（2）若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．
21 .如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，
连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若⊙O半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．
22 .如图，AB为⊙O的直径，C，E为O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D．
（1）求证：DC是⊙O切线；
（2）若AO＝6，DC＝3，求DE的长；
（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD﹣OA＝1.5，AC＝3，求图中阴影部分面积．
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北师大版九年级数学下册第三章《圆》单元检测试卷解析
选择题（本大题共有40个小题，每小题4分，共40分）
1．如图，在直径为的中，弦，于点C，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂径定理，结合勾股定理即可求解．
【详解】解：∵的直径为，
∴，
∵，
∴
∴，
故选：B
2．如图，点A、B、C在圆O上，若∠OBC=40°，则∠A的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠BOC=100°，
再利用圆周角定理得到∠A=∠BOC．
【详解】∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
又∠OBC=40°，
∴∠OBC=∠OCB=40°，
∴∠BOC=180°-2×40°=100°，
∴∠A=∠BOC=50°
故选C．
【点睛】考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
3．如图，是的外接圆，直径，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是圆周角定理，等腰直角三角形的性质．连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的判定定理得到，根据等腰直角三角形的性质计算即可求解．
【详解】解：连接，
由圆周角定理得，，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
故选：C．
为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽（相邻两边互相垂直）内，
测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接、、，根据题意可得，，再根据垂径定理得到，设，利用勾股定理建立方程解出x即可解决此题．
【详解】解：连接、、，交于点H，如图所示：
由题可得，，，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
即，
∴铁球的直径为．
故选：C．
5．如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆的内接四边形对角互补，圆心角是对弧的圆周角的2倍计算即可．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，而，
∴，
∴．
故选：B．
6 .如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，
连接BO，BD，则∠OBD的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可．
【详解】连接DC，
∵
∴∠DOC=90°，OD=1，
∴∠DCO=30°，
∴∠OBD=30°，
故选B．
7．正方形内接于，P是劣弧上任意一点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是圆内接正多边形的性质以及圆周角定理的应用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
连接，由于圆内接正方形将圆分成四等分，所以，
由圆周角定理知，根据即可得出答案．
【详解】解：连接；
四边形是圆的内接正方形，
；
，
，
故选：C．
8 .如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，
该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，
圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面愁为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据计算即可．
【详解】
故选：D．
9．如图，与相切于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，
由三角形内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．
【详解】解：如图，连接OA、OB．
∵BM是⊙O的切线，
∴∠OBM=90°．
∵∠MBA=140°，
∴∠ABO=50°．
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=50°，
∴∠AOB=80°，
∴∠ACB=∠AOB=40°．
故选A．
如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C，D为半径OA，OB的中点，点E为的中点，
连接CE，DE，若OA=4，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π﹣2 B．4π﹣4 C．2π+2 D．4π+4
【答案】B
【分析】连接OE，作EF⊥OA于点F，作EG⊥OB于点G(如图所示)，
根据已知条件可得∠AOE=∠BOE=45°，即可求得EF=EG=2，
根据阴影部分的面积=扇形AOB的面积-△ECO的面积的2倍即可解答.
【详解】连接OE，作EF⊥OA于点F，作EG⊥OB于点G，如图所示，
由题意可得，
∠AOB=90°，∠AOE=∠BOE=45°，
∵OA=4，
∴OE=4，
∴EF=EG=2，
∴阴影部分的面积是：.
故选B．
填空题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分）
11．如图，的弦、交于点，若，，则的度数是_______
【答案】
【分析】利用三角形外角的性质得到，
由圆周角定理得到，即可得到的度数．
【详解】解：∵是的一个外角，
∴,
∵，，
∴．
故选：
12如图，中弦相交于点P，已知，则_______
【答案】6
【分析】连接，由同弧所对圆周角相等可得出，再根据对顶角相等得出，即证，得出，代入数据，即可求出的长．
【详解】如图，连接．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
解得：．
故选：6．
如图，把一块含45°的直角三角板的一个锐角顶点A放在半径为4的上，
边、分别与交于点、点，则位于三角板内部的弧的长度为_______
【答案】
【分析】连接，，根据题意和圆周角定理得，根据弧长公式进行计算即可得．
【详解】解：如图所示，连接，，
∵在中，，半径为4，
∴，
∴位于三角板内部的弧的长度为：，
故选：
14．如图，分别与相切于点，为上一点，，则_______
【答案】
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，根据切线的性质得到，再根据四边形的内角和为，求出的度数，然后根据圆周角定理，即可得解．
【详解】解：∵分别与相切于点，
∴，
∴，
∴；
故选
15.如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度．
则截面圆中弦的长为_________
【答案】6
【分析】由垂径定理和勾股定理分别求出的长，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，
由题意得：，，
，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
∴，
即截面圆中弦的长为，
故选：
如图，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，
若弧与弧所在圆的圆心都为点O，则阴影部分的面积为__________
【答案】
【分析】利用整体减去部分求阴影部分面积，即扇形减去扇形再减去的面积即可．
【详解】解：如图所示：
，
三、解答题（本大题共有6个小题，共36分）
17．在中，弦，求证．
【答案】见解析
【分析】在中，由弦，可得，
根据等式的性质可得，即，进而得出．
【详解】解∶在中，
即
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，∠ADC=50°，求∠CEB的度数．
【答案】80°
【详解】解：连接BC．
∴∠ADC=∠B，
∵∠ADC=50°，
∴∠B=50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=40°，
∵∠AEC=180°－∠CAB－∠ACD，
∴∠AEC =180°－40°－60°=80°．
如图，在⊙O中，直径AB与弦AC的夹角为30°，
过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD＝30 cm.求直径AB的长．
【答案】AB＝30 cm.
