11.3公式法 教学设计（一）
――平方差公式
教学设计思想：
本小节首先说明什么叫做运用公式法,然后着 ( http: / / www.21cnjy.com )重介绍了平方差公式,并结合公式讲授如何运用公式进行多项式的因式分解。这节课内容是用平方差公式对多项式进行因式分解，通过整式乘法的平方差公式，逆向得出用公式法分解因式的方法，发展学生的逆向思维和推理能力，然后让学生独立去完成“试着做做”，独立去做例题、练习中的题目，并对结果通过展示、解释、相互点评，达到能较好的运用平方差公式进行因式分解的目的。
教学目标
知识与技能：
1．会用平方差公式对多项式进行因式分解，提高分解因式的灵活性
2．提高全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．
过程与方法：
3．经历用公式法分解因式的探索过程，进一步 ( http: / / www.21cnjy.com )体会这两个公式在因式分解和整式乘法中的不同方向，加深对整式乘法和因式分解这两个相反变形的认识，体会从正逆两方面认识和研究事物的方法
情感态度价值观：
4．通过学习进一步理解数学知识间有着密切的联系。
教学重点和难点
重点：运用平方差公式分解因式.
难点：灵活运用平方差公式分解因式，正确判断因式分解的彻底性.
解决方法：在学生总结出平方差公式进行因式分解的方法后强调公式的结构和特点，以利于学生了解运用公式的条件及要求．
教学用具
多媒体或小黑板
课时安排
1课时
教学过程设计
一、复习提问
1．口述乘法公式，并把其中的平方差公式写到黑板上来，同时说明公式中的字母可以表示什么？
2．计算：
（1）（x+1）（x－1）；（2）（3x+2）（3x－2）；
（3）什么叫分解因式？它和乘法相乘有什么关系？
二、引入新课
分解因式和乘法相乘既然是互逆的关系，那么我们把乘法反过来就是分解因式。
同学们试着将：x2－1与9x2－4进行因式分解。
x2－1=（x+1）（x－1）
9x2－4=（3x+2）（3x－2）
三、进行新课
做一做：
你能类似地将下面的多项式分解因式吗？
问：在上面的计算中，你运用了哪一个乘法公式？请口述它的内容，并用式子表示出来．
答：在计算中运用了平方差公式．内容是：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差．用式子表示为：（a+b）（a－b）=a2－b2．
问：请同学们总结一下用平方差公式因式分解的公式
学生回答，老师总结：因为多项式的因式分解与整式乘法是相反的变形，因此把乘法公式（a+b）（a－b）=a2－b2反过来写，就得到式子
用语言叙述就是：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．利用这个公式，可以把具有平方差形式的多项式分解因式．
问：公式有怎样的特点，运用该公式需满足什么条件？
总结：这里 可以表示数、单项式、多项式.
①左侧为两部分;
②两部分都是平方项;
③两部分的符号相反.
下面我们来实际应用一下．
例1 把下列各式分解因式：
（1）（36－a2 （2）） 4x2－9y2 （2）（3m－1）2－9
（1）学生分析，先说出怎样化成平方差的形式，然后分解因式.
