四川省自贡市自贡井区二十八中2023-2024学年九年级上学期入学数学试卷
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．（2023九上·自流井开学考）如果代数式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥﹣1
C．x≠﹣1 D．x≥﹣1，且x≠2
2．（2023九上·自流井开学考）下列命题中，假命题是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．四个角都相等的四边形是矩形
D．四条边都相等的四边形是正方形
3．（2020八下·遂宁期末）若点M（m+3，m﹣2）在x轴上，则点M的坐标为（ ）
A．（0，﹣5） B．（0，5） C．（﹣5，0） D．（5，0）
4．（2023九上·自流井开学考）已知实数a满足，那么a﹣20002的值是（ ）
A．1999 B．2000 C．2001 D．2002
5．（2023九上·自流井开学考）已知直线y＝2x+k与x轴的交点为（﹣2，0），则关于x的不等式2x+k＜0的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
6．（2023九上·自流井开学考）小明在班上做节约用水意识的调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：4，4，6，7，8，9，10．他发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数，众数保持不变，则去掉的两个数可能是 （ ）
A．4，10 B．4，9 C．7，8 D．6，8
7．（2023九上·自流井开学考）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC， 交BE于点P， 若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7．则S△CFP﹣S△AEP的值是（ ）
A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
8．（2023九上·自流井开学考）清明假期第一天天气晴朗，小明与爸爸去爬山．小明与爸爸同时从山脚出发，由于爸爸有爬山经验，始终保持着较慢的速度匀速运动到山顶．小明刚开始的时候比爸爸速度快，累了之后减速继续爬山，和爸爸相遇再爬了半个小时后加速追赶爸爸，最终爸爸用2个小时爬上了山顶，小明比爸爸晚了6分钟到达．如图，横坐标为时间，纵坐标为爬山的路程．则下列说法错误的是 （ ）
A．爸爸的爬山速度为3km/h
B．1.5小时的时候爸爸与小明的距离为0.5km
C．山脚到山顶的总路程为6km
D．小明最后一段速度为3km/h
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（2023九上·自流井开学考）在中，最简二次根式有 个．
10．（2023九上·自流井开学考）当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是 ．
11．（2023九上·自流井开学考）如图所示，一棵9m高的树被风刮断了，树顶落在离树根6m处，则折断处的高度AB为 ．
12．（2021八下·南康期末）已知一组数据x1，x2，x3，x4的方差是2，则数据x1＋5，x2＋5，x3＋5，x4＋5的方差是 ．
13．（2023九上·自流井开学考）如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），则关于x、y的二元一次方程组 的解是 ．
14．（2023九上·自流井开学考）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、正方形A3B3C3C2、正方形A4B4C4C3、…、正方形AnBn nCn﹣1按如图所示的方式放置，其中点A1，A2，A3，A4，…，An均在一次函数y＝kx+b的图象上，点C1，C2，C3，C4，…， n均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An的坐标为 ．
三、解答题（每小题5分，共25分）
15．（2023九上·自流井开学考）计算：．
16．（2023九上·自流井开学考）若x，y为实数，且y＝4+1，求的值．
17．（2022·大同模拟）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．
18．（2023九上·自流井开学考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC=8， AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长．
19．（2023九上·自流井开学考）已知直线y＝kx+b与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B（0，6）
（1）求AB的长；
（2）求k、b的值．
四、解答题（每小题6分，共计18分）
20．（2023九上·自流井开学考）某校为了解八年级学生的身高状况，随机抽取40名男生、40名女生进行身高调查．根据所得数据绘制如图统计图表．根据图表中提供的信息，回答下列问题：
组别 身高x/cm
A x＜150
B 150≤x＜155
C 155≤x＜160
D 160≤x＜165
E x≥165
（1）求身高在150≤x＜155之间的男生人数，并补全直方图．
（2）男生身高的中位数落在 组，女生身高的中位数落在 组．（填组别字母序号）
（3）已知该校八年级共有男生400人，女生420人，请估计八年级身高不足160cm的学生数．
21．（2023九上·自流井开学考）某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现要调往A县10辆，调往B县8辆 ，已知调运一辆农用车的费用如表：
县名 费用 仓库 A B
甲 40 80
乙 30 50
（1）设从乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式．
（2）若要求总运费不超过900元．共有哪几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？
