6.2 二元一次方程组的解法（3） 教学设计
第三课时
重点难点
重点：熟练应用加减法消元法解二元一次方程组．
难点：用减法消元时，当减去一个负系数时，总以为这个负系数为“-”就是减号．
疑点：如何“消元”，把“二元”转化为“一元”．
解决办法：只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值即可利用加减法进行消元．
教学过程设计
（一）师生互动活动设计
1．教师通过复习上节课代入法解二元一次方程组的方法及其解题思想，引入除了消元法还有其他方法吗？从而导入新课即加减法解二元一次方程组．
2．通过引例进一步让学生探究是用代入法还是用加减法解方程组更简单，让学生进一步明确用加减法解题的优越性．
3．通过反复的训练、归纳、再训练、再归纳，从而积累用加减法解方程组的经验，进而上升到理论．
（二）整体感知
加减法解二元一次方程组的关键在于将相同 ( http: / / www.21cnjy.com )字母的系数化为绝对值相等的值，即可使用加减法消元．故在教学中应教会学生观察并抓住解题的特征及办法从而方便解题．
（三）教学过程
1．创设情境，复习导入
（先引入课本P11页两思路问题）
（1）用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？
（2）用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确．
例4：
学生活动：口答第（1）题，在练习本上完成第（2）题，一个同学说出结果．
上面的方程组中，我们用代入法消去了一个未 ( http: / / www.21cnjy.com )知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解．对于二元一次方程组，是否存在其他方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢？这就是我们这节课将要学习的内容．
【教法说明】由练习导入新课，既复习了旧知识， ( http: / / www.21cnjy.com )又引出了新课题，教学过程中还可以进行代入法和加减法的对比，训练学生根据题目的特点选取适当的方法解题．
2．一起探究
（1）上面第（2）题的两个方程中，未知数的系数有什么特点？（互为相反数）．
（2）能否根据这一特点来尽快实现消元，得到一个一元一次方程呢？试着解这个方程组并与同学交流．
学生思考、讨论，按自己的想法来解．找学生说出自己的做法．
一位同学的做法：根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．
解：①＋②，得
x=2
把代入①，得
∴
∴
3．做一做，谈一谈
比较用这种方法得到的、值是否与用代入法得到的相同．（相同）
上面方程组的两个方程中，因为y的系数互为相反数，所以我们把两个方程相加，就消去了．
练习：解方程组
分析：哪个未知数的系数有特点？（的系数相等）把这两个方程怎样变化可以消去？（相减）
学生活动：仿照上题消元的思路独自求解此题．
解：①－②，得y=2
把代入②，得3x+2=5
∴3x=3
∴x=1
∴
谈一谈：（1）检验一下，所得结果是否正确？
（2）用②－①可以消掉吗？（可以）是用①－②，还是用②－①计算比较简单？（①－②简单）
（3）把y=2代入①，的值是多少？（1），是代入①计算简单还是代入②计算简单？（代入系数较简单的方程）
提问：①比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是用加减法简单？（加减法）
②在什么条件下可以用加减法进行消元？（某一个未知数的系数相等或互为相反数）
③什么条件下用加法、什么条件下用减法？（某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法）
小结：用加减法解二元一次方程组的条件是某个未知数的系数绝对值相等．
【教法说明】这几个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性．
例5：解方程组
（1）上面的方程组是否符合用加减法消元的条件？（不符合）
（2）如何转化可使某个未知数系数的绝对值相等？（②×2）
归纳：如果两个方程中，未知数系数的绝 ( http: / / www.21cnjy.com )对值都不相等，可以在方程两边都乘以同一个适当的数，使两个方程中有一个未知数的系数绝对值相等，然后再加减消元．
学生活动：独立解题，并把一名学生解题过程在投影仪上显示．
解：②×2，得 4x+6y=8
①-③， 得 x=-1
把x=-1代入②，得 -2+3y=4，即 y=2
所以，方程组的解是 ．
谈一谈：（1）在例5的解法中，②×2的目的是什么？①-③的目的是什么
（2）在例5的方程组中，进行怎样的变形可以由两个方程的加（或减）消去未知数x？
我们将原方程组的两个方程相加或相减，把 ( http: / / www.21cnjy.com )“二元”化成了“一元”，从而得到了方程组的解．像这种解二元一次方程组的方法叫加减消元法（elimination by addition or subtraction），简称“加减法”．
学生活动：总结用加减法解二元一次方程组的步骤．
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等．
②加减消元．
③解一元一次方程．
④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解．
4．尝试反馈，巩固知识
