2023-2024学年江苏省无锡市梁溪区大桥中学九年级（上）期中数学试卷(含解析)

2023-2024学年江苏省无锡市梁溪区大桥中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝1
C． D．x2+y2＝0
2．（3分）下列一元二次方程中，两根之和为2的是（　　）
A．x2﹣2x+3＝0 B．﹣x2﹣2x+1＝0
C． D．2x2﹣4x﹣1＝0
3．（3分）如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝4，则AD的长是（　　）
A．3 B． C． D．
4．（3分）下列命题中：①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③等弧所对的圆心角相等；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤优弧一定大于劣弧．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（3分）已知直线DE分别交△ABC边AB、AC于D、E点，那么不能推出DE∥BC的是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（　　）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，
7．（3分）若x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了28场，则下列方程中符合题意的是（　　）
A．x（x﹣1）＝28 B．x（x+1）＝28
C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
8．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝40°，∠ABC＝70°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连接CD，则∠AEB等于（　　）
A．70° B．90° C．110° D．120°
9．（3分）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC分别交于点D，E，且E为弧BD的中点，若AB＝16，BC＝8，则BD的长为（　　）
A．7 B． C． D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为OD上一点，BF⊥AE于点G，交AO于点H，连结CG交BD于点P．若，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需要写解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）
11．（3分）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是 　 　．
12．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为　 　．
13．（3分）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率相同，则二、三月份每月的平均增长率为 　 　．
14．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝2：1，则△ADE与△ABC的面积之比为 　 　．
15．（3分）若线段a＝3，b＝27，线段c是a和b的比例中项，则c＝　 　．
16．（3分）如图：点G是△ABC的重心，GH∥AC，交边BC于点H，如果GH＝2，那么AC＝　 　．
17．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，⊙O分别与边AD，BC，CD相切，点E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿着EF翻折得四边形EFGH并满足FG所在的直线恰好与⊙O相切，切点为P，设线段FB的长为x，则FP＝　 　（用含x的代数式表示）；若AE＝1，则x的值为 　 　．
18．（3分）如图，线段AB＝6，P在线段AB上，BP＝2，点C为平面内一点，且满足∠PCB＝45°，以AB、BC为邻边构造 ABCD，连接BD，则对角线BD的取值范围为 　 　．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）用适当的方法解下列方程：
（1）2x2+2x﹣1＝0；
（2）x（x﹣1）＝2（x﹣1）；
（3）4（x﹣2）2＝9（2x+1）2；
（4）（2x﹣1）2﹣3（2x﹣1）＝4．
20．（8分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0
（1）若方程有两个不等的实数根，求k的取值范围；
（2）若x1、x2是方程的两根，且出x1+x2＝2﹣x1 x2．求k的值．
21．（8分）如图①，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为BC边上的一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点F，交AB于点E，连接DE．
（1）求证：△AFC∽△CFD；
（2）如图②，若，DE⊥BC，求的值．
22．（8分）如图，已知矩形ABCD，AB＝m，BC＝2，点P为线段AD任一点．