22．（2023九上·自流井开学考）下面是小李同学探索的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是，且10＜＜11，
∴设＝10+x，其中0＜x＜1， 画出如图示意图，
∵图中S正方形＝102+2×10 x+x2，S正方形＝107
∴102+2×10 x+x2＝107
当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即≈10.35．
（1）的整数部分是 ；
（2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
五、解答题（23题7分，24题8分，共计15分）
23．（2023九上·自流井开学考） AC是菱形ABCD的对角线，∠B＝60°，AB＝2， ∠EAF=60°， 将∠EAF绕顶点A旋转，∠EAF的两边分别与直线 BC，CD交于点E，F，连接EF．
（1）【感知】 如图1，若E，F分别是边BC，CD的中点， 则CE+CF＝ ；
（2）【探究】如图2，若E是线段BC上任意一点，求CE+CF的长；
（3）【应用】如图3，若E是BC延长线上一点，且EF⊥BC ，求△AEF的周长．
24．（2023九上·自流井开学考）如图，边长为4的正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，AB⊥y轴，AD⊥x轴，点A在直线y=2x-3上移动．
（1）当点A的横坐标为1时，求B，C两点的坐标；
（2）在正方形ABCD移动过程中，直线l始终平分正方形ABCD的面积，求直线l的解析式；
（3）当正方形ABCD有一条边与x轴或y轴重合时，请直接写出所有符合条件的点A的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x+1≥0且x-2≠0，
∴ x≥﹣1且x≠2
故答案为：D.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解： A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，真命题，故不符合题意；
B、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ，真命题，故不符合题意；
C、四个角都相等的四边形是矩形 ，真命题，故不符合题意；
D、四条边都相等的四边形是菱形 ，原命题是假命题，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形、菱形、矩形及正方的判定分别判断即可.
3．【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵M（m+3，m﹣2）是x轴上的点，
∴m﹣2＝0，
解得：m＝2．
∴点M的坐标为（5，0）．
故答案为：D．
【分析】直接利用在x轴上点的坐标特征得出纵坐标为零进而得出答案．
4．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵
∴a-2021≥0，
解得：a≥2021，
∴=a-2000+=a，
∴=2000，
∴a-2001=20002，
∴a-20002=2001，
故答案为：C.
【分析】由二次根式有意义的条件求出a≥2021，再化简绝对值得=2000，然后方程两边平方即可求解.
5．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解： ∵直线y＝2x+k与x轴的交点为（﹣2，0），
∴当x=-2时，y=0，
∵函数y＝2x+k中，y随x的增大而增大，
∴ 关于x的不等式2x+k＜0的解集x＜-2；
故答案为：C.
【分析】根据直线y＝2x+k与x轴的交点为（﹣2，0）且y随x的增大而增大进行解答即可.
6．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵ 4，4，6，7，8，9，10的众数是4，中位数是7，
又∵ 去掉其中两个数据后，这组数据的中位数 、众数不变，
∴数据4不能去，数据7不能去，
∴去掉的可能是6和8，
故答案为：D.
【分析】先确定原数据的众数与中位数，从而确定哪些数据不能去，继而判断即可.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理的证明；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，设AC交DG于点M，
∵AH=CF，∠AHM=∠CFP，∠PCF=∠MAH，
∴△CFP≌△AHM（AAS），
同理可证：△AEP≌△CGM，
S△CFP-S△AEP=S四边形EHMP=S四边形MGFP=S正EFGH，
设AE=x，BE=y，
∴x+y=7，x2+y2=28，EF=x-y，
∴2xy=21
∴EF2=（x-y）2=（x+y）2-4xy=49-42=7，
∴S△CFP-S△AEP=S正EFGH=×7=3.5；
故答案为：A.
【分析】设AC交DG于点M，证明△CFP≌△AHM（AAS），△AEP≌△CGM，从而得出S△CFP-S△AEP=S四边形EHMP=S四边形MGFP=S正EFGH，设AE=x，BE=y，
则x+y=7，x2+y2=28，EF=x-y，据此可推出2xy=21，从而求出EF2，即得正方形EFGH的面积，继而得解.
8．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：A、由图象可知爸爸1小时走了3km，则爸爸的爬山速度为3km/h，正确，故不符合题意；
B、1.5小时的时候爸爸走的路程为3×1.5=4.5km，
1.5小时的时候小明走的路程为[（3-2）÷（1-0.5）]×（1.5-0.5）+2=4km，
∴ 1.5小时的时候爸爸与小明的距离4.5-4=0.5km，正确，故不符合题意；
C、由图象可知爸爸用2小时爬到山顶，
∴ 山脚到山顶的总路程为3×2=6km ，正确，故不符合题意；
D、小明最后一段速度为（6-4） ÷（-1.5）=km/h，错误，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】由图象可知爸爸1小时走了3km，据此判断A；小明累了之后减速继续爬山，此时速度2km/h，可知1.5小时时，小明爬山的路程为4km，爸爸走的路程为4.5km，据此判断B；由图象可知爸爸用2小时爬到山顶，求出此时路程即可判断C；小明最后一段速度为（6-4） ÷（-1.5）=km/h，据此判断D.
