6.3 二元一次方程组的应用
教学设计
教学设计思路
在课堂教学中注重了学生的动手操作，师生的 ( http: / / www.21cnjy.com )交流较多，而学生与学生的交流互动较少，如何更大范围的调动学生的积极性参与课堂互相辨析研讨这是需要教师在教学中着重考虑的问题.在鼓励学生动脑动手的情况下充分发挥教师的指导者的作用.
教学目标：
知识与技能
1.通过实际问题使学生感受二元一次方程组的广泛应用，体会列二元一次方程组是解决某些实际问题的一种有效的数学模型，增强应用意识；
2.能够由题意找出等量关系，列出二元一次方程组并检验所得结果是否符合实际意义.
过程与方法
通过教师引导下学生的自主探索，体会把实际问题转化到数学方程问题的数学思想方法，加强知识的综合运用，培养学生分析问题和解决问题的能力.
情感、态度与价值观
通过创设合理的问题情境，使学生更积极的参与 ( http: / / www.21cnjy.com )教学活动，激发学生学习数学的兴趣，使学生体验数学活动充满探索与创造，体会到经济社会中数学的应用价值，提高学生探索的精神与能力.
教学重点、难点：
重点：把应用问题转化为数学问题的过程，即对实际问题的数学模型的建立.
难点：在实践探索中寻找解题方案.
教学方法：启发探究式
课时安排：2课时
教学过程：
第一课时
一、提出问题情景
问题1：两马驮物的问题，这是在古印度广为流传的一个问题.
大马和小马驮着物品在途中有一段对话如下.
大马：“唉!驮了这么多的包裹,把我累死了！”
小马：“这么大的个你还累？把你驮的东西给我一包咱俩驮的东西就一样多了.”
大马：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹数就是你的两倍！
小马：“真的？！”
根据大马和小马的对话，你能求出大马和小马各驮了几包物品吗？
学生自主探索，可能出现的解法：
解法一：设大马驮了x包物品，小马驮了y包物品
根据题意有：
解得：
答：大马驮物7包，小马驮物5包.
解法二：设大马驮了x包物品，则小马驮了（x－2）包物品
根据题意有：x+1=2（x－2－1）
解得：x=7
x－2=5
答：大马驮物7包，小马驮物5包.
师生辨析研讨：
1.这个问题已知了什么？未知是什么？它们之间有什么关系？从而引导学生得出等量关系：
（1）大马驮的包数－1=小马驮的包数+1
（2）大马驮的包数+1=2×（小马驮的包数－1）
2.两种解法都正确.对实际问题我们可以应用方程或方程组来解决.
问题2：某化肥厂往某地区发运了两批化肥，第 ( http: / / www.21cnjy.com )一批装满了9节火车车厢和25辆卡车，共运了640吨，第二批装满了12节火车车厢和10辆卡车，共运了760吨，平均每节火车车厢和每辆卡车分别装运化肥多少吨？
学生独立完成后引导学生分析等量关系：
9节火车车厢装的化肥+25辆卡车装的化肥=640
12节火车车厢装的化肥+10辆卡车装的化肥=760
设平均每节火车车厢装运化肥x吨，每辆卡车装运化肥y吨
根据题意有：
解得：
答：平均每节火车车厢装运化肥60吨，每辆卡车装运化肥4吨.
师生辨析研讨：
问题2能否采用设一个未知数，列一元一次方程的方法求解？
通过这两个问题中两种设元方法的比较，你有什么体会？
通过师生交流得出：有两个未知数的问题，通常设两个未知数列二元一次方程组来解决，这样更容易表示等量关系.
通过前面的学习，我们已经掌握了二元一次方程组的解法，这节课我们将应用二院一次方程组解决一些实际问题.（板书课题）
你能谈谈用二元一次方程组解实际问题一般有哪些步骤吗？你认为最关键的是什么？
通过归纳总结步骤：用二元一次方程组解实际问题的思路与用一元一次方程组解实际问题是一样的，包括：
（1）审题，分析题目中的已知与未知；
（2）找出数量关系；
（3）设未知数列方程组；
（4）求解方程组；
（5）检验；
（6）写出答案.
二、试着做一做
1.小华4年后的年龄与小丽4年前的年龄相等，3年后她们两人的年龄和等于她们2004年年龄差的3倍，求小华和小丽2004年的年龄？
通过此题引导学生注意（1） ( http: / / www.21cnjy.com )审题，弄清已知条件，包括隐含条件；（2）检验应包括带入原方程组检验和是否符合题意的检验.把前面总结步骤时不完善的地方补充完整.
