14.3.2公式法 课件(2课时、共37张PPT)2023-2024学年人教版八年级数学上册

(共37张PPT)
八年级数学·上 新课标 [人]
14.3.2 公式法（1）
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、问题探究
在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b)(如图左下图所示).把余下的部分恰好剪拼成一个矩形(如图右下图所示),通过计算两个图形(阴影部分)的面积,可以得到一个怎样的等式
右图中阴影部分为矩形(长为a+b,宽为a-b),面积为(a+b)(a-b).因此(a+b)(a-b)=a2-b2或a2-b2=(a+b)(a-b),(a+b)(a-b)=a2-b2是乘法公式,而反过来a2-b2=(a+b)(a-b)这是因式分解的另一种方法——公式法.
通过图形可以知道,右图是由左图拼成的,它们的面积相等,左图中阴影部分的面积为a2-b2;
把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来就可得到分解因式中的平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b)
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.
(1)左边是二项式,两项均能写成完全平方的形式,且符号相反;
(2)右边是这两个数的和与这两个数的差的积.
(1)x2-4=x2-22= (x+2)(x-2);
(2)x2-16 =(　　x　)2-(　　　　)2
=(　　　　)(　　　　);
(3)9-y2=(　　　　)2-(　　　　)2
=(　　　　)·(　　　　);
(4)1-a2 =(　　　　)2-(　　　)2
=(　　　　)·(　　　　).
x
4
x+4
x-4
3
y
3+y
3-y
1
a
1+a
1-a
你能由以上知识分解下列几个多项式吗
(1)p 2-16 ; (2)y 2-4 ; (3)x 2- .
例1 分解因式.
(1) 4x2 -9;　　(2)(x+p)2-(x+q)2.
a2-b2=(a+b)(a-b)
2x 　x+p
3 　x+q
公式中的a与b可以表示一个数,也可以表示一个单项式,甚至是多项式,
解:(1)4x2-9=(2x)2-32
=(2x+3)(2x-3).
(2)(x+p)2-(x+q)2
=[(x+p)+(x+q)] [(x+p)-(x+q)]
=(2x+p+q)(p-q).
例2 分解因式:
(1)x 4-y 4;　　(2)a3b-ab .
(1)x4-y4可以写成(x2)2 -(y2)2的形式,
这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.但分解到(x2 +y2)(x2-y2)后,必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止.
(2)不能直接利用平方差公式分解因式,但通过观察可以发现a3b-ab有公因式ab,应先提出公因式,再进一步分解.
(1)多项式分解因式的结果要化简;
多项式分解因式要 求
(2)在化简过程中要正确应用去括号法则,并注意合并同类项;
(3)分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止.
1.公式:a2-b2=(a+b)(a-b).
2.法则:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.
小结
(1)左边是二项式,每项都是平方的形式,两项的符号相反;
(2)右边是两个多项式的积,一个因式是两数的和,另一个因式是这两数的差;
(3)在乘法公式中, “平方差”是计算结果,而在因式分解中,“平方差”是要分解因式的多项式;
(4)平方差公式的使用条件:如果多项式是两数差的形式,并且这两个数又都可以写成平方的形式,那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式.
B
1.将a2-9分解因式的结果是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　
A.(a+9)(a-9) B.(a+3)(a-3)
C.(a+3)2 D.(a-3)2
B
2.将(a-1)2-1分解因式,结果正确的是 (　　)
A.a(a-1) B.a(a-2)
C.(a-2)(a-1) D.(a-2)(a+1)
3.计算552-152的结果是 (　　)
A.40 B.1600
C.2400 D.2800
D
4.用平方差公式分解因式.
(1)36-x 2 ;
(2)-a 2+b 2 ;
(3)x 2-16y 2;
(4)x 2y 2-z 2;
(5)(x+2)2-92;
(6)(x+a)2-(y+b)2;
(7)25(a+b)2- 4(a-b)2;
(8)a 2-16 .
(4)原式=(xy+z)(xy-z).　
解:(1)原式=(6+x)(6-x).
(2)原式=(b+a)(b-a).
(3)原式=(x+4y)(x-4y).