解：4x2－9y2
=（2x）2－（3y）2
=（2x＋3y）（2x－3y）
（2）分析：式中9可以写成32，这样原式就变形为用平方差公式分解因式的形式。
解：（3m－1）2－9
= （3m－1）2－32
= （3m－1+3） （3m－1－3）
= （3m+2） （3m－4）
例2 把下列各式分解因式：
（1）a3－16a； （2）2ab3－2ab
分析：（1）有公因式a，所以先提取公因式，再利用平方差公式因式分解
解：（1）a3－16a
=a（a2－16）
=a（a＋4）（a－4）；
（2）2ab3－2ab
=2ab（b2－1）
=2ab（b＋1）（b－1）
下面我们要做一下这方面的练习．
四、课堂练习
（用投影仪或小黑板出示练习）
1．填空
（1）4x2=（ ）2；
（2）25m2=（ ）2；
（3）64x2y2=（ ）2；
（4）100p4q2=（ ）2．
2．课本练习1、2
3．下列多项式可不可以用平方差公式来分解因式？如果可以，应分解成什么式子？如果不可以，说明为什么．
（1）x2+y2；（2）x2－y2；
（3）－x2+y2；（4）－x2－y2．
五、小结
能用平方差公式分解因式的多项式，应具备如下条件（用投影仪或小黑板出示）：
1．（1）式子可以分为两部分；
（2）这两部分都可以写成整式（数）的平方的形式；
（3）这两部分的符号应相反．
2．分解因式时，有公因式时应先提取公因式，再看能否用公式法进行因式分解。
3．因式分解应分解到每一个因式都不能分解为止。
教师应指出上面总结的内容中提到的“两部分”不是“两项”，这是因为平方差公式中的字母a、b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．
六、布置作业
必做题：课本P149 A组
补充作业：熟记112=121，122=144，…，302=900．
选作题：
1．利用因式分解计算：
（1）7582－2582；（2）4292－1712．
2．如图，在一块边长为acm的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为b（b<）cm的正方形，利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时剩余部分的面积
七、板书设计
11.3 公式法——平方差公式试着做做 例1 例2公式：特点：11.3公式法 教学设计（二）
――完全平方公式
教学设计思想：
利用完全平方公式进行多项 ( http: / / www.21cnjy.com )式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质．
教学目标
知识与技能：
1．会用完全平方公式对多项式进行因式分解，提高分解因式的灵活性
2．提高全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．
过程与方法：
3．经历用公式法分解因式的探索过程，进 ( http: / / www.21cnjy.com )一步体会这两个公式在因式分解和整式乘法中的不同方向，加深对整式乘法和因式分解这两个相反变形的认识，体会从正逆两方面认识和研究事物的方法
情感态度价值观：
4．通过学习进一步理解数学知识间有着密切的联系。
教学重点和难点
重点：运用完全平方式分解因式．
难点：灵活运用完全平方公式分解因式．
关键：把握住因式分解的基本思路，观察多项式的特征，灵活地运用“换元”和“划归思想”
教学用具
多媒体或小黑板
课时安排
1课时
教学过程设计
一、复习
1．问：什么叫把一个多项式因式分解 我们已经学习了哪些因式分解的方法
答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解．我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法．
2．把下列各式分解因式：
（1）ax4－ax2 （2）16m4－n4．
解 （1） ax4－ax2=ax2（x2－1）=ax2（x+1）（x－1）
（2） 16m4－n4=（4m2）2－（n2）2
=（4m2+n2）（4m2－n2）
=（4m2+n2）（2m+n）（2m－n）．
问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式
答：有完全平方公式．
请写出完全平方公式．
完全平方公式是：
（a+b）2=a2+2ab+b2, （a－b）2=a2－2ab+b2．
这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解．
二、新课
和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到
a2+2ab+b2=（a+b）2； a2－2ab+b2=（a－b）2．
这就是说，两个数的平方和，加上（或者减 ( http: / / www.21cnjy.com )去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方．式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式．运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式．
问：具备什么特征的多项式是完全平方式
答：一个多项式如果是由三部分组成， ( http: / / www.21cnjy.com )其中的两部分是两个式子（或数）的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子（或数）的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式．
问：下列多项式是否为完全平方式 为什么
（1）x2+6x+9；（2）x2+xy+y2；
（3）25x4－10x2+1；（4）16a2+1．
答：（1）式是完全平方式．因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以
x2+6x+9=（x+3）．
（2）不是完全平方式．因为第三部分必须是2xy．
（3）是完全平方式．25x=（5x），1=1，10x=2×5x·1，所以
25x－10x+1=（5x－1）．
（4）不是完全平方式．因为缺第三部分．
请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a= b= 2ab=
答：完全平方公式为：
a2+2ab+b2=（a+b）2．
9x2+6xy+y2=（3x）2+2·（3y）·y+y2=（3x+y）2．???
