高中数学北师大版必修一第六章 4.1 样本的数字特征 同步练习（含解析）

4.1　样本的数字特征
课后训练
1.(多选题)某同学的6次数学测试成绩(满分100分)分别为:78,83,83,85,91,90,给出关于该同学数学成绩的以下说法,其中正确的是(　　).
A.最大值为91 B.中位数为83
C.众数是83 D.平均数是85
2.小霞在学校的“经典诗词朗诵”大赛中,5位评委给她的分数分别是:93,93,95,96,92,则小霞得分的中位数与平均数分别是(　　)
A.93,93 B.93,93.8
C.93.5,93.5 D.94,93.8
3.甲、乙、丙三名射击运动员在某次测试中各射击20次,三人的测试成绩如下表:
甲的成绩
环数 7 8 9 10
频数 5 5 5 5
　　
乙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 6 4 4 6
丙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 4 6 6 4
s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有(　　).
A.s3>s1>s2 B.s2>s1>s3
C.s1>s2>s3 D.s2>s3>s1
4.某商场一天中售出某品牌运动鞋13双,其中各种尺码鞋的销量如下表所示,则这13双鞋的尺码组成的一组数据中,众数和中位数分别为(　　)
鞋的尺码/cm 23.5 24 24.5 25 26
销售量/双 1 2 2 5 3
A.25 cm,25 cm B.24.5 cm,25 cm
C.26 cm,25 cm D.25 cm,24.5 cm
5.如图,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为,样本标准差分别为sA和sB,则(　　).
(第5题)
A.,sA>sB B.,sA>sB
C.,sA6.对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2,有下列结论:
①这组数据的众数是3;
②这组数据的众数与中位数的数值不相等;
③这组数据的中位数与平均数的数值相等;
④这组数据的平均数与众数的数值相等.
其中正确的结论的个数为(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(多选题)为了解某校九年级1 600名学生的体能情况,随机抽查了部分学生,测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数),将数据整理后绘制成频率分布直方图如图所示(分组除最后一组为闭区间外,其余分组均为左闭右开区间).根据统计图的数据,下列结论错误的是(　　).
(第7题)
A.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次
B.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次
C.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数不少于30次的人数约为320
D.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约为32
8.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有引起大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是(　　).
A.甲地:总体平均数为3,中位数为4
B.乙地:总体平均数为1,总体方差大于0
C.丙地:中位数为2,众数为3
D.丁地:总体平均数为2,总体方差为3
9.已知一组数据的平均数是x,众数是m,中位数是n,将每个数据加上3后得到一组新数据,则这组新数据的平均数、众数、中位数分别为　　　　　.
10.若a1,a2,…,a20这20个数据的平均数为,方差为0.20,则a1,a2,…,a20,这21个数据的方差为　　　　　.
11.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小,则a,b的取值分别是　　　　　.
12.为了解汽车在某一路段上的速度,交警对这段路上连续行驶过的50辆汽车的速度(单位:km/h)进行了统计,得到的数据如下表所示.
速度分组/(km/h) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) [100,110]
车辆数 1 4 10 15 12 6 2
(1)试估计在这段路上汽车行驶的平均速度;
(2)试估计在这段路上汽车行驶速度的标准差.
(提示:利用组中值估计)
13.在一次科技知识竞赛中,甲、乙两组学生的成绩情况如下表:
分数/分 50 60 70 80 90 100
甲组人数 2 5 10 13 14 6
乙组人数 4 4 16 2 12 12
通过计算可得两个组的平均分都是80分,请根据你所学过的统计知识,进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁次,并说明理由.
14.某城区举行“奥运知识”演讲比赛,中学组根据初赛成绩在高一、高二年级中分别选出10名同学参加决赛,这些选手的决赛成绩如图所示.
数字特征 众数 极差 平均数 方差
高一年级 a 22 b 39.6
高二年级 c d 85.7 27.8
(1)求出表格中a,b,c,d的值;
(2)考虑平均数与方差,你认为哪个年级的团体成绩更好些
15.甲、乙两人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
(第15题)
(1)分别求出两人得分的平均数与方差;
(2)根据上图和(1)中的结果,对两人的训练成绩作出评价.
16.某超市从甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取100个,整理得到甲种酸奶日销售量的频率分布表和乙种酸奶日销售量的频率分布直方图.
分组(日销售量) 频率(甲种酸奶)
[0,10) 0.10
[10,20) 0.20
[20,30) 0.30
[30,40) 0.25
[40,50] 0.15
合计 1
(1)求出频率分布直方图中a的值,并画出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图;
(2)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为,试比较的大小;
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替,试估计乙种酸奶在未来一个月(按30天计算)的销售总量.
由题中数据可知,最大值为91,故A正确;中位数为84,故B错误;众数为83,故C正确;平均数为=85,故D正确.故选ACD.
ACD
2.B
甲、乙、丙的平均成绩均为8.5.
s1==,
同理s2=,s3=,所以s2>s1>s3.
故选B.
B
4.A　易知众数为25cm.因为共有13个数据,所以中位数应为第7个数据,而尺码为23.5cm到24.5cm的共有5个数据,且尺码为25cm的有5个数据,因此第7个数据一定是25cm,即中位数为25cm.
由题图易得,又A波动性大,B波动性小,所以sA>sB.
B
在这11个数中,数3出现了6次,频率最高,故众数是3;将这11个数按从小到大的顺序排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10,中间数据是3,故中位数是3;而平均数=4.故只有①正确.
