2023-2024学年高中数学人教A版必修二 8.1-8.2 几何体和直观图 同步练习
一、选择题
1．（2023高二上·惠州月考）下列说法不正确的是（ ）
A．直四棱柱是长方体 B．正方体是平行六面体
C．长方体是平行六面体 D．平行六面体是四棱柱
【答案】A
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：A、直四棱柱的侧棱垂直底面，当底面不是矩形时直四棱柱不是长方体，A错误；
BC、底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体.，正方体和长方体都是平行六面体，BC正确；
D、平行六面体是四棱柱，D正确；
故答案为：A.
【分析】分别由平行六面体、直四棱柱、长方体及正方体的结构特征逐一核对四个选项得答案.
2．（2023高一下·沈阳期末）如图，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是矩形，，是的中点，则原四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】如图，
∵在直观图中△O'A'B'为等腰直角三角形，∴O'A'=A'B'=，
∴，
又∵ O'是A'D'的中点，
∴ A'D'=2O'A'=，
∴在平面图形中AD=，OB=2O'B'=，
∴SABCD=AD×OB=2√5×2√10=.
故答案选：A.
【分析】首先求出O'B'，A'D'，即可得到平面图形中AD，OB的值，即可求出四边形ABCD的面积.
3．（2023高一下·阎良期末）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：如图， 直观图中， 轴， 轴， ， ，
则直观图中面积为 ，
又由原图的面积等于直观图面积的 倍，
故原图的面积为 .
故答案为：.
【分析】先求出直观图的面积，再由直观图与原图的面积关系计算可得.
4．（2023高一下·莲湖期末）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解： 根据斜二测的画法可知，该图的直观图如图所示：
，
故原图形是一个底边长为，高为的直角三角形，
故原图形的面积为：.
故答案为：B.
【分析】根据斜二测画法分析计算可得答案.
5．（2023高一下·渭源期末）如图所示，是水平放置的的直观图，其中，则的面积为（ ）
A． B．8 C． D．4
【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】如图根据直观图，可知三角形还原得到的平面图为直角三角形，
因为，
所以，
还原后的，，
，
，
，
故选：A.
【分析】根据斜二测画法的直观图，还原得到原图，得到原三角形是一个直角三角形，再利用三角形面积公式求出答案.
6．（2023高一下·余姚期末）已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】因为三角形在其直观图中对应一个边长为2正三角形，
所以直观图的面积是，
由斜二测画法中直观图和原图的面积的关系为，
所以直观图的面积为，
故答案为：C.
【分析】本题主要考查斜二测画法，根据斜二测画法可知，该三角形直观图的高为，从而可求出直观图的面积.
7．（2023高一下·定远期末）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】 由斜二测直观图还原原图形如图所示，
由边O'B'在x'轴上，故在原图形中对应的边应在x轴上，且长度不变；由O'A'在y'轴上，故在原图形中对应的边应在y轴上，且长度增大到2倍；
由O'A'=1，得O'B'=，OA=2，OB=，
故△AOB的面积为
故选： B.
【分析】 由斜二测直观图还原原图形，得出△AOB是直角三角形，求出两直角边长，再利用三角形的面积公式可求出答案.
8． 下面空间图形的画法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间几何体的直观图
【解析】【解答】根据直观图画法中的原则，立体图中能够看到的棱用实线，不能看的棱用虚线，那么根据观察可知，选项D中两个相交平面，挡住的棱不是虚线，故选项D错误.
故选：D.
【分析】本题主要考查主管图的画法原则以及空间想象能力，牢记立体图中能够看到的棱用实线，不能看先的棱用虚线，然后观察各个选项即可.
9．（2023高一下·长春期中）如图，是水平放置的直观图，其中，//轴，//轴，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】由 ，//轴，//轴 知
由直观图画出原图如下：
其中，，，.
故答案为：C
【分析】根据直观图画出原图，再求解BC的长。
10．（2023高一下·深圳期中）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】 由斜二测法得该△ABC是直角三角形，则∠ABC=90°，
根据直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度变为原来的一半，
利用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到等腰直角三角形A'B'C'，点O'是斜边B'C'的中点，且O'A'=2，则BC=4，AB=
故△ABC的面积为
故选： B.