a2+2ab+b2=（a+b）2
其中a=3x，b=y，2ab=2·（3x）·y．
例3 把下列各式分解因式；
（1）t2＋22t＋121；（2）m2＋n2-mn
（1）分析：这个多项式是由三部分组成，第 ( http: / / www.21cnjy.com )一项“t2”是t的平方，第三项“121”是11的平方，第二项“22t”是t与11的积的2倍．所以多项式t2＋22t＋121是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式．
（2）问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式 有几种解法
解：（1）t2＋22t＋121
=t2＋2×11t＋112
=（t＋11）2；
（2）m2＋n2-mn
=m2－2·m·n+（n）2
=（m－n）2
例4 把下列各式分解因式：
（1）ax2＋2a2x＋a3;
（2）（x＋y）2－4（x＋y）＋4;
（3）（3m-1）2＋（3m-1）+
解：（1）ax2＋2a2x＋a3
=a（x2＋2ax＋a2）
=a（x＋a）2；
（2）（x＋y）2－4（x＋y）＋4
=（x＋y）2－2·（x＋y）·2＋22
=（x＋y－2）2
（3）（3m-1）2＋（3m-1）+
=（3m-1）2－2·（3m-1）·＋（）2
=（3m－1＋）2
=（3m－）2
注：例4让有学生自己完成，并找部分学生上台讲解，出现问题，老师及时给予纠正
三、课堂练习（投影）
1．填空：
（1）x2－10x+（ ）2=（ ）2；
（2）9x2+（ ）+4y2=（ ）2；
（3）1－（ ）+m2/9=（ ）2．
2．下列各多项式是不是完全平方式 如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多
项式改变为完全平方式．
（1）x2－2x+4；（2）9x2+4x+1；（3）a2－4ab+4b2；
（4）9m2+12m+4；（5）1－a+a2/4．
3．把下列各式分解因式：
（1）a2－24a+144；（2）4a2b2+4ab+1；
（3） x2+2xy+9y2；（4） a2－ab+b2
答案：
1．（1）25，（x－5） 2；（2）12xy，（3x+2y） 2；（3）m, （1－m）
2．（1）不是完全平方式，如果把第二 ( http: / / www.21cnjy.com )项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x2－2x+1，它是完全平方式．
（2）不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x2+6x+1，它是完全平方式．
（3）是完全平方式，a2-4ab+4b2=（a－2b）2．
（4）是完全平方式，9m2+12m+4=（3m+2） 2．
（5）是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a）2
3．（1）（a－12） 2；（2）（2ab+1） 2；
（3）（ x+3y） 2；（4）（a－b）2．
四、小结
运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：
1．首先要观察、分析和判断所给出的多项 ( http: / / www.21cnjy.com )式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解．有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解．
2．在选用完全平方公式时，关键 ( http: / / www.21cnjy.com )是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a2+2ab+b2=（a+b） 2；如果是负号，则用公式a2－2ab+b2=（a－b） 2．
3．特别强调：分解因式时，有公因式时应先提取公因式，再看能否用公式法进行因式分解。
4．因式分解应分解到每一个因式都不能分解为止。
五、作业
1．必做作业：课本P152A组
2．补充作业：把下列各式分解因式：
1．（1）a2+8a+16；（2）1－4t+4t2；
（3）m2－14m+49； （4）y2+y+1/4．
2．（1）25m2－80m+64； （2）4a2+36a+81；
（3）4p2－20pq+25q2； （4）16－8xy+x2y2；
（5）a2b2－4ab+4； （6）25a4－40a2b2+16b4．
3．（1）m2n2－2mn+1
（2） x－4x；
答案：
1．（1）（a+4）2；（2）（1－2t）2；
（3）（m－7） 2；（4）（y+）2．
2．（1）（5m－8） 2； （2）（2a+9） 2；
（3）（2p－5q） 2；（4）（4－xy） 2；
（5）（ab－2） 2； （6）（5a2－4b2） 2．
3．（1）（mn－1） 2；
（2）x（x+4）（x－4）；六、板书设计
11.3 公式法——完全平方公式公式： 例3 例4 特点：