（1）若∠BPC＝60°，请在图中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点P；
（2）若符合（1）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是 　 　．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝3，DB＝4，∠EDB＝∠EPB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接BE，求BE的长．
24．（8分）如图，强强同学为了测量学校一棵笔直的大树OE的高度，先在操场上点A处放一面平面镜，从点A处后退1m到点B处，恰好在平面镜中看到树的顶部E点的像；再将平面镜向后移动4m（即AC＝4m）放在C处，从点C处向后退1.5m到点D处，恰好再次在平面镜中看到大树的顶部E点的像，测得强强的眼睛距地面的高度FB、GD为1.5m，已知点O，A，B，C，D在同一水平线上，且GD⊥OD，FB⊥OD，EO⊥OD．求大树OE的高度．（平面镜的大小忽略不计）
25．（10分）某面馆向食客推出经典特色小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面2500份，“生食”小面1500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低，统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加，求a的值．
26．（10分）关于x的方程，如果a、b、c满足a2+b2＝c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“勾股方程”．请解决下列问题：
（1）请写出一个“勾股方程”：　 　；
（2）求证：关于x的“勾股方程”必有实数根；
（3）如图，已知AB、CD是半径为1的⊙O的两条平行弦，AB＝a，CD＝b，且关于x的方程是“勾股方程”，求∠BAC的度数．
27．（10分）如图1，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，BD为矩形ABCD的对角线，∠ADB的平分线交CB的延长线于点E．点F是线段DE上的动点，以BF为对角线作正方形BGFH（点B，G，F，H按逆时针方向排列）．
（1）求BE的长；
（2）如图2，若点G落在CD边上，求CG的值；
（3）在点F的运动过程中，是否存在某一位置，使得正方形BGFH的某边落在△BDE的一边上？若存在，直接写出DF的长；若不存在，请说明理由．
28．（10分）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“关联远点”，把PQ PH的值称为⊙I关于直线a的“关联数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，1）．以A为圆心，2半径作圆．①已知直线m的表达式为y＝4，则⊙A关于直线m的“关联远点”坐标为 　 　，⊙A关于直线m的“关联数”是 　 　；②若直线n的函数表达式为y＝﹣x+6．则⊙A关于直线n的“关联数”是 　 　；
（2）在平面直角坐标系中，直线l经过点P（﹣5，4），点M是坐标平面内一点，以M为圆心，1为半径作⊙M．若⊙M与直线l相离，点Q（﹣2，0）是⊙M关于直线l的“关联远点”，且⊙M关于直线l的“关联数”是8，求M点的坐标．
2023-2024学年江苏省无锡市梁溪区大桥中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝1
C． D．x2+y2＝0
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．
【解答】解：A、该选项a可能等于0，所以可能不是一元二次方程，不符合题意；
B、该选项有一个未知数且最高次数为2，所以是一元二次方程，符合题意；
C、该选项为分式方程，不符合题意；
D、该选项有两个未知数，所以不是一元二次方程，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2．（3分）下列一元二次方程中，两根之和为2的是（　　）
A．x2﹣2x+3＝0 B．﹣x2﹣2x+1＝0
C． D．2x2﹣4x﹣1＝0
【分析】根据根的判别式的意义对A选项进行判断，根据根与系数的关系对B、C、D选项进行判断．
【解答】解：A．方程x2﹣2x+3＝0没有实数根，所以A选项不符合题意；
B．方程﹣x2﹣2x+1＝0的两根之和为﹣2，所以B选项不符合题意；
C．方程x2﹣x﹣1＝0的两根之和为1，所以C选项不符合题意；
D．方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根之和为2，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
3．（3分）如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝4，则AD的长是（　　）
A．3 B． C． D．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝4，
∴AD＝AB＝×4＝2﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