【分析】利用斜二测画法的性质结合三角形的面积公式，即可求出 △ABC的面积 .
11．（2023高一下·杭州期中）如图，梯形是一水平放置的平面图形在斜二测画法下的直观图.若平行于轴，，则平面图形的面积是（ ）
A．14 B．7 C． D．
【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】根据直观图画法的规则，直观图中平行于轴，，
可知原图中，从而得出AD⊥DC，且，
直观图中，，可知原图中，，
即四边形ABCD上底和下底边长分别为3，4，高为2，如图，
故其面积.
故答案为：B
【分析】根据直观图画法的规则可知原图中和的长，从而得出四边形ABCD上底和下底边长和高，再利用梯形的面积公式得出平面图形的面积。
12．（2023高一下·河北期中）若的直观图如图所示，，，则顶点到轴的距离是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】如图（1）所示，在的直观图中，过点作轴交于点，
又因为且，可得，
作出直角坐标系中，作出的图形，如图（2）所示，
根据斜二测画法的规则，可得轴，即点到的距离即为.
故答案为：D.
【分析】过点作轴交于点，求得，结合斜二测画法的规则，得点到的距离即为.
二、多项选择题
13．（2023高一下·太原期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形
B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是正方形
D．菱形的直观图是菱形
【答案】A,B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】由斜二测直观图的画法规则，平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，
可知三角形的直观图还是三角形，A符合题意；
平行四边形的直观图仍然是平行四边形，B符合题意；
正方形和菱形的直观图是平行四边形，CD不符合题意；
故答案为：AB.
【分析】根据斜二测直观图的画法规则，逐项进行判断，可得答案.
14．（2022高一下·祁东期末）如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则（ ）
A． B．
C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为6
【答案】A,C,D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】由已知等腰梯形中，，， 所以，
由斜二测画法得，在原图直角梯形ABCD中，．∠BAD=，易得，
所以四边形ABCD的周长为，面积为．
故答案为：ACD.
【分析】根据斜二测画法的定义，求得边长，再求周长与面积即可得答案.
15．（2022高一下·温州期末）已知是等腰直角三角形， ， 用斜二测画法画出它的直观图 ， 则的长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】以BC为轴，画出直观图，如图2，此时，
A符合题意，
以BC为轴，则此时，
则的长度范围是，
若以AB或AC为x轴，画出直观图，如图1，以AB为轴，则，此时过点作⊥于点D，则，
则，，
由勾股定理得：，C符合题意；
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合斜二测画直观图的方法，再结合勾股定理得出 可能的长。
16．（2022高一下·温州期中）给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是（ ）
A．水平放置的角的直观图一定是角
B．相等的角在直观图中仍然相等
C．相等的线段在直观图中仍然相等
D．两条平行线段在直观图中仍是平行线段
【答案】A,D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】水平放置的角的直观图一定是角，A符合题意；角的大小在直观图中都会发生改变，有的线段在直观图中也会改变，比如正方形的直方图中，BC不符合题意；
由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，所以D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合斜二测画直观图的方法，进而找出正确的选项。
17．（2021高一下·延寿月考）如图， 是水平放置的 的直观图， ，则在原平面图形 中，有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：在直观图△A'B'C'中，过C'作C'D'⊥A'B'于点D'，
∵A'B'=2，
∴A'D'=1，，
又∠C'O'D'=45°，所以O'D'=2，O'A'=1，
所以利用斜二测画法将直观图△A'B'C'还原为原平面图形△ABC，如图所示，
∴，OA=1，AB=2，故B正确；
又，，故AC错误；
，故D正确.
故答案为：BD
【分析】根据斜二测画法与规则，结合三角形的面积公式求解即可.
18．（2021高一下·丽水期中）如图， 表示水平放置的 根据斜二测画法得到的直观图， 在 轴上， 与 轴垂直，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的边 上的高为2 B． 的边 上的高为4
C． D．
【答案】B,D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：如图所示，过点C'作C'D'//y'，则∠C'D'B'=45°，
又因为 在 轴上， 与 轴垂直，且 ，
所以C'D'=2，
则根据斜二测画法， 的边 上的高为 2C'D'=4，
又根据斜二测画法，还原可得，如图所示，易知在Rt△BCD中，AC故答案为：BD
【分析】根据斜二测画法，结合题意，逐项求解和判断即可.