9．【答案】1
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：在 中，是最简二次根式，
∴最简二次根式有1个；
故答案为：1.
【分析】最简二次根式必须满足两个条件①被开方数不含分母，②被开方数不含能开方开得尽的因数或因式；据此判断即可.
10．【答案】1＜k＜3
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限，
∴2﹣2k＜0且k﹣3＜0，
解得： 1＜k＜3
故答案为： 1＜k＜3 .
【分析】直线y＝kx+b(k≠0），当k＜0，b＜0时直线经过第二、三、四象限，据此解答即可.
11．【答案】2.5m
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得AC=9-AB，
由勾股定理可得：AB2+62=AC2，即AB2+62=（9-AB）2，
解得AB=2.5m，
故答案为：2.5m.
【分析】利用勾股定理进行解答即可.
12．【答案】2
【知识点】方差
【解析】【解答】设一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是a，则 ，
∵一组数据x1，x2，x3，x4的方差是2，则 ，
∴ ，
∴数据x1＋5，x2＋5，x3＋5，x4＋5的平均数为 ，
∴数据x1＋5，x2＋5，x3＋5，x4＋5的方差为
，
故答案为：2
【分析】利用方差的计算公式代入计算即可。
13．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解： 把点P（m，1）代入y＝﹣x+4中，
∴1＝﹣m+4，
解得：m=3，
∴P（3，1），
∴ 关于x、y的方程组 的解为；
故答案为： .
【分析】关于x、y的方程组 的解是一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象的交点坐标，据此即得结论.
14．【答案】（2n﹣1﹣2，2n﹣1）
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），
∴正方形A1B1C1O的边长为1， 正方形A2B2C2C1的边长为2，
∴A1（0，1）A2（1，2）
将其代入 y＝kx+b中得，解得，
∴y=x+1，
∴直线y=x+1与x轴的夹角为45°，
∴A1（0，1），即为（20-1，20）
A2（1，2），即为（21-1，21），
A3（22-1，22），A4（23-1，23），······，
∴ 点An的坐标为 （2n﹣1﹣1，2n﹣1） ，
故答案为：（2n﹣1﹣1，2n﹣1） .
【分析】先确定A1，A2的坐标，再利用待定系数法求出直线解析式，然后分别求出A3、A4······的坐标，从而得出规律，继而得解.
15．【答案】解：原式＝6+3×2
＝2+18
＝24
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用二次根式的乘法法则计算，再计算加法即可.
16．【答案】解：由题意知，
解得：x＝，
则y＝1，
∴原式＝
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件求出x值，再求出y值，然后代入计算即可.
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，AB=CD，
又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF=BE，
又AB//CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】先证出四边形DEBF是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得DE=BF。
18．【答案】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC=8，
∴BC＝＝6，
连接BE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，
在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴AE＝．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】由勾股定理求出BC=6，连接BE，由线段垂直平分线得性质可得AE＝BE，设AE＝BE＝x，则CE＝4﹣x， 在Rt△BCE中 ，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可.
19．【答案】（1）解：∵ 直线y＝kx+b与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B（0，6） ，
∴OA=8，OB=6，
由勾股定理得AB2=OA2+OB2=82+62，
∴AB=10，
（2）解：点A（8，0）B（0，6） 代入y＝kx+b中，得‘
解得： .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理
【解析】【分析】（1）由勾股定理解答即可；
（2）利用待定系数法求解析式即可.
20．【答案】（1）解：40﹣2﹣12﹣14﹣8＝4（人），
身高在150≤x＜155之间的男生有4人．
补全的直方图如下：
（2）D；C
（3）解：（人），
答：八年级身高不足160cm的学生约有537人．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数
【解析】【解答】解：（2）由直方图知：男生成绩从高到低第20、21个数均落在D组，女生成绩从高到低第20、21个数均落在C组，
∴ 男生身高的中位数落在D组，女生身高的中位数落在C组 ；
故答案为：D，C；
【分析】（1）利用男生各部分人数之和等于男生调查人数，求出身高在150≤x＜155之间的男生人数，再补图即可；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）分别求出男生和女生身高不足160cm的学生数，再相加即可.