(8)原式=(a+4)(a-4).
(5)原式=[(x+2)+9][(x+2)-9]=(x+11)(x-7).
(6)原式=[(x+a)+(y+b)][(x+a)-(y+b)]
=(x+a+y+b)(x+a-y-b).　
(7)原式=[5(a+b)+2(a-b)][5(a+b)-2(a-b)]
=(7a+3b)(3a+7b).　
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第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3.2 公式法（2）
你能根据下面图形的面积写出一个等式吗
(a+b)2
a2+2ab+b2
因式分解
整式乘法
可得a2+2ab+b2=(a+b)2.
两数的平方和加上(或减去)这两数的积的两倍,等于这两数和(或者差)的平方.形如a2±2ab+b2的多项式称为完全平方式.
完全平方公式的特点是左边是一个二次三项式,其中有两个数的平方和与这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数,符合这些特征,就可以化成右边的两数和(或差)的平方形式.
一、运用完全平方公式分解因式
下列各式是不是完全平方式
(1)a2 -4a+4; (2)x2 +4x+4y2;
(3)4a2 +2ab+ b2; (4)a2 -ab+b2;
(5)x2 -6x-9; (6)a2+a+0.25.
完全平方公式适合分解三项的多项式,要掌握这一公式的形式和特点.
运用公式法分解因式的关键是弄清各公式的形式和结构,选择适当的公式进行因式分解,公式中的字母可以是任何数、单项式或多项式.
例1 分解因式：
(1)16x2+24x+9; (2)-x2+4xy- 4y2.
　(1)分析:在(1)中,
16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3,所以
16x2 +24x+9是一个完全平方式,即:
16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
a2+ 2· a· b+ b2
　 (2)分析:在(2)中两个平方项前有
负号,所以应考虑用添括号法则将负号提出,然后再考虑完全平方公式,因为4y2 =(2y)2,4xy=2·x·2y.
所以:-x2+4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)
=-[x2-2·x·2y+(2y)2]
a2+ 2· a· b+ b2
例2 分解因式：
(1) 3ax2 +6axy+3ay2;
(2)(a+b)2 -12(a+b)+36.
(1)中有公因式3a,应先提出公因式,再进一步分解;(2)中,将a+b看作一个整体,设a+b=m,则原式化为完全平方式
m2 -12m+36.
(2)(a+b)2 -12(a+b)+36
=(a+b)2-2·(a+b)·6+62
=(a+b-6)2.
解:(1)3ax2 +6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2.
归纳
如果把乘法公式的等号两边互换位置,就可以得到用于分解因式的公式,用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法.
1.(a±b)2=a2±2ab+b2与a2±2ab+b2=(a±b)2都叫做完全平方公式,前者是用来进行多项式的乘法运算,后者是用来进行因式
分解.
小结
2.应用a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式时要抓住公式特点:公式左边是一个二次三项式,右边是二项式的平方,当左边是两数的平方和加上这两数的积的2倍时,右边就是这两个数的和的平方的形式,当左边是两个数平方的和与这两个数积的2倍的差时,右边就是这两个数的差的平方的形式,仅一个符号不同.
3.要注意平方差公式的综合应用,分解到每一个因式都不能再分解为止.
对于因式分解的方法,可参考下图:
1.把代数式x2-4x+4分解因式,下列结果中正确的是 (　　)　　　　　　　　
A.(x+2)(x-2) B.(x+2)2
C.(x-4)2 D.(x-2)2
D
D
2.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是 (　　)
A.x2+x+1 B.x2+2x-1
C.x2-1 D.x2-6x+9
3.下列因式分解正确的是 (　　)
A.a2-b2=(a-b)2
B.16a2-8ab+b2=(4a-b)2
C.a2+ab+b2=(a+b)2
D.x2y+xy2+xy=xy(x+y)
B
4.把下列各式分解因式.
(1)a2-4ax+4a ; (2)(x2-1)2+6(1-x2)+9 .
解:(1)a2-4ax+4a=a(a-4x+4).　
(2)(x2-1)2+6(1-x2)+9
=(x2-1-3)2=(x+2)2·(x-2)2.
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