19．（2023高一下·深圳期中）下列命题错误的是（ ）
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直
D．正棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
【答案】A,B
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：对于A，棱柱的侧面不一定全等，故错误；
对于B，由棱台的定义可知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误；
对于C，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；
对于D，正棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形，故正确；
故选：AB.
【分析】直接利用棱柱，棱锥，棱台的性质判断选项即可.
20．（2023高一下·宁波期中）下列结论中正确的是（ ）
A．正四面体一定是正三棱锥
B．正四棱柱一定是长方体
C．棱柱的侧面一定是平行四边形
D．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
【答案】A,B,C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征
【解析】【解答】A选项：正三棱锥是底面为正三角形，各侧棱长均相等的几何体，正四面体四个面均为正三角形且所有棱长均相等，所以A选项正确；
B选项：正四棱柱为底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱即为长方体，所以B选项正确；
C选项：棱柱上下底面互相平行且全等，且各侧棱互相平行，所以棱柱的侧面均为平行四边形，所以C选项正确；
D选项：正四棱柱的侧面两两平行，所以D选项错误；
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合正三棱锥的结构特征、长方体的结构特征、平行四边形的结构特征、棱柱的结构特征，进而找出结论正确的选项。
21．下列说法错误的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
【答案】A,B,C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：对于 ：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，必须强调各个三角形的顶点必须相交于一点，故与锥体的定义矛盾，A错误，符合题意；
对于 ：有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台，与台体的形成矛盾，台体是由锥体沿侧棱作与底面平行的截面，所形成几何体的下半部分为台体，B错误，符合题意；
对于 ：如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个几何图形不可能构成体，只能构成正六边形，C错误，符合题意；
对于 ：如果一个棱柱的所有面都是长方形，根据侧棱垂直于底面，且每一条侧棱互相平行，那么这个棱柱是长方体，D正确，不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】根据棱锥的定义，可判定A错误；根据棱台的定义，可判定B错误；根据一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个几何图形不可能构成体，可判定C错误；根据棱柱的定义和正方体的特征，可判定D 正确．
三、填空题
22．（2023高一下·上饶期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为 .
【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由直观图可得原图，
由斜二测 画法可知：OABC是直角梯形，且高为.
故答案为：.
【分析】由直观图还原原图，运算求解即可.
23．（2023高一下·吉林期中）如图，已知的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角，则的面积为
【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】根据直观图画出原图如下：
，
的面积为
故答案为：
【分析】根据直观图画出原图求解。
24． 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时；把它们画成对应的轴与轴，两轴交于点，且使 (或 ，它们确定的平面表示 ，
已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于 ，
已知恩形中平行于轴的线段，“在直观图中 ，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的 .
【答案】；；水平面；轴或轴的线段；保持原长度不变；一半
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】 画直观图时；把它们画成对应的轴与轴，两轴交于点，且使，或，
它们确定的平面表示水平面，已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段，已知恩形中平行于轴的线段，在直观图中保持长度不变， 平行手轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.
故答案为：，，水平面，轴或轴的线段， 保持原长度不变 ，一半.
【分析】直接根据斜二测画法的画直观图的步骤即可作答.
25．（2023高一下·安徽月考）如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则的周长为 ．
【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】直观图还原为几何体图如下：
的周长为
故答案为：
【分析】将直观图还原为几何体图分析求解
26．（2023高一下·浙江期中）平面直角坐标系xOy中线段OA的长为，与x轴所成的夹角为，且，在斜二测画法下，其直观图为线段，则线段的长度为 ．
【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】过点A作于点B，
因为再由和图中可知角为锐角，解得，所以，再由勾股定理得出，再根据轴，所以因为，利用余弦定理和线段的长度大于0的性质，得出，
所以线段的长度为 。
故答案为：
【分析】利用已知条件结合过点A作于点B，再结合同角三角函数基本关系式和正弦函数的定义得出AB的长，再由勾股定理得出OB的长，再根据线线平行结合斜二测画法和两角互补的关系，进而得出的值，再利用余弦定理和边长的取值范围，进而得出线段的长度。
四、解答题
27． 已知正三角形边长为，请选择不同的坐标系作出直观图．（保留作图痕迹）
【答案】解：第一种，
如图，以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，
第一步：画对应的轴，轴，使得，
第二步：在轴上取，，在轴上取，
第三步：连接，即可得到的直观图.