21．【答案】（1）解：若乙仓库调往A县农用车x辆（x≤6），则乙仓库调往B县农用车6﹣x辆，故甲给A县调农用车10﹣x辆，甲给B县8-（6-x）=x+2辆，根据各个调用方式的运费可以列出方程如下：
y＝40（10﹣x）+80（x+2）+30x+50（6﹣x），
化简得：y＝20x+860（0≤x≤6），
（2）解：总运费不超过900，即y≤900，
∴20x+860≤900，
解得x≤2，所以x＝0，1，2，
即如下三种方案：
1、甲往A：10辆，乙往A：0辆；甲往B：2辆，乙往B：6辆，
2、甲往A：9；乙往A：1辆；甲往B：3辆，乙往B：5辆，
3、甲往A：8辆，乙往A：2辆；甲往B：4辆，乙往B：4辆，
（3）解：要使得总运费最低，由y＝20x+860（0≤x≤6）知，
即上面（2）的第一种方案：甲往A：10辆，乙往A：0辆；甲往B：2辆，乙往B：6辆，
总运费最少为860元．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1） 若乙仓库调往A县农用车x辆（x≤6），则乙仓库调往B县农用车(6﹣x)辆，故甲给A县调农用车(10﹣x)辆，给B县调查（x+2）辆，根据各个调用方式的运费列出关系式即可；
（2）根据“ 要求总运费不超过900元 ”列出不等式并求其正整数解即可；
（3）由（1）解析式及（2）结论，确定运费最小的方案即可.
22．【答案】（1）8
（2）解：∵面积为76的正方形边长是，且8＜，
∴设＝8+x，如图所示，
∵图中S正方形＝82+2×8 x+x2，S正方形＝76，
∴82+2×8 x+x2＝76，
当x2较小时，省略x2，得16x+64≈76，得到x≈0.75，
即≈8.75．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵64＜76＜81，
∴，即，
∴的整数部分为8；
故答案为：8.
【分析】（1）估算出的范围即可；
（2）根据题目提供的解法进行解答即可.
23．【答案】（1）2
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠B+∠BCD＝180°，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∠ACB＝∠ACD＝∠BAC＝60°，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACD，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE＝CF，
∴CE+CF＝CE+BE＝BC＝7；
（3）解：同（2）可得，△ABE≌△ACF，
∴AE＝AF，CE＝DF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∵AB∥FC，∠FCE＝∠B＝60°，
∴CF＝2CE，
即CD+DF＝2CE，CE＝2，
∴EF＝
∴△AEF的周长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=AB=2，
∵ E，F分别是边BC、CD的中点，
∴CE=BC=1，CF=CD=1，
∴CE+CF=2，
故答案为：2.
【分析】（1）由菱形的性质可得BC=CD=AB=2，由线段中点求出CE、CF的长，继而得解；
（2）证明△ABE≌△ACF（ASA），可得BE＝CF，根据CE+CF＝CE+BE＝BC 即可求解；
（3）证明△AEF是等边三角形，可得AE＝EF＝AF， 从而求出CE、CF的长，再由勾股定理求出EF的长.
24．【答案】（1）解：当点A的横坐标为1，则y＝2x﹣3＝﹣1，
∴点A（1，-1）∵AB⊥y轴，AB=BC=4，
∴点B（-3，-1），C（﹣3、3）；
（2）解：设点A（m，2m﹣3），则点C（m-4，2m+1），
由中点坐标公式得：正方形的中心坐标为：（m﹣2，2m﹣1），
即x＝m﹣2，y＝2m﹣1，
则y＝2x+3
（3）解：点A的坐标为：（，﹣4）或（5，5）．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；正方形的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：（3）当正方形ABCD有一条边与x轴重合时，则点A的纵坐标为0或-4，
当y=0时，y＝2x-3，得x=；当y=-4时，y＝2x-3，得x=，
∴A（，0）或（，-4）；
当正方形ABCD有一条边与y轴重合时，则点A的横坐标为0或4，
当x=0时，y＝2x-3=-3；当x=4时，y＝2x-3=5；
∴A（0，-3）或（0，5）；
综上：点A的坐标为（，0）或（，-4）或（0，-3）或（0，5）；
【分析】（1） 当点A的横坐标为1时，则y＝2x﹣3＝﹣1，即可求解；
（2）设点A（m，2m﹣3），则点C（m-4，2m+1），由中点坐标公式求出正方形的中心坐标，继而得解；
（3）分两种情况：当正方形ABCD有一条边与x轴重合时，可得则点A的纵坐标为0或-4；当正方形ABCD有一条边与y轴重合时，则点A的横坐标为0或4，根据一次函数图象上点的坐标特征分别求解即可.