4．（3分）下列命题中：①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③等弧所对的圆心角相等；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤优弧一定大于劣弧．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用确定圆的条件、垂径定理、三角形的外心的性质及圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意；
③等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意；
④三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，故原命题错误，不符合题意；
⑤优弧不一定大于劣弧，故原命题错误，不符合题意．
正确的有1个，
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
5．（3分）已知直线DE分别交△ABC边AB、AC于D、E点，那么不能推出DE∥BC的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理的逆定理逐项分析判定即可．
【解答】解：∵，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，故A不符合题意；
∵，
∴，
∴DE∥BC，故B不符合题意；
由不能推得DE∥BC，故C符合题意；
∵，
∴，
∴，即．
∴DE∥BC，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理的逆定理等知识点，灵活运用平行线分线段成比例定理的逆定理“三条直线去截两条直线，如果截得的对应线段成比例，则这三条直线平行”是解答本题的关键．
6．（3分）下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（　　）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，
【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．
【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合题意，
B.1×4≠2×3，故不符合题意，
C.≠2×3，故不符合题意，
D.，故符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
7．（3分）若x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了28场，则下列方程中符合题意的是（　　）
A．x（x﹣1）＝28 B．x（x+1）＝28
C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：x（x﹣1）场．根据题意可知：此次比赛的总场数＝28场，依此等量关系列出方程即可．
【解答】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为x（x﹣1）场，
根据题意列出方程得：x（x﹣1）＝28，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以2．
8．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝40°，∠ABC＝70°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连接CD，则∠AEB等于（　　）
A．70° B．90° C．110° D．120°
【分析】先利用圆周角定理得到∠BCD＝90°，∠D＝∠A＝40°，则利用互余计算出∠DBC＝50°，再计算出∠ABE，然后根据三角形内角和可计算出∠AEB的度数．
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠D＝∠A＝40°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠D＝50°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠DBC＝20°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠A+∠ABE）＝180°﹣（40°+20°）＝120°，
故选：D．
【点评】本题重点考查了圆周角定理、三角形的内角和，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等．
9．（3分）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC分别交于点D，E，且E为弧BD的中点，若AB＝16，BC＝8，则BD的长为（　　）
A．7 B． C． D．
【分析】如图，连接AE．首先证明AC＝AB，再利用面积法求解．
【解答】解：如图，连接AE．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，BD⊥AC，
∵E为弧BD的中点，
∴＝，
∴∠CAE＝∠EAB，
∵∠C+∠CAE＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°，
∴∠C＝∠ABC，
∴AC＝AB＝16，
∵AE⊥BC，
∴EB＝EC＝4，
∴AE＝＝＝4，
