第一章 特殊平行四边形 自我评估（含答案） 2023--2024学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 已知正方形的周长为8，则该正方形的对角线长为（ ）
A. 2 B. C. 2 D. 4
2. 如图，在菱形ABCD中，∠B=30°，连接AC，则∠BAC的度数为（　　）
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
第2题图 第3题图 第4题图
3. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A=20°，则∠BDC的度数是（　　）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
4. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长为（　　）
A. 10 B. 5 C. 2.5 D. 2.25
5. 顺次连接一个矩形四边的中点，所组成的四边形是（ ）
A. 菱形 B. 矩形 C.正方形 D. 无法确定
6. 正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直
C. 每条对角线平分一组对角 D. 对角线互相平分
7. 如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=6.将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点F处，则DE的长是（ ）
A. 3 B. C. 5 D.
第7题图 第8题图
给出下列四个条件：a. 两组对边分别相等；b. 一组对边平行且相等；c. 一组邻边相等；d. 一个角是直角.将图中所示的四边形顺次添加下列条件中的三个，添加的条件及顺序如下：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c.其中能得到正方形的是（ ）
A. 仅① B. 仅③ C. ①② D. ②③
9. 如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列判断不正确的是（　　）
A. 四边形AEDF是平行四边形
B. 如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形
C. 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D. 如果AD⊥BC且BD=CD，那么四边形AEDF是正方形
第9题图 第10题图
10. 如图，直线m∥n，直线l与m，n分别相交于点A，C，以AC为对角线作四边形ABCD，使点B，D分别在直线m，n上，则不一定能作出的图形是（ 　）
A. ABCD B. 矩形ABCD C. 菱形ABCD D. 正方形ABCD
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是 .
第11题图 第12题图 第13题图
12.如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直平分，AB=6，则四边形ABCD的周长为 .
13. 如图，四边形ABCD是正方形，点E在正方形外，△DCE为等边三角形，连接BE交DC于点G，则∠CBG的度数为 .
14.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA=OB=OC=OD.若∠AOB=60°，则AB︰AC= .
第14题图 第15题图 第16题图
15. 如图，正方形ABCD的面积为2，菱形AECF的面积为1，则EF的长为 .
16. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB=2，∠BAD=60°，则EF的最小值为　 　.
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17.（6分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AD和BC上的点，BE=DF，求证：DE=BF.
第17题图 第18题图
18. （6分）如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，点F在CD的延长线上，且DF＝BE，求证：AF⊥AE.
19.（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，BE∥CD，CE∥AB.试判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论.
第19题图 第20题图
20.（8分）如图，将正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C'.当两个三角形重叠部分为菱形时，量得A'D=2，求原正方形ABCD的面积.
21.（9分）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若∠FDC=30°，求∠BEF的度数.
第21题图
22.（10分）如图，△OAD为等腰直角三角形，延长OA至点B，使OB=OD. 已知四边形ABCD是矩形，其对角线AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F.
（1）求证：△AOF≌△ADB；
（2）求的值.
第22题图
23．（12分）如图，在菱形 ABCD 中，F为边 AB的中点，FC与对角线BD交于点G，过点G作GE⊥BC于点E，∠ADB=∠FCB.
（1）求证：AB=2BE；
（2）求证：DG=CF+GE.
第23题图
24.（13分）如图，在△ABC中， O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．
（1）探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由.
（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE　 　（填“可能”或“不可能”）是菱形，请说明理由.
第24题图
题报第1期 特殊平行四边形章末检测卷 参考答案
(
答案速览
一、
1.
C
2.
D
3.
A
4.
C
5.
A
6.
A
7. C 8.
C
9. D 10.
D
二、
11.
对角线相等的平行四边形是矩形
1
2.
24
13.
15°
14.
1
︰
2
15.
1
16.
三、解答题见“答案详解”
)
答案详解
10. D 解析：取AC的中点O，过点O任意作直线，交直线m，n于点B，D，则四边形ABCD为平行四边形；过点C作m的垂线，垂足为B，过点A作n的垂线，垂足为D，则四边形ABCD为矩形；取AC的中点O，过点O作AC的垂线，交直线m，n于点B，D，则四边形ABCD为菱形；以AC为对角线作四边形ABCD，不一定为正方形.
16. 解析：连接OP.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，∠CAB=∠DAB=30°.因为PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，所以∠EOF=∠OEP=∠OFP=90°.所以四边形OEPF是矩形.所以EF=OP.当OP⊥AB时，OP最小.因为AD=AB=2，∠BAD=60°，所以△ABD是等边三角形，BD=2.所以OB=BD=1，OA==.因为S△ABO=OA OB=AB OP，所以OP==.所以EF的最小值为.