1 / 1四川省自贡市自贡井区二十八中2023-2024学年九年级上学期入学数学试卷
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．（2023九上·自流井开学考）如果代数式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥﹣1
C．x≠﹣1 D．x≥﹣1，且x≠2
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x+1≥0且x-2≠0，
∴ x≥﹣1且x≠2
故答案为：D.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.
2．（2023九上·自流井开学考）下列命题中，假命题是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．四个角都相等的四边形是矩形
D．四条边都相等的四边形是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解： A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，真命题，故不符合题意；
B、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ，真命题，故不符合题意；
C、四个角都相等的四边形是矩形 ，真命题，故不符合题意；
D、四条边都相等的四边形是菱形 ，原命题是假命题，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形、菱形、矩形及正方的判定分别判断即可.
3．（2020八下·遂宁期末）若点M（m+3，m﹣2）在x轴上，则点M的坐标为（ ）
A．（0，﹣5） B．（0，5） C．（﹣5，0） D．（5，0）
【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵M（m+3，m﹣2）是x轴上的点，
∴m﹣2＝0，
解得：m＝2．
∴点M的坐标为（5，0）．
故答案为：D．
【分析】直接利用在x轴上点的坐标特征得出纵坐标为零进而得出答案．
4．（2023九上·自流井开学考）已知实数a满足，那么a﹣20002的值是（ ）
A．1999 B．2000 C．2001 D．2002
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵
∴a-2021≥0，
解得：a≥2021，
∴=a-2000+=a，
∴=2000，
∴a-2001=20002，
∴a-20002=2001，
故答案为：C.
【分析】由二次根式有意义的条件求出a≥2021，再化简绝对值得=2000，然后方程两边平方即可求解.
5．（2023九上·自流井开学考）已知直线y＝2x+k与x轴的交点为（﹣2，0），则关于x的不等式2x+k＜0的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解： ∵直线y＝2x+k与x轴的交点为（﹣2，0），
∴当x=-2时，y=0，
∵函数y＝2x+k中，y随x的增大而增大，
∴ 关于x的不等式2x+k＜0的解集x＜-2；
故答案为：C.
【分析】根据直线y＝2x+k与x轴的交点为（﹣2，0）且y随x的增大而增大进行解答即可.
6．（2023九上·自流井开学考）小明在班上做节约用水意识的调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：4，4，6，7，8，9，10．他发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数，众数保持不变，则去掉的两个数可能是 （ ）
A．4，10 B．4，9 C．7，8 D．6，8
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵ 4，4，6，7，8，9，10的众数是4，中位数是7，
又∵ 去掉其中两个数据后，这组数据的中位数 、众数不变，
∴数据4不能去，数据7不能去，
∴去掉的可能是6和8，
故答案为：D.
【分析】先确定原数据的众数与中位数，从而确定哪些数据不能去，继而判断即可.
7．（2023九上·自流井开学考）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC， 交BE于点P， 若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7．则S△CFP﹣S△AEP的值是（ ）
A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】A
【知识点】勾股定理的证明；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，设AC交DG于点M，
∵AH=CF，∠AHM=∠CFP，∠PCF=∠MAH，
∴△CFP≌△AHM（AAS），
同理可证：△AEP≌△CGM，
S△CFP-S△AEP=S四边形EHMP=S四边形MGFP=S正EFGH，
设AE=x，BE=y，
∴x+y=7，x2+y2=28，EF=x-y，
∴2xy=21
∴EF2=（x-y）2=（x+y）2-4xy=49-42=7，
∴S△CFP-S△AEP=S正EFGH=×7=3.5；
故答案为：A.
【分析】设AC交DG于点M，证明△CFP≌△AHM（AAS），△AEP≌△CGM，从而得出S△CFP-S△AEP=S四边形EHMP=S四边形MGFP=S正EFGH，设AE=x，BE=y，
则x+y=7，x2+y2=28，EF=x-y，据此可推出2xy=21，从而求出EF2，即得正方形EFGH的面积，继而得解.