P13 练习．
【教法说明】通过练习，使学生熟练地用加减法解二元一次方程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能力．
5．变式训练，培养能力
（1）选择：二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
（2）已知，求、的值．
学生活动：第（1）题口答，第（2）题在练习本上完成．
【教法说明】第（1）题可以用解方程组的方法得解，也可以把四组值分别代入原方程组中，利用检验的方法解，这道题能训练学生思维的灵活性；第（2）题通过分析，学生可得方程组从而求得、的值．此题可以培养学生分析问题，解决问题的综合能力．
6．总结、扩展
1．用加减法解二元一次方程组的思想：
2．用加减法解二元一次方程组的步骤：
7．布置作业
P13 A、B
8．板书设计
6.2 二元一次方程组的解法（3）复习引入 例4 系数特点 做一做 例5 练习步骤：6.2 二元一次方程组的解法（2） 教学设计
第二课时
重点难点
重点：熟练应用代入消元法解二元一次方程组．
难点：灵活应用代入消元法解二元一次方程组．
疑点：如何根据方程组中未知数系数的特点，准确地判定消什么元．
解决办法：选择一个未知数系数较简单的方程，并用另一个未知量表达出系数较简单的未知量．
教学过程设计
（一）师生互动活动设计
1．引导学生通过复习上节课所学的方程组的解法，引入本节课所要研究的题型．
2．学生探究当方程组中未知量的系数都不为1时，能否化归为前面已学过的至少有一个未知量系数为1的方程，从而利用上节课的知识来求解．
3．通过多次的训练，学生提高解题技巧及能力．
（二）整体感知
首先应观察出题型的特征即方程组中任何一个未知量的系数都不为1，其次熟练该方程组的解题的一般步骤．
（三）教学过程
1．复习引入
（1）方程组如何求解？解题思想是什么？解题的步骤是什么？
（2）将方程 ①写成用含的代数式表示的形式；②写成用含的代数式表示的形式．
2．探索新知
通过上一节的学习，我们知道解二元一 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程组的基本思想是消元，而且当方程组中有一个方程可以直接变为用一个未知数来表示另一个未知数的形式时，就可以用直接代入法求解．
现在研究不具备上述条件的二元一次方程组，如何求解呢？
例2：解方程组
引导学生思考：（1）从具体一个方程中求出x=含y的代数式，或y=含x的代数式，具体应怎样实现这一步？
（2）如果由某个方程实现了（1）中的表示法，将它代入到哪一个方程转化为一元一次方程？
（3）怎样求出另一个未知数的值？
学生活动：积极思考上述问题，按自己的想法解这个方程组．然后向大家展示并讲解不同解法．
老师鼓励学生互相点评，对每一种解法进行相应的肯定和完善，并板书标准解题过程．
分析：这里两个方程中未知数的系数都不是1，方程①中的系数是3，比较简单，可以将方程①中的用含的代数式表示出来．
解：由①得 3x=14-10y
③
将③代入②，得
即 140-100y+45y=96.
化简得
把代入③，得
∴原方程组的解为
3．一起探究
通过解上面例题，大家总结一下解二元一次方程组的一般步骤．
学生活动：尝试总结用代入法解二元一次方程组的一般步骤，讨论后选代表发言．
之后，看课本第10页，试着用几个字概括每个步骤．
教法说明：学生可以真正理解每个步骤的含义，并提高总结概括能力
教师板书：
（1）变形（）
（2）代入消元（）
（3）解一元一次方程得（）
（4）把代入求解
（5）检验求得的结果是否正确．
4．大家谈谈
例3：解方程组
分析：（1）你准备对哪个方程进行变形？用含有哪个未知数的代数式表示另一个未知数？怎样表示？
（2）如何代入另一个方程中？
学生活动：自主完成例3
教师巡视，及时纠正学生的错误．找两名学生板演
总结：可见，对每个二元一次方程组，若用代 ( http: / / www.21cnjy.com )入消元法来解，从哪个方程将哪个未知数用另一个未知数表示出来都是可以的，但应该选择表示方法尽可能简单的．
5．巩固练习：用代入法解下列方程组
（1） ，
（2）错例辨析：解方程组
解：由②得 ③
把③代入②，得
下略
说明：把③代入消元时，只能代入没有变形的方程①中，不能代入②，因为③是②变形来的，把③代入②中最终会出现0＝0的形式．
6．总结、扩展
（1）用代入法解二元一次方程组的步骤．
（2）用代入法解二元一次方程组的技巧：①变形的技巧②代入的技巧．
（3）对一般形式的二元一次方程组用代 ( http: / / www.21cnjy.com )入法求解的关键是选择哪一个方程变形，消什么元．选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－1的方程；②若未知数的系数不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程．
（4）对运算的结果养成检验的习惯．
7．布置作业
P10 习题
6.2 二元一次方程组的解法（2）步骤： 例2 例3 练习技巧：变形选取原则：
8．板书设计6.2 二元一次方程组的解法（1） 教学设计
教学设计思路
本节分三课时完成，在前面已经学过一元一次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法.讲解时以学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考核归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法.