第二种，以A为原点，AB所在直线为x轴，
第一步：过C作x轴的垂线，垂足为E，作y轴的垂线，垂足为F，
第二步：画对应的轴，轴，使得，
第三步：在轴上取，，在轴上取，
第四步：过分别作轴，轴的平行线，交点为，
第五步：连接，即可得到的直观图.
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】直接利用斜二测画法的定义可得.
28． 已知点为坐标原点，点在轴上，等边三角形的面积为，其斜二测画法的直观图为，求点到的距离．
【答案】解：如图，取AO中点C，连接BC，且，在直观图中，，
过作轴，垂足为． 又，所以.
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】先画出平面图形的直观图，再结合线段间的比例关系可得答案.
29．（2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册 8.2 立体图形的直观图同步训练）画出一个上、下底面边长分别为1，2，高为2的正三棱台的直观图．
【答案】解：⑴画轴．如图，画x轴、y轴、z轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
⑵画下底面．以O为线段中点，在x轴上取线段AB，使AB＝2，在y轴上取线段OC，使OC＝ .连接BC，CA，则△ABC为正三棱台的下底面的直观图．
⑶画上底面．在z轴上取OO′，使OO′＝2，过点O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐标系x′O′y′.在x′O′y′中，类似步骤(2)的画法得上底面的直观图△A′B′C′.
⑷连线成图．连接AA′，BB′，CC′，去掉辅助线，将被遮住的部分画成虚线，则三棱台ABC－A′B′C′即为要求画的正三棱台的直观图．
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】利用已知条件结合斜二测画法画直观图的步骤方法，从而画出一个上、下底面边长分别为1，2，高为2的正三棱台的直观图。
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版必修二 8.1-8.2 几何体和直观图 同步练习
一、选择题
1．（2023高二上·惠州月考）下列说法不正确的是（ ）
A．直四棱柱是长方体 B．正方体是平行六面体
C．长方体是平行六面体 D．平行六面体是四棱柱
2．（2023高一下·沈阳期末）如图，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是矩形，，是的中点，则原四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高一下·阎良期末）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高一下·莲湖期末）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高一下·渭源期末）如图所示，是水平放置的的直观图，其中，则的面积为（ ）
A． B．8 C． D．4
6．（2023高一下·余姚期末）已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高一下·定远期末）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是（ ）
A． B． C． D．
8． 下面空间图形的画法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023高一下·长春期中）如图，是水平放置的直观图，其中，//轴，//轴，则（ ）
A． B．2 C． D．4
10．（2023高一下·深圳期中）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023高一下·杭州期中）如图，梯形是一水平放置的平面图形在斜二测画法下的直观图.若平行于轴，，则平面图形的面积是（ ）
A．14 B．7 C． D．
12．（2023高一下·河北期中）若的直观图如图所示，，，则顶点到轴的距离是（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、多项选择题
13．（2023高一下·太原期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形
B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是正方形
D．菱形的直观图是菱形
14．（2022高一下·祁东期末）如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则（ ）
A． B．
C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为6
15．（2022高一下·温州期末）已知是等腰直角三角形， ， 用斜二测画法画出它的直观图 ， 则的长可能是（ ）
A． B． C． D．
16．（2022高一下·温州期中）给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是（ ）
A．水平放置的角的直观图一定是角
B．相等的角在直观图中仍然相等
C．相等的线段在直观图中仍然相等
D．两条平行线段在直观图中仍是平行线段
17．（2021高一下·延寿月考）如图， 是水平放置的 的直观图， ，则在原平面图形 中，有（ ）
A． B． C． D．
18．（2021高一下·丽水期中）如图， 表示水平放置的 根据斜二测画法得到的直观图， 在 轴上， 与 轴垂直，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的边 上的高为2 B． 的边 上的高为4
C． D．
19．（2023高一下·深圳期中）下列命题错误的是（ ）
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直
D．正棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
20．（2023高一下·宁波期中）下列结论中正确的是（ ）
A．正四面体一定是正三棱锥
B．正四棱柱一定是长方体
C．棱柱的侧面一定是平行四边形
D．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
21．下列说法错误的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
三、填空题
22．（2023高一下·上饶期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为 .