8．（2023九上·自流井开学考）清明假期第一天天气晴朗，小明与爸爸去爬山．小明与爸爸同时从山脚出发，由于爸爸有爬山经验，始终保持着较慢的速度匀速运动到山顶．小明刚开始的时候比爸爸速度快，累了之后减速继续爬山，和爸爸相遇再爬了半个小时后加速追赶爸爸，最终爸爸用2个小时爬上了山顶，小明比爸爸晚了6分钟到达．如图，横坐标为时间，纵坐标为爬山的路程．则下列说法错误的是 （ ）
A．爸爸的爬山速度为3km/h
B．1.5小时的时候爸爸与小明的距离为0.5km
C．山脚到山顶的总路程为6km
D．小明最后一段速度为3km/h
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：A、由图象可知爸爸1小时走了3km，则爸爸的爬山速度为3km/h，正确，故不符合题意；
B、1.5小时的时候爸爸走的路程为3×1.5=4.5km，
1.5小时的时候小明走的路程为[（3-2）÷（1-0.5）]×（1.5-0.5）+2=4km，
∴ 1.5小时的时候爸爸与小明的距离4.5-4=0.5km，正确，故不符合题意；
C、由图象可知爸爸用2小时爬到山顶，
∴ 山脚到山顶的总路程为3×2=6km ，正确，故不符合题意；
D、小明最后一段速度为（6-4） ÷（-1.5）=km/h，错误，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】由图象可知爸爸1小时走了3km，据此判断A；小明累了之后减速继续爬山，此时速度2km/h，可知1.5小时时，小明爬山的路程为4km，爸爸走的路程为4.5km，据此判断B；由图象可知爸爸用2小时爬到山顶，求出此时路程即可判断C；小明最后一段速度为（6-4） ÷（-1.5）=km/h，据此判断D.
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（2023九上·自流井开学考）在中，最简二次根式有 个．
【答案】1
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：在 中，是最简二次根式，
∴最简二次根式有1个；
故答案为：1.
【分析】最简二次根式必须满足两个条件①被开方数不含分母，②被开方数不含能开方开得尽的因数或因式；据此判断即可.
10．（2023九上·自流井开学考）当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是 ．
【答案】1＜k＜3
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限，
∴2﹣2k＜0且k﹣3＜0，
解得： 1＜k＜3
故答案为： 1＜k＜3 .
【分析】直线y＝kx+b(k≠0），当k＜0，b＜0时直线经过第二、三、四象限，据此解答即可.
11．（2023九上·自流井开学考）如图所示，一棵9m高的树被风刮断了，树顶落在离树根6m处，则折断处的高度AB为 ．
【答案】2.5m
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得AC=9-AB，
由勾股定理可得：AB2+62=AC2，即AB2+62=（9-AB）2，
解得AB=2.5m，
故答案为：2.5m.
【分析】利用勾股定理进行解答即可.
12．（2021八下·南康期末）已知一组数据x1，x2，x3，x4的方差是2，则数据x1＋5，x2＋5，x3＋5，x4＋5的方差是 ．
【答案】2
【知识点】方差
【解析】【解答】设一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是a，则 ，
∵一组数据x1，x2，x3，x4的方差是2，则 ，
∴ ，
∴数据x1＋5，x2＋5，x3＋5，x4＋5的平均数为 ，
∴数据x1＋5，x2＋5，x3＋5，x4＋5的方差为
，
故答案为：2
【分析】利用方差的计算公式代入计算即可。
13．（2023九上·自流井开学考）如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），则关于x、y的二元一次方程组 的解是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解： 把点P（m，1）代入y＝﹣x+4中，
∴1＝﹣m+4，
解得：m=3，
∴P（3，1），
∴ 关于x、y的方程组 的解为；
故答案为： .
【分析】关于x、y的方程组 的解是一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象的交点坐标，据此即得结论.
14．（2023九上·自流井开学考）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、正方形A3B3C3C2、正方形A4B4C4C3、…、正方形AnBn nCn﹣1按如图所示的方式放置，其中点A1，A2，A3，A4，…，An均在一次函数y＝kx+b的图象上，点C1，C2，C3，C4，…， n均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An的坐标为 ．
【答案】（2n﹣1﹣2，2n﹣1）
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），
∴正方形A1B1C1O的边长为1， 正方形A2B2C2C1的边长为2，
∴A1（0，1）A2（1，2）
将其代入 y＝kx+b中得，解得，
∴y=x+1，
∴直线y=x+1与x轴的夹角为45°，
∴A1（0，1），即为（20-1，20）
A2（1，2），即为（21-1，21），
A3（22-1，22），A4（23-1，23），······，
∴ 点An的坐标为 （2n﹣1﹣1，2n﹣1） ，
故答案为：（2n﹣1﹣1，2n﹣1） .
【分析】先确定A1，A2的坐标，再利用待定系数法求出直线解析式，然后分别求出A3、A4······的坐标，从而得出规律，继而得解.
三、解答题（每小题5分，共25分）
15．（2023九上·自流井开学考）计算：．
【答案】解：原式＝6+3×2
＝2+18
＝24
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用二次根式的乘法法则计算，再计算加法即可.