∵ AC BD＝ BC AE，
∴BD＝＝＝2．
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为OD上一点，BF⊥AE于点G，交AO于点H，连结CG交BD于点P．若，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】先根据BF⊥AE和正方形的性质推出判定△AHG∽△BHO的条件，然后根据相似三角形的对应边成比例得到，设OH＝5a，则BO＝12a，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分求出
OA＝OC＝12a，AH＝12a﹣5a＝7a，在Rt△AHG中用含a的代数式表示出GH，过点G作GM⊥AH于M，判定△HGM∽△HAG，推出后用含a的代数式表示出HM，OM，最后根据GM⊥AC，PO⊥AC推出GM∥PO后用平行线分线段成比例定理得到，代入化简即可求出结果．
【解答】解：∵BF⊥AE于点G，
∴∠AGH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOH＝90°，OA＝OB＝OC＝OD，
∴∠AGH＝∠BOH，
又∵∠AHG＝∠BHO，
∴△AHG∽△BHO，
∴，
设OH＝5a，则BO＝12a，
∴OA＝OC＝12a，AH＝12a﹣5a＝7a，
又∵，
∴GH＝，
如图，过点G作GM⊥AH于M，
∴△HGM∽△HAG，
∴，
∴HM＝＝，
∴OM＝OH+HM＝，
∵GM⊥AC，PO⊥AC，
∴GM∥PO，
∴．
故选：A．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质和平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需要写解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）
11．（3分）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是 　1　．
【分析】把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得到m+n﹣1＝0，然后求得m+n的值即可．
【解答】解：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，
解得m+n＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为　2　．
【分析】根据一元二次方程的一般形式，可得答案．
【解答】解：有题意，得
m2﹣3m+2＝0且m﹣1≠0，
解得m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用常数项等于零且二次项不等于零是解题关键．
13．（3分）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率相同，则二、三月份每月的平均增长率为 　20%　．
【分析】设二，三月份每月平均增长率为x，根据一月份生产机器100台，三月份生产机器144台，可列出方程．
【解答】解：设二，三月份每月平均增长率为x，
100（1+x）2＝144，
解得：x＝0.2＝20%或x＝2.2（舍去），
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，先找出一月份的产量和三月份的产量，从而可列出方程．
14．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝2：1，则△ADE与△ABC的面积之比为 　4：9　．
【分析】由DE∥BC，即可得△ADE∽△ABC，又由AD：DB＝2：1，可求得AD：AB＝2：3，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得△ADE与△ABC的面积之比．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：DB＝2：1，
∴AD：AB＝2：3，
∴△ADE与△ABC的面积之比为：4：9．
故答案为：4：9．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形面积比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．
15．（3分）若线段a＝3，b＝27，线段c是a和b的比例中项，则c＝　9　．
【分析】由c是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得答案．
【解答】解：∵c是线段a，b的比例中项，
∴c2＝ab，
∵a＝3，b＝27，
∴c2＝81，
∴c＝9．
故答案为：9．
【点评】此题考查了比例中项的定义．解题的关键是熟记比例中项的定义．
16．（3分）如图：点G是△ABC的重心，GH∥AC，交边BC于点H，如果GH＝2，那么AC＝　6　．
【分析】先根据三角形重心的性质得BG＝2GE，则BG：BE＝2：3，再证明△BHG∽△BCE，利用相似比可求出CE＝3，然后利用三角形重心定义得到BE为AC边上的中线，从而得到AC＝2CE．
【解答】解：∵点G是△ABC的重心，
∴BG＝2GE，
∴BG：BE＝2：3，
∵GH∥CE，
∴△BHG∽△BCE，
∴＝＝，
∴CE＝GH＝×2＝3，
∵点G是△ABC的重心，
∴BE为AC边上的中线，