2.某木器厂有38名工人，2名工人每天 ( http: / / www.21cnjy.com )可以加工3张课桌，3名工人每天可以加工10把椅子，如何调配工人才能使每天生产的桌椅配套？（1张课桌配2把椅子）
分析：①问题是什么？②什么是桌椅配套？
反思：方程是描述丰富多彩的现实世界 ( http: / / www.21cnjy.com )数量关系的最重要的语言，本节课我们借助方程组解决了一些实际问题，通过这节课的学习，你有什么体会？引导学生从以下方面总结：
①很多问题中都存在着一些等量关系，以此我们往往可以借助方程组的方法来处理这些问题.
②用方程组的方法解决实际问题的过程可以概括为：
③通过列方程组来解某些实际问题，应 ( http: / / www.21cnjy.com )注意检验和正确作答.检验不仅要检查求得的解是否适合方程组中的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求.
三、课时小结
用二元一次方程组解实际问题的一般步骤：
（1）审清题题，分析题目中的已知与未知；
（2）找出数量关系；
（3）设未知数列方程组；
（4）求解方程组；
（5）检验；
（6）写出问题答案.
四、课后作业
课本P16习题A组1、2. B组1.2
补充作业：某中学新建了一栋4层的教学大楼，每 ( http: / / www.21cnjy.com )层楼有8间教室.进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生.问：平均每分钟一道正门和一道侧门各可通过多少名学生？检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%.安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋大楼每间教室最多有45名学生，建造这4道门是否符合安全规定？
五、板书设计：
6.3 二元一次方程组的应用（1）步骤： 问题1解法1 解法2 问题2 做一做：
第二课时
一、复习提问
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？
二、范例讲解
例2：2003年秋季，某校 ( http: / / www.21cnjy.com )七年级和高中一年级招生总人数为500名，计划2004年秋季七年级招生人数增加20%,高中一年级招生人数增加15%，这样，2004年秋季七年级和高中一年级招生总人数将比2003年招生总人数增加18%.2004年秋季七年级和高中一年级各计划招生多少名？
1.分析寻找问题中的两个等量关系.
（1）2003年七年级招生数+2003年高一招生数=500.
（2）2004年七年级招生数+2004年高一招生数＝500（1+18％）.
2.2004年和2003年七年级、高一招生数之间分别有怎样的关系 怎样设未知数比较合适
由于已知2004年七年级 ( http: / / www.21cnjy.com )招生人数是比2003年七年级招生数增加20％，所以应该设2003年秋季七年级招生工人，高一招生y人，那么2004年秋季七年级招生（1十20％）x人，高一招生（1+15％）y，请列出方程组.
化简，得
解之，得 （注意这里x表示2003年秋季七年级招生数，不是问题答案）
所以（1+20％）x＝1.2× 300＝360，（1+15％）y＝1.15× 200＝230
答；2004年秋季七年级招生360人，高中一年级招生230人.
以上方程组中的方程②可以换成20％x+15％y＝500×18％，这是根据怎样等量关系
答：2004年秋季七年级招生增加的人数+2004秋季高一招生增加的人数＝这两个年级2004年总共增加的人数.
如果直接设2004年秋季七年级招x人，高中一年级招 夕人，你会列出方程组吗 试一试，并与上面的解答过程比较，你有什么看法
因为：2003年七年级招生数×（14－20％）＝2004年七年级招生数
所以，2003年七年级招生数=.
所以列方程组
可见，适当地设未知数 能使问题简单.
三、一起探究
阅读教科书P18中的问题.
1.已知量：①火车开始上桥到完全过桥共有26s
②整列火车完全在桥上的时间是14s
③桥长1000m
未知量：（1）火车速度 （2）火车长度
2.寻找等量关系：（问题较复杂，可用线段图帮助分析）
可知：火车26s行驶的路程：1000+火车长度
可知：火车行驶14s行程＝1000－火车长度
3.怎样设未知数呢
观察两个等量关系，所以可设火车的速度为x m／s，火车长度为y m.
把上面两个等量关系转化为方程，得
解方程组得
答：火车的速度为50 m／s，火车长度为300 m.
四、课堂练习
1.教科书P18练习1，2
在学生经过充分思考交流后.教师根据学生实际完成情况作以下分析：
2.售价一进价＝利润，售价＝定价×打折数
七五折就是原价的75％.
如果设每件定价x：元，进价为y元，列方程组：
解之，得 （方程不对，需要改正）
3.（1）本题求什么
①挖树坑人数，②栽树人数
（2）找出两个等量关系.