16．（2023九上·自流井开学考）若x，y为实数，且y＝4+1，求的值．
【答案】解：由题意知，
解得：x＝，
则y＝1，
∴原式＝
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件求出x值，再求出y值，然后代入计算即可.
17．（2022·大同模拟）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，AB=CD，
又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF=BE，
又AB//CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】先证出四边形DEBF是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得DE=BF。
18．（2023九上·自流井开学考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC=8， AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长．
【答案】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC=8，
∴BC＝＝6，
连接BE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，
在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴AE＝．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】由勾股定理求出BC=6，连接BE，由线段垂直平分线得性质可得AE＝BE，设AE＝BE＝x，则CE＝4﹣x， 在Rt△BCE中 ，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可.
19．（2023九上·自流井开学考）已知直线y＝kx+b与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B（0，6）
（1）求AB的长；
（2）求k、b的值．
【答案】（1）解：∵ 直线y＝kx+b与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B（0，6） ，
∴OA=8，OB=6，
由勾股定理得AB2=OA2+OB2=82+62，
∴AB=10，
（2）解：点A（8，0）B（0，6） 代入y＝kx+b中，得‘
解得： .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理
【解析】【分析】（1）由勾股定理解答即可；
（2）利用待定系数法求解析式即可.
四、解答题（每小题6分，共计18分）
20．（2023九上·自流井开学考）某校为了解八年级学生的身高状况，随机抽取40名男生、40名女生进行身高调查．根据所得数据绘制如图统计图表．根据图表中提供的信息，回答下列问题：
组别 身高x/cm
A x＜150
B 150≤x＜155
C 155≤x＜160
D 160≤x＜165
E x≥165
（1）求身高在150≤x＜155之间的男生人数，并补全直方图．
（2）男生身高的中位数落在 组，女生身高的中位数落在 组．（填组别字母序号）
（3）已知该校八年级共有男生400人，女生420人，请估计八年级身高不足160cm的学生数．
【答案】（1）解：40﹣2﹣12﹣14﹣8＝4（人），
身高在150≤x＜155之间的男生有4人．
补全的直方图如下：
（2）D；C
（3）解：（人），
答：八年级身高不足160cm的学生约有537人．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数
【解析】【解答】解：（2）由直方图知：男生成绩从高到低第20、21个数均落在D组，女生成绩从高到低第20、21个数均落在C组，
∴ 男生身高的中位数落在D组，女生身高的中位数落在C组 ；
故答案为：D，C；
【分析】（1）利用男生各部分人数之和等于男生调查人数，求出身高在150≤x＜155之间的男生人数，再补图即可；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）分别求出男生和女生身高不足160cm的学生数，再相加即可.
21．（2023九上·自流井开学考）某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现要调往A县10辆，调往B县8辆 ，已知调运一辆农用车的费用如表：
县名 费用 仓库 A B
甲 40 80
乙 30 50
（1）设从乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式．
（2）若要求总运费不超过900元．共有哪几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？
【答案】（1）解：若乙仓库调往A县农用车x辆（x≤6），则乙仓库调往B县农用车6﹣x辆，故甲给A县调农用车10﹣x辆，甲给B县8-（6-x）=x+2辆，根据各个调用方式的运费可以列出方程如下：
y＝40（10﹣x）+80（x+2）+30x+50（6﹣x），
化简得：y＝20x+860（0≤x≤6），
（2）解：总运费不超过900，即y≤900，
∴20x+860≤900，
解得x≤2，所以x＝0，1，2，
即如下三种方案：
1、甲往A：10辆，乙往A：0辆；甲往B：2辆，乙往B：6辆，
2、甲往A：9；乙往A：1辆；甲往B：3辆，乙往B：5辆，
3、甲往A：8辆，乙往A：2辆；甲往B：4辆，乙往B：4辆，
（3）解：要使得总运费最低，由y＝20x+860（0≤x≤6）知，
即上面（2）的第一种方案：甲往A：10辆，乙往A：0辆；甲往B：2辆，乙往B：6辆，
总运费最少为860元．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1） 若乙仓库调往A县农用车x辆（x≤6），则乙仓库调往B县农用车(6﹣x)辆，故甲给A县调农用车(10﹣x)辆，给B县调查（x+2）辆，根据各个调用方式的运费列出关系式即可；
（2）根据“ 要求总运费不超过900元 ”列出不等式并求其正整数解即可；
（3）由（1）解析式及（2）结论，确定运费最小的方案即可.