【分析】连接OC，根据等边对等角以及三角形的外角的性质，
即可求得∠COD的度数，OC是半径，则长度可以求得：在直角△OCD中，
利用在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出OC，进而求出AB的长．
【详解】连接OC．
∵OA=OC，∠A=30°，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COD=∠A+∠ACO=60°．
∵DC切⊙O于C，∴∠OCD=90°，∴∠D=30°．
∵OD=30 cm，∴OC=OD=15 cm，∴AB=2OC=30cm．
20.如图，点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC交于D，AD平分∠BAC．
（1）求证，BC是⊙O的切线．
（2）若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）3
【分析】（1）先连接OD，再由OD∥AC和AC⊥BC可知OD⊥BC从而得证；
（2）利用切割线定理可先求出AB，进而求出圆的直径，半径则可求出．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∵OA=OD
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3；
∴OD∥AC，
又∵AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线，
（2）解：∵BC与圆相切于点D．
∴BD2=BE BA，
∵BE=2，BD=4，
∴BA=8，
∴AE=AB﹣BE=6，
∴⊙O的半径为3．
如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，
连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若⊙O半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DE=．
【分析】（1）连接AD，根据条件证明AD是BC的垂直平分线即可；
（2）连接OD，根据三角形中位线定理证得：OD∥AC ，从而证出OD⊥DE即可；
（3）根据条件可得△ABC是等边三角形，根据三线合一可得出CD的长，
然后在Rt△CDE中利用勾股定理可求出DE的长．
【详解】（1）连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
又BD=CD
∴AD是BC的垂直平分线
∴AB=AC
（2）连接OD
∵点O、D分别是AB、BC的中点
∴OD∥AC
又DE⊥AC
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线
（3）∵AB=AC， ∠BAC=60°
∴△ABC是等边三角形
∵⊙O的半径为5
∴AB=BC=10， CD=BC=5
又∠C=60°，DE⊥AC
∴∠CDE=90°-60°=30°，
∴CE=
∴ ．
22 .如图，AB为⊙O的直径，C，E为O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D．
（1）求证：DC是⊙O切线；
（2）若AO＝6，DC＝3，求DE的长；
（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD﹣OA＝1.5，AC＝3，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）3；（3）
【分析】（1）连接OC，如图1，先证明∠1=∠3得到OC∥AD，
再利用平行线的性质得OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论；
连接BE交OC于H，如图1，利用圆周角定理得∠AEB=90°，
易得四边形CDEH为矩形，则CD=EH=3，CH=ED，
利用垂径定理得BH=3，然后利用勾股定理计算出OH后计算出CH，从而得到DE的长；
连接OC，如图2，设⊙O的半径为r，利用角平分线的性质得CD=CF，
则根据勾股定理得AD=AF，于是可计算出OF=1.5，再证明△ACF∽△ABC，利用相似比得到，解得r=3，接着在Rt△OCF中利用解直角三角形得到∠COF=60°，CF=，
然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分面积=S扇形BOC-S△OCB进行计算．
【详解】（1）连接OC，如图1，
∵AC平分∠EAB，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴DC是⊙O切线；
（2）连接BE交OC于H，如图1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵OC∥AD，
∴∠OHB=90°，
∴EH=BH，四边形CDEH为矩形，
∴CD=EH=3，CH=ED，
∴BH=3，
在Rt△OBH中，OH==3，
∴CH=6-3=3，
∴DE=3；
（3）连接OC，如图2，设⊙O的半径为r，
∵AC平分∠BAD，CD⊥AD，CF⊥AB，
∴CD=CF，
∴AD=AF=AO+OF，
∵AD-OA=1.5，
∴AO+OF-OA=1.5，即OF=1.5，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAF=∠BAC，
∴△ACF∽△ABC，
∴，即，
解得r=-（舍去）或r=3，
在Rt△OCF中，cos∠COF=，
∴∠COF=60°，
∴CF=OF=，
∴图中阴影部分面积=S扇形BOC-S△OCB=-×3×=π-．
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