23．（2023高一下·吉林期中）如图，已知的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角，则的面积为
24． 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时；把它们画成对应的轴与轴，两轴交于点，且使 (或 ，它们确定的平面表示 ，
已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于 ，
已知恩形中平行于轴的线段，“在直观图中 ，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的 .
25．（2023高一下·安徽月考）如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则的周长为 ．
26．（2023高一下·浙江期中）平面直角坐标系xOy中线段OA的长为，与x轴所成的夹角为，且，在斜二测画法下，其直观图为线段，则线段的长度为 ．
四、解答题
27． 已知正三角形边长为，请选择不同的坐标系作出直观图．（保留作图痕迹）
28． 已知点为坐标原点，点在轴上，等边三角形的面积为，其斜二测画法的直观图为，求点到的距离．
29．（2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册 8.2 立体图形的直观图同步训练）画出一个上、下底面边长分别为1，2，高为2的正三棱台的直观图．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：A、直四棱柱的侧棱垂直底面，当底面不是矩形时直四棱柱不是长方体，A错误；
BC、底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体.，正方体和长方体都是平行六面体，BC正确；
D、平行六面体是四棱柱，D正确；
故答案为：A.
【分析】分别由平行六面体、直四棱柱、长方体及正方体的结构特征逐一核对四个选项得答案.
2．【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】如图，
∵在直观图中△O'A'B'为等腰直角三角形，∴O'A'=A'B'=，
∴，
又∵ O'是A'D'的中点，
∴ A'D'=2O'A'=，
∴在平面图形中AD=，OB=2O'B'=，
∴SABCD=AD×OB=2√5×2√10=.
故答案选：A.
【分析】首先求出O'B'，A'D'，即可得到平面图形中AD，OB的值，即可求出四边形ABCD的面积.
3．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：如图， 直观图中， 轴， 轴， ， ，
则直观图中面积为 ，
又由原图的面积等于直观图面积的 倍，
故原图的面积为 .
故答案为：.
【分析】先求出直观图的面积，再由直观图与原图的面积关系计算可得.
4．【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解： 根据斜二测的画法可知，该图的直观图如图所示：
，
故原图形是一个底边长为，高为的直角三角形，
故原图形的面积为：.
故答案为：B.
【分析】根据斜二测画法分析计算可得答案.
5．【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】如图根据直观图，可知三角形还原得到的平面图为直角三角形，
因为，
所以，
还原后的，，
，
，
，
故选：A.
【分析】根据斜二测画法的直观图，还原得到原图，得到原三角形是一个直角三角形，再利用三角形面积公式求出答案.
6．【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】因为三角形在其直观图中对应一个边长为2正三角形，
所以直观图的面积是，
由斜二测画法中直观图和原图的面积的关系为，
所以直观图的面积为，
故答案为：C.
【分析】本题主要考查斜二测画法，根据斜二测画法可知，该三角形直观图的高为，从而可求出直观图的面积.
7．【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】 由斜二测直观图还原原图形如图所示，
由边O'B'在x'轴上，故在原图形中对应的边应在x轴上，且长度不变；由O'A'在y'轴上，故在原图形中对应的边应在y轴上，且长度增大到2倍；
由O'A'=1，得O'B'=，OA=2，OB=，
故△AOB的面积为
故选： B.
【分析】 由斜二测直观图还原原图形，得出△AOB是直角三角形，求出两直角边长，再利用三角形的面积公式可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】空间几何体的直观图
【解析】【解答】根据直观图画法中的原则，立体图中能够看到的棱用实线，不能看的棱用虚线，那么根据观察可知，选项D中两个相交平面，挡住的棱不是虚线，故选项D错误.