22．（2023九上·自流井开学考）下面是小李同学探索的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是，且10＜＜11，
∴设＝10+x，其中0＜x＜1， 画出如图示意图，
∵图中S正方形＝102+2×10 x+x2，S正方形＝107
∴102+2×10 x+x2＝107
当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即≈10.35．
（1）的整数部分是 ；
（2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】（1）8
（2）解：∵面积为76的正方形边长是，且8＜，
∴设＝8+x，如图所示，
∵图中S正方形＝82+2×8 x+x2，S正方形＝76，
∴82+2×8 x+x2＝76，
当x2较小时，省略x2，得16x+64≈76，得到x≈0.75，
即≈8.75．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵64＜76＜81，
∴，即，
∴的整数部分为8；
故答案为：8.
【分析】（1）估算出的范围即可；
（2）根据题目提供的解法进行解答即可.
五、解答题（23题7分，24题8分，共计15分）
23．（2023九上·自流井开学考） AC是菱形ABCD的对角线，∠B＝60°，AB＝2， ∠EAF=60°， 将∠EAF绕顶点A旋转，∠EAF的两边分别与直线 BC，CD交于点E，F，连接EF．
（1）【感知】 如图1，若E，F分别是边BC，CD的中点， 则CE+CF＝ ；
（2）【探究】如图2，若E是线段BC上任意一点，求CE+CF的长；
（3）【应用】如图3，若E是BC延长线上一点，且EF⊥BC ，求△AEF的周长．
【答案】（1）2
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠B+∠BCD＝180°，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∠ACB＝∠ACD＝∠BAC＝60°，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACD，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE＝CF，
∴CE+CF＝CE+BE＝BC＝7；
（3）解：同（2）可得，△ABE≌△ACF，
∴AE＝AF，CE＝DF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∵AB∥FC，∠FCE＝∠B＝60°，
∴CF＝2CE，
即CD+DF＝2CE，CE＝2，
∴EF＝
∴△AEF的周长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=AB=2，
∵ E，F分别是边BC、CD的中点，
∴CE=BC=1，CF=CD=1，
∴CE+CF=2，
故答案为：2.
【分析】（1）由菱形的性质可得BC=CD=AB=2，由线段中点求出CE、CF的长，继而得解；
（2）证明△ABE≌△ACF（ASA），可得BE＝CF，根据CE+CF＝CE+BE＝BC 即可求解；
（3）证明△AEF是等边三角形，可得AE＝EF＝AF， 从而求出CE、CF的长，再由勾股定理求出EF的长.
24．（2023九上·自流井开学考）如图，边长为4的正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，AB⊥y轴，AD⊥x轴，点A在直线y=2x-3上移动．
（1）当点A的横坐标为1时，求B，C两点的坐标；
（2）在正方形ABCD移动过程中，直线l始终平分正方形ABCD的面积，求直线l的解析式；
（3）当正方形ABCD有一条边与x轴或y轴重合时，请直接写出所有符合条件的点A的坐标．
【答案】（1）解：当点A的横坐标为1，则y＝2x﹣3＝﹣1，
∴点A（1，-1）∵AB⊥y轴，AB=BC=4，
∴点B（-3，-1），C（﹣3、3）；
（2）解：设点A（m，2m﹣3），则点C（m-4，2m+1），
由中点坐标公式得：正方形的中心坐标为：（m﹣2，2m﹣1），
即x＝m﹣2，y＝2m﹣1，
则y＝2x+3
（3）解：点A的坐标为：（，﹣4）或（5，5）．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；正方形的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：（3）当正方形ABCD有一条边与x轴重合时，则点A的纵坐标为0或-4，
当y=0时，y＝2x-3，得x=；当y=-4时，y＝2x-3，得x=，
∴A（，0）或（，-4）；
当正方形ABCD有一条边与y轴重合时，则点A的横坐标为0或4，
当x=0时，y＝2x-3=-3；当x=4时，y＝2x-3=5；
∴A（0，-3）或（0，5）；
综上：点A的坐标为（，0）或（，-4）或（0，-3）或（0，5）；
【分析】（1） 当点A的横坐标为1时，则y＝2x﹣3＝﹣1，即可求解；
（2）设点A（m，2m﹣3），则点C（m-4，2m+1），由中点坐标公式求出正方形的中心坐标，继而得解；
（3）分两种情况：当正方形ABCD有一条边与x轴重合时，可得则点A的纵坐标为0或-4；当正方形ABCD有一条边与y轴重合时，则点A的横坐标为0或4，根据一次函数图象上点的坐标特征分别求解即可.
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