三、17. 证明：因为四边形ABCD是矩形，所以∠A＝∠C＝90°，AD＝BC，AB=CD.
在Rt△ABE和Rt△CDF中，AB=CD，BE=DF，所以Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）.
所以AE＝CF.所以AD-AE=BC-CF，即DE=BF.
18. 证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°. 所以∠ADF＝90°.
在△ABE和△ADF中，AB=AD，∠B=∠ADF，BE=DF，所以△ABE≌△ADF（SAS）.所以∠BAE＝∠DAF.所以∠DAF +∠EAD＝∠BAE+∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°.所以AF⊥AE.
19.解：四边形BDCE是菱形.
证明：因为BE∥CD，CE∥AB，所以四边形BDCE是平行四边形.
在Rt△ABC中，D为AB的中点，所以CD为Rt△ABC斜边上的中线.所以CD=BD.
所以□BDCE是菱形.
20. 解：因为四边形ABCD是正方形，所以∠D=90°，∠DAC=∠ACD=45°.
设A'B'与AC交于点E，A'C与DC交于点F.
因为四边形A'ECF是菱形，所以A'F=CF，A'F∥EC，所以∠A'FD=∠ACD=45°.
所以∠DA'F=∠DAC=45°.所以DF=A'D=2.
所以A'F===.所以DC=DF+CF=.
所以原正方形的边长为.
21.（1）证明：因为四边形ABCD是正方形，所以BC=DC，∠BCD=90°. 所以∠DCF=∠BCD=90°.
在△BCE和△DCF中，BC=DC，∠BCE=∠DCF，CE=CF，所以△BCE≌△DCF.
（2）解：因为∠FDC=30°，∠DCF=90°，所以∠DFC=90°-∠FDC=90°-30°=60°.
因为△BCE≌△DCF，所以∠BEC=∠DFC=60°.
因为 CE=CF，∠DCF=90°，所以△ECF 是等腰直角三角形. 所以∠CEF=∠CFE=45°.
所以∠BEF=∠BEC+∠CEF=60°+45°=105°.
22. （1）证明：因为四边形 ABCD 是矩形，所以 BE=DE，∠BAD=90°. 所以∠ABD+∠BDA=90°.
因为 OB=OD，BE=DE，所以 OE⊥BD. 所以∠OEB=90°. 所以∠BOE+∠OBE=90°.
所以∠BOE=∠BDA.
因为△OAD是等腰直角三角形，所以AO=AD，∠OAD=90°. 所以∠OAD=∠BAD.
在△AOF和△ADB中，∠AOF=∠ADB，AO=AD，∠OAF=∠DAB，所以△AOF≌△ADB.
（2）解：连接BF.
由（1）得△AOF≌ △ADB，所以AF=AB. 所以△ABF是等腰直角三角形.
在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF=AF.
因为BE=DE，OE⊥BD，所以OE垂直平分BD. 所以DF=BF.
所以DF=AF，即=.
23. 证明：（1）因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AB=BC，AD∥BC.所以∠ADB=∠DBC.
因为∠ADB=∠FCB，所以∠FCB=∠DBC.所以GB=GC.
又因为GE⊥BC，所以BC=2BE.
所以AB=2BE.
（2）如图，延长CF，DA交于点H.
第23题图
因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC，∠ABD=∠DBC.
所以∠ADB=∠DBC，∠H=∠FCB.
由（1），得∠FCB=∠DBC，所以∠H=∠ADB.所以DG=HG.
因为F是AB的中点，所以AF=BF.所以AB=2BF.
又因为AB=2BE，所以BF=BE.
在△AFH和△BFC中，∠H=∠FCB，∠AFH=∠BFC，AF=BF，所以△AFH≌△BFC.所以FH=FC.
在△BGF和△BGE中，BF=BE，∠FBG=∠EBG，BG=BG，所以△BGF≌△BGE.所以FG=EG.
所以DG=HG=HF+FG=CF+GE.
24. 解：（1）OE=OF.理由如下：
因为CE是∠ACB的平分线，所以∠ACE=∠BCE.
又因为MN∥BC，所以∠NEC=∠ECB，所以∠NEC=∠ACE，所以OE=OC.
同理可得OF=OC，所以OE=OF.
（2）当点O运动到AC的中点，且△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形.理由如下：
当点O运动到AC的中点时，AO=CO.
因为EO=FO，所以四边形AECF是平行四边形.
因为FO=CO，所以AO=CO=EO=FO，所以AO+CO=EO+FO，即AC=EF.
所以 AECF是矩形.
因为MN∥BC，当∠ACB=90°时，∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°.所以AC⊥EF.
所以矩形AECF是正方形.
（3）不可能.理由如下：
连接BF交CE于点G，因为CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，所以∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°.
若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形.