∴AC＝2CE＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．
17．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，⊙O分别与边AD，BC，CD相切，点E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿着EF翻折得四边形EFGH并满足FG所在的直线恰好与⊙O相切，切点为P，设线段FB的长为x，则FP＝　7﹣x　（用含x的代数式表示）；若AE＝1，则x的值为 　3或5　．
【分析】根据切线的性质、正方形的判定和性质以及切线长定理即可利用BF表示PF即可；利用勾股定理，翻折的性质以及直角三角形的判定用含有x的代数式分别表示OE2、OF2、EF2即可．
【解答】解：如图，⊙O分别与矩形ABCD的边AD，BC，CD相切于点M、N、Q，连接OM、ON、OQ，则四边形OMDQ，四边形ONCQ是正方形，
∴MD＝NC＝CQ＝CD＝2，
∵FP，FN是⊙O的切线，切点为P、N，
∴FP＝FN＝BC﹣BF﹣NC＝9﹣x﹣2＝7﹣x；
连接OE、OF，
由折叠可知，∠BFE＝∠GFE，
∵FP，FN是⊙O的切线，切点为P、N，
∴∠OFP＝∠OFN，
∵∠BFE+∠GFE+∠OFP+∠OFN＝180°，
∴∠GFE+∠OFP＝×180°＝90°，
∴EF2+OF2＝OE2，
在Rt△EFJ中，EF2＝EJ2+FJ2＝16+（x﹣1）2，
在Rt△FON中，OF2＝ON2+FN2＝4+（7﹣x）2，
在Rt△EOM中，OE2＝OM2+HM2＝4+36＝40，
在Rt△OEF中，OE2＝OF2+EF2，
4+（7﹣x）2+16+（x﹣1）2＝40，
解得x＝3或x＝5．
故答案为：7﹣x，3或5．
【点评】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理以及矩形、正方形的性质，掌握切线的性质，切线长定理，勾股定理以及矩形、正方形的性质是正确解答的前提．
18．（3分）如图，线段AB＝6，P在线段AB上，BP＝2，点C为平面内一点，且满足∠PCB＝45°，以AB、BC为邻边构造 ABCD，连接BD，则对角线BD的取值范围为 　4≤BD≤6　．
【分析】作DE∥CP交BA的延长线于点E，可证明△EAD≌△PBC，得AE＝BP＝2，∠EDA＝∠PCB＝45°，作△EAD的外接圆，圆心为O，连接OA、OE、OD，作OI⊥AE于点I，由OA＝OE，∠EOA＝2∠EDA＝90°，得OI＝AI＝EI＝AE＝1，则OD＝OE＝，由勾股定理求得OB＝＝5，因为OB﹣OD≤BD≤OB+OD，所以5﹣≤BD≤5+，则4≤BD≤6，于是得到问题的答案．
【解答】解：作DE∥CP交BA的延长线于点E，则∠AED＝∠BPC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠EAD＝∠PBC，
在△EAD和△PBC中，
，
∴△EAD≌△PBC（AAS），
∴AE＝BP＝2，∠EDA＝∠PCB＝45°，
作△EAD的外接圆，圆心为O，连接OA、OE、OD，作OI⊥AE于点I，
∵OA＝OE，∠EOA＝2∠EDA＝90°，
∴OI＝AI＝EI＝AE＝1，
∵∠EIO＝90°，
∴OD＝OE＝＝＝，
∵AB＝6，∠OIB＝90°，
∴BI＝AB+AI＝6+1＝7，
∴OB＝＝＝5，
∵OB﹣OD≤BD≤OB+OD，
∴5﹣≤BD≤5+，
∴4≤BD≤6，
故答案为：4≤BD≤6．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、两点之间线段最短、三角形的三边关系等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）用适当的方法解下列方程：
（1）2x2+2x﹣1＝0；
（2）x（x﹣1）＝2（x﹣1）；
（3）4（x﹣2）2＝9（2x+1）2；
（4）（2x﹣1）2﹣3（2x﹣1）＝4．
【分析】（1）原式利用公式法求出解即可；
（2）原式移项后，利用因式分解法求出解即可；
（3）原式直接开方即可求出解；
（4）原式利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）这里a＝2，b＝2，c＝﹣1，
∵Δ＝4+8＝12＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）移项得：x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
分解因式得：（x﹣1）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝1，x2＝2；
（3）开方得：2（x﹣2）＝3（2x+1）或2（x﹣2）＝﹣3（2x+1），
解得：x1＝﹣，x2＝；
（4）方程移项得：（2x﹣1）2﹣3（2x﹣1）﹣4＝0，
分解因式得：（2x﹣1﹣4）（2x﹣1+1）＝0，
解得：x1＝，x2＝0．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，直接开平方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
20．（8分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0
（1）若方程有两个不等的实数根，求k的取值范围；
（2）若x1、x2是方程的两根，且出x1+x2＝2﹣x1 x2．求k的值．