故选：D.
【分析】本题主要考查主管图的画法原则以及空间想象能力，牢记立体图中能够看到的棱用实线，不能看先的棱用虚线，然后观察各个选项即可.
9．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】由 ，//轴，//轴 知
由直观图画出原图如下：
其中，，，.
故答案为：C
【分析】根据直观图画出原图，再求解BC的长。
10．【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】 由斜二测法得该△ABC是直角三角形，则∠ABC=90°，
根据直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度变为原来的一半，
利用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到等腰直角三角形A'B'C'，点O'是斜边B'C'的中点，且O'A'=2，则BC=4，AB=
故△ABC的面积为
故选： B.
【分析】利用斜二测画法的性质结合三角形的面积公式，即可求出 △ABC的面积 .
11．【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】根据直观图画法的规则，直观图中平行于轴，，
可知原图中，从而得出AD⊥DC，且，
直观图中，，可知原图中，，
即四边形ABCD上底和下底边长分别为3，4，高为2，如图，
故其面积.
故答案为：B
【分析】根据直观图画法的规则可知原图中和的长，从而得出四边形ABCD上底和下底边长和高，再利用梯形的面积公式得出平面图形的面积。
12．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】如图（1）所示，在的直观图中，过点作轴交于点，
又因为且，可得，
作出直角坐标系中，作出的图形，如图（2）所示，
根据斜二测画法的规则，可得轴，即点到的距离即为.
故答案为：D.
【分析】过点作轴交于点，求得，结合斜二测画法的规则，得点到的距离即为.
13．【答案】A,B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】由斜二测直观图的画法规则，平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，
可知三角形的直观图还是三角形，A符合题意；
平行四边形的直观图仍然是平行四边形，B符合题意；
正方形和菱形的直观图是平行四边形，CD不符合题意；
故答案为：AB.
【分析】根据斜二测直观图的画法规则，逐项进行判断，可得答案.
14．【答案】A,C,D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】由已知等腰梯形中，，， 所以，
由斜二测画法得，在原图直角梯形ABCD中，．∠BAD=，易得，
所以四边形ABCD的周长为，面积为．
故答案为：ACD.
【分析】根据斜二测画法的定义，求得边长，再求周长与面积即可得答案.
15．【答案】A,C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】以BC为轴，画出直观图，如图2，此时，
A符合题意，
以BC为轴，则此时，
则的长度范围是，
若以AB或AC为x轴，画出直观图，如图1，以AB为轴，则，此时过点作⊥于点D，则，
则，，
由勾股定理得：，C符合题意；
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合斜二测画直观图的方法，再结合勾股定理得出 可能的长。
16．【答案】A,D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】水平放置的角的直观图一定是角，A符合题意；角的大小在直观图中都会发生改变，有的线段在直观图中也会改变，比如正方形的直方图中，BC不符合题意；
由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，所以D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合斜二测画直观图的方法，进而找出正确的选项。
17．【答案】B,D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：在直观图△A'B'C'中，过C'作C'D'⊥A'B'于点D'，
∵A'B'=2，
∴A'D'=1，，
又∠C'O'D'=45°，所以O'D'=2，O'A'=1，
所以利用斜二测画法将直观图△A'B'C'还原为原平面图形△ABC，如图所示，
∴，OA=1，AB=2，故B正确；
又，，故AC错误；
，故D正确.
故答案为：BD
【分析】根据斜二测画法与规则，结合三角形的面积公式求解即可.
18．【答案】B,D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：如图所示，过点C'作C'D'//y'，则∠C'D'B'=45°，
又因为 在 轴上， 与 轴垂直，且 ，
所以C'D'=2，
则根据斜二测画法， 的边 上的高为 2C'D'=4，
又根据斜二测画法，还原可得，如图所示，易知在Rt△BCD中，AC故答案为：BD
【分析】根据斜二测画法，结合题意，逐项求解和判断即可.
19．【答案】A,B
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：对于A，棱柱的侧面不一定全等，故错误；
对于B，由棱台的定义可知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误；
对于C，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；
对于D，正棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形，故正确；
故选：AB.