教学目标
知识与技能：
根据方程组的情况，能恰当地应用“代入消元法”和“加减消元法”解方程组.
过程与方法：
1.通过探索，领会并掌握解二元一次方程的方法.
2.体会解二元一次方程组中的“消元”思想，即通过消元把解二元一次方程组转化成解两个一元一次方程，由此感受“划归”思想的广泛应用.
情感态度价值观：
通过自主探索、合作交流，感受化归的数学思想，从而享受学习数学的乐趣，提高学习数学的信心.
教学方法
引导发现法，谈话讨论法
课时安排
3课时.
教具学具准备
电脑或投影仪、自制胶片.
第一课时
重点难点
重点：应用代入消元法解二元一次方程组
难点：了解数学研究中“化未知为已知”的化归思想
教学过程设计
（一）师生互动活动设计
1.教师设问怎样用一个未知量表示另一个未知量，并比较哪种表示形式更简单，如等.
2.通过课本中求甲、乙两数的问题，引导学生列出一元一次方程或二元一次方程组，并通过比较、尝试，探索出化二元为一元的解方程组的方法.
3.再通过比较、尝试，探索出选一个系数较简单的方程变形，通过代入法求方程组解的办法更简便，并寻找出求解的规律.
（二）整体感知
从复习用一个未知量表达另一个未知量的方法，从而导入运用代入法化二元为一元方程的求解过程，即利用代入消元法求二元一次方程组的解的办法.
（三）教学步骤
1.创设情境，复习导入
（1）已知方程，先用含的代数式表示，再用含的代数式表示.并比较哪一种形式比较简单.
（2）选择题：
二元一次方程组的解是
A. B. C. D.
【教法说明】 第（1）题为用代入法解二元一次方程组打下基础；第（2）题既复习了上节课的重点，又成为导入新课的材料.
通过上节课的学习，我们会检验一对数值是否为某个二元一次方程组的解.那么，已知一个二元一次方程组，应该怎样求出它的解呢？这节课我们就来学习.
这样导入，可以激发学生的求知欲.
今有鸡兔同笼 上有三十五头
下有九十四足 问鸡兔各几何
思考讨论：列出二元一次方程组，如何处理才能将二元的转化为一元的呢？
2.探索新知
例1：解方程
【分析】求方程的解的过程叫做方程组，由方程组的解的概念可知，解方程组就是要求出同时满足此方程组中的两个方程的x和y的值.由于方程组中同一字母表示同一数量，所以方程①中的x与方程②中的x相等，经过一系列的变型，求出方程组的解.
定义：由二元一次方程组中一个方程，将一个未 ( http: / / www.21cnjy.com )知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元法，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
3.大家谈谈
你能用上述方法解方程组吗？
学生活动：积极思考，在练习本上求解，研究如何消元，然后小组讨论，互相交流
教师巡视指导，发现并纠正学生的问题，把书写过程规范化.
方程（1）的x的系数是1，所以将（1）变形，代入另一个方程消元比较简单.
解：由①，得y=17-x ③
把③代入①，得5x+3（17-x）=75,
5x+51-3x=75,
2x=24,
∴x=12
把x=12代入①，得y=5
∴
检验后，师生共同讨论：
（1）对于本题，你还可以怎样求解？
（2）把代入②可以求出y吗？（可以）代入①或③有什么好处？（运算简便）
（3）谈一谈解二元一次方程组的基本思路
（4）上面解二元一次方程组的方法，就是代入消元法.你能简单说说用代入法解二元一次方程组的基本思路吗？
（5）引导学生自主解决课本中大家谈谈的解方程组的题.
学生活动：小组讨论，选代表发言，教师进行指导.纠正后归纳：设法消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程.
教师补充说明，最后完整地总结定义.
将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个 ( http: / / www.21cnjy.com )未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法（elimination by substitution）,简称代入法.
4.变式训练，培养能力
（1）P8 练习
（2）①由可以得到用表示.
②在中，当时，；当时，，则；.
③选择：若是方程组的解，则（ ）
A. B. C. D.
5.总结、扩展
谈谈你这节课的收获是什么？
解二元一次方程组的思想.
通过这节课的学习，我们要熟练运用代入法解二元一次方程组，并能检验结果是否正确.
6.课时小结
通过本节课的学习，同学们一 ( http: / / www.21cnjy.com )定会体会到方程组中的两个未知数一般不能同时求出来的，必须先想办法消去一个未知数，把方程组的问题化为我们已学过的一元一次方程的问题，这种思想方法叫做“消元法”.解二元一次方程组的基本思想方法就是通过“消元”将二元转化为“一元”.代入法是解二元一次方程组的一种基本方法.
7.布置作业
P8 习题
8.板书设计
二元一次方程组的解法（1）
解方程
代入法
引出定义