【分析】（1）由根的判别式Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0可得答案；
（2）将x1+x2＝﹣（2k+1），x1x2＝k2+1代入x1+x2＝2﹣x1 x2，计算可得答案．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等的实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k﹣3＞0，
∴k＞；
（2）∵x1+x2＝﹣（2k+1），x1x2＝k2+1，且x1+x2＝2﹣x1 x2，
∴﹣（2k+1）＝2﹣（k2+1），
∴k2﹣2k﹣2＝0，
∴k1＝1或k2＝1（不合题意）．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）熟练掌握“当Δ＞0时，方程有两个不等实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x1+x2＝﹣x1 x2，找出关于k的一元二次方程．
21．（8分）如图①，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为BC边上的一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点F，交AB于点E，连接DE．
（1）求证：△AFC∽△CFD；
（2）如图②，若，DE⊥BC，求的值．
【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可；
（2）证明△ACD∽△CDE，根据相似三角形的性质求出CD，根据平行线分线段成比例列出比例式，计算即可．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，
∴∠AFC＝∠CFD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAF+∠ACF＝90°，∠ACF+∠DCF＝90°，
∴∠CAF＝∠DCF，
∴△AFC∽△CFD；
（2）解：在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝，
则AC＝BC＝1，∠B＝45°，
设CD＝x，则BD＝1﹣x，
在Rt△BDE中，∠B＝45°，
则DE＝BD＝1﹣x，
∵∠CAD＝∠ECD，∠ACD＝∠CDE＝90°，
∴△ACD∽△CDE，
∴＝，即＝，
解得：x1＝，x2＝（舍去），
∵DE⊥BC，∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
∴＝＝．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
22．（8分）如图，已知矩形ABCD，AB＝m，BC＝2，点P为线段AD任一点．
（1）若∠BPC＝60°，请在图中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点P；
（2）若符合（1）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是 　≤m≤　．
【分析】（1）作等边△ABE，△CDF，BE交CF于O，以O为圆心OB为半径画圆交AD于P1，P2，点P1、P2即为所求；
（2）当P1与A重合时，点O是矩形ABCD的中心，此时AB＝BC tan30°＝，当点P1与P2重合时，AB＝BC＝，由此即可解决问题；
【解答】解：（1）作等边△ABE，△CDF，BE交CF于O，以O为圆心OB为半径画圆交AD于P1，P2，点P1、P2即为所求；
（2）当P1与A重合时，点O是矩形ABCD的中心，此时AB＝BC tan30°＝，
当点P1与P2重合时，AB＝BC＝，
∴满足条件的m的值为≤m≤．
故答案为：≤m≤．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝3，DB＝4，∠EDB＝∠EPB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接BE，求BE的长．
【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到∠OBP为直角，即可得证；
（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC＝PB＝3，进而求出CD，延长PB、DE相交于点F，证明△PED≌△PEF（ASA），由全等三角形的性质得出PD＝PF＝5，DE＝EF，求出DF的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵DE⊥PE，
∴∠DEO＝90°，
∵∠EDB＝∠EPB，∠BOE＝∠EDB+∠DEO，∠BOE＝∠EPB+∠OBP，
∴∠OBP＝∠DEO＝90°，
∴OB⊥PB，
∴PB为⊙O的切线；
（2）解：延长PB、DE相交于点F，
在Rt△PBD中，PB＝3，DB＝4，
根据勾股定理得：PD＝＝5，
∵PD与PB都为⊙O的切线，
∴PC＝PB＝3，
∴DC＝PD﹣PC＝5﹣3＝2；
∵PD与PB都为⊙O的切线，
∴OP平分∠CPB，
∴∠DPE＝∠FPE，
∵PE⊥DF，
∴∠PED＝∠PEF＝90°，
又∵PE＝PE，
∴△PED≌△PEF（ASA），
∴PD＝PF＝5，DE＝EF，
∴BF＝PF﹣PB＝5﹣3＝2，
在Rt△DBF中，DF＝＝2，
∴BE＝DF＝．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