①挖树坑人数+栽树人数＝240
②挖好树坑的个数＝栽上树苗的棵数
而挖好树坑的个数＝挖坑人数×每人一天挖坑数
栽上树苗的棵树＝栽树人数×每人一共可栽树棵数
所以设分配x人挖树坑，）／人栽树苗，列方程组：
解之，得
五、课时小结
用二元一次方程组解决实际问题的关键是寻 ( http: / / www.21cnjy.com )求两个等量关系，有些等量关系较隐晦，要善于发现，可借助画示意图帮助我们寻求，有些是几何，物理以及化学中的公式.
接着分析等量关系中，已知量与未知量之间的关系，确定怎样设未知数，最后将等量关系转化为方程组，求出方程组的解后，再检验解的合理性.
六、课后作业
课本P18 习题A组1、2
七、板书设计
6.3 二元一次方程组的应用（2）
一、例题讲解 例2
二、一起探究6.3 二元一次方程组的应用
教学设计
教学设计思路
本节主要内容是用二元一次方程解决实际 ( http: / / www.21cnjy.com )问题，其分析方法和解题步骤都与前面学过的列一元一次方程解应用题类似，学生可在学习中进行类比从而加强理解．例题分析与讲解时根据学生的实际情况，为学生构造恰当的探索、研究、交流的空间，老师不能代替学生思维，而是引导学生学会“逐步抽象”，将实际情景中的数量关系抽象出来，使学生分析问题和解决问题的能力通过这一具体化的途径得以提高，加深对数学模型的认识．最后通过反馈练习，检查学生掌握知识的情况，以便有针对性地进行差漏补缺．
教学目标
知识与技能：
1．会列出二元一次方程组解简单的应用题；
2．能够发现、提出日常生活或生产中可以利用二元一次方程组来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程；
过程与方法：
1．学会进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的相等关系，体会代数方法的优越性，体会列方程组往往比列一元方程容易；
2．通过将实际问题中的数量关系转化为二元一次方程组，体会数学化的过程，提高用数学分析和解决问题的能力．
情感态度价值观：
通过实际问题，感受二元一次方程组的广泛应用，加深对数学模型的认识，增强数学的应用意识．
重点难点
重点：根据简单应用题的题意列出二元一次方程组．
难点：将实际情景中的数量关系抽去出来，并用二元一次方程组表示
解决办法：通过反复读题、审题，分析出题目中存在的两个相等关系是列方程组的关键．
教具准备
多媒体，或投影仪、自制胶片．
课时安排
两课时
第一课时
教学过程设计
（一）整体感知
列二元一次方程组解应用题的关键在于通过准确的审题迅速寻找出两个正确的相等关系来列二元一次方程组．
（二）教学过程
1．创设情境、导入新课
甲、乙两工人师傅制作某种工件，每天共制作12件．已知甲每天比乙多制作2件，求甲、乙每人每天可制作几件？
①列出一元一次方程和二元一次方程组解题．
②比较一下，两种方法得到的结果是否相同？是列一元一次方程容易，还是列二元一次方程组容易？
学生活动：练习本上解题，思考并回答上述问题
【教法说明】通过两种解法的比较，让学生体会列方程组的优越性，这样引入课题，可以引起学生学习新知识的兴趣．
2．探索新知，讲授新课
可见，有时我们列二元一次方程组解决实际问题更容易，今天我们就来学习二元一次方程组的应用．
出示课本第14页大马和小马的对话
提问：（1）大马的两句话，说出了两个等量关系，这两个等量关系是什么？
（2）如果大马驮物x包，小马驮物y包，列出的二元一次方程组是怎么样的？
老师引导学生将原问题转化为文字语言表述的数量关系，再转化为数学符号表示的数量关系．
学生活动：观察、分析后回答．
相等关系（1）大马托的包数-1=小马托的包数+1
（2）大马托的包数+1=2（小马托的包数-1）．
学生活动：设未知数、根据相等关系列方程．
解：设大马驮物x包，小马驮物y包，根据题意，得
解这个方程组，得
答：大马驮物7包，小马托物5包．
强调：（1）选定几个未知数，根据问题中的条件找几个相等关系，这几个相等关系正好表示了应用题的全部含义．
（2）列方程组解应用题时，解方程组过程在练习本上完成．
（3）得到结果后，要检验是不是原方程组的解，是不是符合应用题的实际意义，然后再写答句．
反馈练习：P16 1（只列不解）
例1：化肥厂往某地区发运了两批化肥，第 ( http: / / www.21cnjy.com )一批装满了9节火车车厢和25辆卡车，共运走了640吨；第二批装满了12节火车车厢和10辆卡车，共运走了760吨．平均每届火车车厢和每辆卡车分别装运化肥多少吨？
仿照刚才分析的方法，分析问题．