A
由题图可知中位数是26.25次,众数是27.5次.1分钟仰卧起坐的次数超过30次的频率为0.2,所以该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数不少于30次的人数约为320;1分钟仰卧起坐的次数少于 20次的频率为 0.1,所以该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于 20 次的人数约为160,故D是错误的.
ABC
根据信息可知,连续10天内,每天新增的疑似病例不能超过7人.
选项A中,中位数为4,可能存在大于7的数;同理,选项C中也有可能存在大于7的数;
选项B中的总体方差大于0,叙述不明确,如果方差太大,也有可能存在大于7的数;
选项D中,设连续10天,每天新增疑似病例分别为x1,x2,x3,…,x10,并设有一天超过7人,如第一天为8人,则s2=×[(8-2)2+(x2-2)2+…+(x10-2)2]>3.因为总体方差为3,所以说明连续10 天,每天新增疑似病例不超过7人.
D
x+3,m+3,n+3
∵a1,a2,…,a20这20个数据的平均数是,方差为0.20,
∴[(a1-)2+(a2-)2+…+(a20-)2]=0.20,
∴[(a1-)2+(a2-)2+…+(a20-)2]=4,
∴a1,a2,…,a20,这21个数据的方差s2=[4+()2]=.
答案:
11.解析:∵中位数为10.5,
∴=10.5,即a+b=21.
∵=10,
∴s2=×[(10-2)2+(10-3)2+(10-3)2+(10-7)2+(10-a)2+(10-b)2+(10-12)2+(10-13.7)2+(10-18.3)2+(10-20)2].
令y=(10-a)2+(10-b)2=2a2-42a+221=2,当a=10.5时,y取得最小值,方差s2也取得最小值.
∴a=10.5,b=10.5.
答案:10.5,10.5
12.解:(1)用各速度区间的组中值作为汽车在这一区间行驶的平均速度,各区间速度的组中值分别为45,55,65,75,85,95,105.
故样本的平均数为×(45×1+55×4+65×10+75×15+85×12+95×6+105×2)=76.8(km/h).
故估计在这段路上汽车行驶的平均速度为76.8 km/h.
(2)由上面各组中值和样本的平均数,可得这段路上50辆汽车行驶速度的方差s2=×[1×(45-76.8)2+4×(55-76.8)2+10×(65-76.8)2+…+6×(95-76.8)2+2×(105-76.8)2]=174.76,从而,标准差s≈13.2(km/h).
故估计在这段路上汽车行驶速度的标准差为13.2 km/h.
13.解:(1)甲组成绩的众数为90分,乙组成绩的众数为70分,从成绩的众数比较,甲组的成绩好一些.
(2)×[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(90-80)2+6×(100-80)2]=172.
×[4×(50-80)2+4×(60-80)2+16×(70-80)2+2×(80-80)2+12×(90-80)2+12×(100-80)2]=256.
因为,所以甲组的成绩比乙组的成绩稳定.
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分,其中,甲组成绩在80分及80分以上的有33人,乙组成绩在80分及80分以上的有26人,从这一角度来看甲组的成绩总体较好.
(4)从成绩统计表来看,甲组的成绩在90分及90分以上的人数为14+6=20,乙组的成绩在90分及90分以上的人数为12+12=24.
所以乙组成绩集中在高分段的人数多,同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6,从这一角度来看,乙组的成绩较好.
14.解(1)高一年级的成绩为80,87,89,80,88,99,80,77,91,86;
高二年级的成绩为85,97,85,87,85,88,77,87,78,88.
由此可知高一年级成绩的众数是a=80,平均数b=85+(-5+2+4-5+3+14-5-8+6+1)=85.7;
高二年级成绩的众数是c=85,极差是d=20.
(2)因为两个年级的得分的平均数相同,高二年级成绩的方差小,说明高二年级的成绩偏离平均数的程度小,所以高二年级的团体成绩更好些.
15.解:(1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲:10分,13分,12分,14分,16分;
乙:13分,14分,12分,12分,14分.
=13(分),
=13(分),
×[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4,
×[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8.
(2)由可知乙的成绩较稳定.
从题中折线图上看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩无明显提高也无明显下降.
16.解:(1)由乙种酸奶日销售量的频率分布直方图可得10a=1-(0.020+0.010+0.030+0.025)×10=0.15,解得a=0.015.
根据表中数据画出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图如图所示:
(2)方法1　记甲、乙两种酸奶日销售量的平均数分别为,
则=5×0.10+15×0.20+25×0.30+35×0.25+45×0.15=26.5(箱),
=5×0.20+15×0.10+25×0.30+35×0.15+45×0.25=26.5(箱),
所以=(5-26.5)2×0.10+(15-26.5)2×0.20+(25-26.5)2×0.30+(35-26.5)2×0.25+(45-26.5)2×0.15=142.75,
=(5-26.5)2×0.20+(15-26.5)2×0.10+(25-26.5)2×0.30+(35-26.5)2×0.15+(45-26.5)2×0.25=202.75,所以.
方法2　比较两种酸奶的频率分布直方图,数据越集中,则方差越小,由频率分布直方图可得,甲种酸奶对应的数据更集中,故甲的方差小于乙的方差,即.
(3)由(2)得乙种酸奶的平均日销售量为26.5 箱,故估计乙种酸奶未来一个月的销售总量约为26.5×30=795(箱).
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