24．（8分）如图，强强同学为了测量学校一棵笔直的大树OE的高度，先在操场上点A处放一面平面镜，从点A处后退1m到点B处，恰好在平面镜中看到树的顶部E点的像；再将平面镜向后移动4m（即AC＝4m）放在C处，从点C处向后退1.5m到点D处，恰好再次在平面镜中看到大树的顶部E点的像，测得强强的眼睛距地面的高度FB、GD为1.5m，已知点O，A，B，C，D在同一水平线上，且GD⊥OD，FB⊥OD，EO⊥OD．求大树OE的高度．（平面镜的大小忽略不计）
【分析】根据题意得到△GDC∽△EOC和△BAF∽△OAE，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
【解答】解：由已知得，AB＝1m，CD＝1.5m，AC＝4m，FB＝GD＝1.5m，∠AOE＝∠ABF＝∠CDG＝90°，∠BAF＝∠OAE，∠DCG＝∠OCE．
∵∠BAF＝∠OAE，∠ABF＝∠AOE，
∴△BAF∽△OAE，
∴＝，即＝，
∴OE＝1.5OA，
∵∠DCG＝∠OCE，∠CDG＝∠COE，
∴△GDC∽△EOC，
∴＝，即＝，
∴OE＝OA+4，
∴OE＝1.5OA，
∴1.5OA＝OA+4，
∴OA＝8m，OE＝12m．
答：大树的高度OE为12m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．
25．（10分）某面馆向食客推出经典特色小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面2500份，“生食”小面1500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低，统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加，求a的值．
【分析】（1）设每份“堂食”小面的价格是x元，每份“生食”小面的价格是y元，根据3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据两种小面的总销售额在4月的基础上增加，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）设每份“堂食”小面的价格是x元，每份“生食”小面的价格是y元，
由题意得：，
解得：，
答：每份“堂食”小面的价格为7元，每份“生食”小面的价格为5元；
（2）由题意得：2500×7+1500（1+a%）×5（1﹣a%）＝（2500×7+1500×5）（1+a%），
设a%＝m，
则方程可化为：7+3（1+m）（1﹣m）＝（7+3）（1+m），
整理得：45m2﹣2m＝0，
解得：m1＝，m2＝0（不符合题意，舍去），
∴a＝，
答：a的值为．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
26．（10分）关于x的方程，如果a、b、c满足a2+b2＝c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“勾股方程”．请解决下列问题：
（1）请写出一个“勾股方程”：　6x2+10x+8＝0 （答案不唯一）　；
（2）求证：关于x的“勾股方程”必有实数根；
（3）如图，已知AB、CD是半径为1的⊙O的两条平行弦，AB＝a，CD＝b，且关于x的方程是“勾股方程”，求∠BAC的度数．
【分析】（1）由“勾股方程”满足的条件，即可写出一个“顾神方程”；
（2）由一元二次方程根的判别式，即可判断；
（3）由勾股定理，垂径定理，圆周角定理，即可求解．
【解答】（1）解：写出一个“勾股方程”：6x2+10x+8＝0 （答案不唯一），
故答案为：6x2+10x+8＝0 （答案不唯一）；
（2）证明：∵关于x的方程ax2+cx+b＝0是“勾股方程”，
∴a2+b2＝c2且c≠0，
①当a≠0时，
Δ＝（c）2﹣4ab
＝2c2﹣4ab
＝2（a2+b2）﹣4ab
＝2（a2+b2﹣2ab）
＝2（a﹣b）2≥0，
∴方程有两个实数根，
②当a＝0时，
方程为cx+b＝0，c≠0，
∴该方程有实数根，
∴“勾股方程”必有实数根；
（3）解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OB，OC，
∵DC∥AB，
∴EF⊥CD，
∴AE＝BE＝a，CF＝DF＝b，
∵BE2+OE2＝OB2，
∴a2+OE2＝12，
∵ax2+x+b＝0是“勾股方程，
∴（a）2+（b）2＝12，
∴OE＝b＝CF，
∵OB＝OC，
∴Rt△BOE≌Rt△OCF（HL），
∴∠FOC＝∠OBE，
∵∠OBE+∠EOB＝90°，
∴∠FOC+EOB＝90°，
∴∠COB＝90°，
∴∠A＝∠BOC＝45°．
【点评】本题考查“勾股方程”的概念，一元二次方程根的判别式，勾股定理，关键是明白“勾股方程”的定义．
27．（10分）如图1，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，BD为矩形ABCD的对角线，∠ADB的平分线交CB的延长线于点E．点F是线段DE上的动点，以BF为对角线作正方形BGFH（点B，G，F，H按逆时针方向排列）．
（1）求BE的长；
（2）如图2，若点G落在CD边上，求CG的值；
（3）在点F的运动过程中，是否存在某一位置，使得正方形BGFH的某边落在△BDE的一边上？若存在，直接写出DF的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据角平分线定义和等腰三角形性质可得BE＝BD，由勾股定理可得BD＝5，即可得出答案；