学生活动：拟题、自由提问，其他学生抢答．
教师根据学生的拟题板书．
两个未知数：每节火车装运的吨数与每辆卡车装运的吨数
（1）9节火车装运的总吨数+25辆卡车装运的总吨数=640
（2）12节火车装运的吨数+10辆卡车装运的总吨数=760
解题过程由学生完成，一个学生板演．
解：设平均每节火车车厢装运化肥吨，每辆卡车装运化肥吨，根据题意，得
解这个方程组，得
答：平均每节火车车厢装运化肥60吨，每辆卡车装运化肥4吨．
【教法说明】例1用拟题训练的方法让学生自己去尝试分析问题，不但能活跃课堂气氛，而且能促进学生积极思维，培养学生分析问题、解决问题的能力．
反馈练习：P16 练习2．
学生活动：设未知数、列方程组．
3．变式训练，培养能力
用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个 ( http: / / www.21cnjy.com )或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有150张白铁皮，用多少张制盒身、多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？
分析：此题的相等关系不明显，应启发学生认真思考，找到第二个相等关系．
相等关系：（1）制盒身铁皮张数＋制盒底铁皮张数＝150张．
（2）盒底总数＝2×盒身总数．
解：设用张铁皮制盒身，张铁皮制盒底，可以制成整套缺头盒．根据题意，得
（三）总结、扩展
我们这节课学习了二元一次方程组的应用，你能简单归纳出列二元一次方程组解应用题的步骤吗？
学生发言后，老师适当补充、纠正．
（四）布置作业
1．P16 A组 1，2．
2．补充题：给定两数5和3，编一道列出二元一次方程组求解的应用题，使得这个方程组的解就是给定的两数．
（五）板书设计：
投影幕 二元一次方程组的应用（一）探究题 例1 练习 小结：
第二课时
教学过程设计
（一）整体感知
利用路程、速度、时间的三者关系解关于相遇、追及以及顺、逆流航行的应用题，关键在于寻找以路程或时间为主的等量关系．
（二）教学过程
1．复习提问，导入新课
（1）上节课我们学习了二元一次方程组的应用，列二元一次方程组解应用题的步骤是什么？
（2）列方程组解应用题的关键是哪两步？
学生活动：回答老师提出的问题．
这节课，我们接着学习列二元一次方程组解应用题．
2．探索新知，讲授新课
例2 去年秋季，某校七年级和高中 ( http: / / www.21cnjy.com )一年级招生总人数为500名，计划2004年秋季七年级招生人数增加20%,高中一年级招生人数增加15%，这样，2004年秋季七年级和高中一年级招生总人数将比2003年招生总人数增加18%．2004年秋季七年级和高中一年级各计划招生多少名？
提问：题中的相等关系是什么？
这两个相等关系的式子直接和那两个量发生了关系？
学生活动：回答老师提出的问题．
教师根据学生回答板书．
相等关系： 03年七年级招生人数+03年高一招生人数=500
04年七年级招生人数+04年高一招生人数=500×（1+18%）
即03年七年级招生人数（1+20%）+03年高一招生人数（1+15%）=500×（1+18%）
学生活动：根据分析设未知数、列方程组，一个学生板演．
解：2003年七年级招生人数x名，高中一年级招生人数y名，根据题意，得
解这个方程组，得
所以（1+20%）x+（1+20%）×300=360，
（1+15%）y+（1+15%）×200=230
答：2004年秋季七年级计划招生360名，高中一年级计划招生230名．
提问：还有没有其他的解法，直接设2004年两个年级计划招生人数为未知数，列方程组解答例2中的问题，（投影打出这种解题方法）
（增加）例3：小明为了测得火车过桥时 ( http: / / www.21cnjy.com )的速度和火车的长度，在一铁路桥旁进行观察：火车从开始上桥到完全过桥共用了26s，整列火车完全在桥上的时间是14s．已知桥长1000m．你能根据小明获得的数据求出火车的速度和长度吗？
一起探究：（1）问题中设计了哪些量？
（2）用画示意图的方式表示本题反映的等量关系．
（3）用x，y分别表示火车的速度（m/s）和长度（m），把上面的等量关系转化为方程组．
（4）解答上面的问题
练习：P18 1，2
（三）总结、扩展
这节课我们又学习了二元一次方程组的应用，我们在解题时，一定要认真分析，找准相等关系，列出方程组．
（四）布置作业
P18～P19 A组 1，2．
（五）板书设计
投影幕 二元一次方程组的应用（二）例2 （增加）例3 练习 小结：