（2）过点F作FH⊥CD于H，则∠FHG＝90°，再由正方形的性质可证得△BGC≌△GFH（AAS），得出CG＝FH，GH＝BC＝3，设CG＝x，则FH＝x，再证得△DFH∽△DEC，可得DH＝x，由DH+GH+CG＝CD，建立方程求解即可得出答案；
（3）分四种情况：当正方形BGFH的边FH落在DE边上时，当正方形BGFH的边BG落在BD边上时，当正方形BGFH的边BH落在BE边上时，当正方形BGFH的边FG落在DE边上时，分别利用解直角三角形求得DF即可．
【解答】解：（1）∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠ADE＝∠E，
∴∠BDE＝∠E，
∴BE＝BD，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝5，
∴BE＝5；
（2）如图，过点F作FH⊥CD于H，则∠FHG＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，
∴∠C＝∠FHG，∠CBG+∠BGC＝90°，
∵四边形BGFH是正方形，
∴∠BGF＝90°，BG＝GF，
∴∠FGH+∠BGC＝90°，
∴∠CBG＝∠FGH，
∴△BGC≌△GFH（AAS），
∴CG＝FH，GH＝BC＝3，
设CG＝x，则FH＝x，
∵∠DHF＝∠C＝90°，
∴FH∥CE，
∴△DFH∽△DEC，
∴＝，即＝，
∴DH＝x，
∵DH+GH+CG＝CD，
∴x+3+x＝4，
解得：x＝，
∴CG＝；
（3）当正方形BGFH的边FH落在DE边上时，如图，
在Rt△DEC中，DE＝＝＝4，
∵sinE＝＝＝＝，cosE＝＝＝＝，
∴BH＝BE＝×5＝，EH＝BE＝×5＝2，
∵四边形BGFH是正方形，
∴FH＝BH＝，
∴DF＝DE﹣EH﹣FH＝4﹣2﹣＝；
当正方形BGFH的边BG落在BD边上时，如图，
设正方形的边长为y，则FG＝BG＝y，
∴DG＝BD﹣BG＝5﹣y，
∵∠FDG＝∠E，
∴tan∠FDG＝tanE，
∴＝，
∴＝，
解得：y＝，
∴FG＝，DG＝5﹣＝，
∴DF＝＝＝；
当正方形BGFH的边BH落在BE边上时，如图，
设正方形的边长为z，则FH＝BH＝z，
∴EH＝BE﹣BH＝5﹣z，
tanE＝＝＝＝，
∴EH＝2FH，即5﹣z＝2z，
解得：z＝，
∴FH＝，EH＝，
∴EF＝＝＝，
∴DF＝DE﹣EF＝4﹣＝；
当正方形BGFH的边FG落在DE边上时，如图，
由上可得FG＝BG＝，EG＝2，
∴EF＝EG﹣FG＝2﹣＝，
∴DF＝DE﹣EF＝4﹣＝3；
综上所述，DF的长为或或或3．
【点评】本题是矩形和正方形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形等，熟练运用分类讨论思想是解题的关键．
28．（10分）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“关联远点”，把PQ PH的值称为⊙I关于直线a的“关联数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，1）．以A为圆心，2半径作圆．①已知直线m的表达式为y＝4，则⊙A关于直线m的“关联远点”坐标为 　（﹣1，﹣1）　，⊙A关于直线m的“关联数”是 　20　；②若直线n的函数表达式为y＝﹣x+6．则⊙A关于直线n的“关联数”是 　8+12　；
（2）在平面直角坐标系中，直线l经过点P（﹣5，4），点M是坐标平面内一点，以M为圆心，1为半径作⊙M．若⊙M与直线l相离，点Q（﹣2，0）是⊙M关于直线l的“关联远点”，且⊙M关于直线l的“关联数”是8，求M点的坐标．
【分析】（1）①由新定义知，点P是“关联远点”，圆的半径为2，则点P（﹣1，﹣1），则PH＝5，即可求解；
②求出直线PH的表达式为：y＝（x+1）+1＝x+2，进而求解；
（2）证明NQ＝HQ cosα＝，得到k＝0或，进而求解．
【解答】解：（1）①如下图，
由新定义知，点P是“关联远点”，圆的半径为2，
则点P（﹣1，﹣1），则PH＝5，
则PQ PH＝5×4＝20，
故答案为：（﹣1，﹣1），20；
②如下图，直线直线n的函数表达式为y＝﹣x+6，
则设直线PH的表达式为：y＝（x+1）+1＝x+2，
联立y＝x+2和y＝﹣x+6并解得：x＝2，
即点H（2，4）；
设点P（m，m+2），而点A（﹣1，1），
由PA＝2得：（m+1）2+（m+1）2＝4，
解得：m＝﹣1﹣（不合题意的值已舍去），
则点P的坐标为：（﹣1﹣，1﹣），
由点P、H的坐标得，PH＝3+2，
则“关联数”＝4×PH＝8+12，
故答案为：8+12；
（2）如下图，过点Q作y轴的平行线交直线l于点H，过点Q作QN⊥直线l于点N，
由“关联数”定义知，NQ×2＝8，则NQ＝4，
设直线l的表达式为：y＝k（x+5）+4，则k＝tanα，则cosα＝，
则当x＝﹣2时，y＝k（x+5）+4＝3k+4，即点H（﹣2，3k+4），则HQ＝|3k+4|，
则NQ＝HQ cosα＝＝4，
解得：k＝0或；
①当k＝0时，
则点N、H重合，
故点H（﹣2，4），则点M（﹣2，1）；
②当k＝时，
即tanα＝，则cosα＝，sinα＝，
由题意得，MQ＝1，
则TQ＝MQ cosα＝，同理可得：MT＝，
则点M的坐标为：（﹣，）；
综上，点M的坐标为：（﹣2，1）或（﹣，）．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到新定义、圆的基本知识、解直角三角形等，综合性强，难度适中．