【分析】直接利用棱柱，棱锥，棱台的性质判断选项即可.
20．【答案】A,B,C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征
【解析】【解答】A选项：正三棱锥是底面为正三角形，各侧棱长均相等的几何体，正四面体四个面均为正三角形且所有棱长均相等，所以A选项正确；
B选项：正四棱柱为底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱即为长方体，所以B选项正确；
C选项：棱柱上下底面互相平行且全等，且各侧棱互相平行，所以棱柱的侧面均为平行四边形，所以C选项正确；
D选项：正四棱柱的侧面两两平行，所以D选项错误；
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合正三棱锥的结构特征、长方体的结构特征、平行四边形的结构特征、棱柱的结构特征，进而找出结论正确的选项。
21．【答案】A,B,C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：对于 ：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，必须强调各个三角形的顶点必须相交于一点，故与锥体的定义矛盾，A错误，符合题意；
对于 ：有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台，与台体的形成矛盾，台体是由锥体沿侧棱作与底面平行的截面，所形成几何体的下半部分为台体，B错误，符合题意；
对于 ：如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个几何图形不可能构成体，只能构成正六边形，C错误，符合题意；
对于 ：如果一个棱柱的所有面都是长方形，根据侧棱垂直于底面，且每一条侧棱互相平行，那么这个棱柱是长方体，D正确，不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】根据棱锥的定义，可判定A错误；根据棱台的定义，可判定B错误；根据一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个几何图形不可能构成体，可判定C错误；根据棱柱的定义和正方体的特征，可判定D 正确．
22．【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由直观图可得原图，
由斜二测 画法可知：OABC是直角梯形，且高为.
故答案为：.
【分析】由直观图还原原图，运算求解即可.
23．【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】根据直观图画出原图如下：
，
的面积为
故答案为：
【分析】根据直观图画出原图求解。
24．【答案】；；水平面；轴或轴的线段；保持原长度不变；一半
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】 画直观图时；把它们画成对应的轴与轴，两轴交于点，且使，或，
它们确定的平面表示水平面，已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段，已知恩形中平行于轴的线段，在直观图中保持长度不变， 平行手轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.
故答案为：，，水平面，轴或轴的线段， 保持原长度不变 ，一半.
【分析】直接根据斜二测画法的画直观图的步骤即可作答.
25．【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】直观图还原为几何体图如下：
的周长为
故答案为：
【分析】将直观图还原为几何体图分析求解
26．【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】过点A作于点B，
因为再由和图中可知角为锐角，解得，所以，再由勾股定理得出，再根据轴，所以因为，利用余弦定理和线段的长度大于0的性质，得出，
所以线段的长度为 。
故答案为：
【分析】利用已知条件结合过点A作于点B，再结合同角三角函数基本关系式和正弦函数的定义得出AB的长，再由勾股定理得出OB的长，再根据线线平行结合斜二测画法和两角互补的关系，进而得出的值，再利用余弦定理和边长的取值范围，进而得出线段的长度。
27．【答案】解：第一种，
如图，以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，
第一步：画对应的轴，轴，使得，
第二步：在轴上取，，在轴上取，
第三步：连接，即可得到的直观图.
第二种，以A为原点，AB所在直线为x轴，
第一步：过C作x轴的垂线，垂足为E，作y轴的垂线，垂足为F，
第二步：画对应的轴，轴，使得，
第三步：在轴上取，，在轴上取，
第四步：过分别作轴，轴的平行线，交点为，
第五步：连接，即可得到的直观图.
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】直接利用斜二测画法的定义可得.
28．【答案】解：如图，取AO中点C，连接BC，且，在直观图中，，
过作轴，垂足为． 又，所以.
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】先画出平面图形的直观图，再结合线段间的比例关系可得答案.
29．【答案】解：⑴画轴．如图，画x轴、y轴、z轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
⑵画下底面．以O为线段中点，在x轴上取线段AB，使AB＝2，在y轴上取线段OC，使OC＝ .连接BC，CA，则△ABC为正三棱台的下底面的直观图．
⑶画上底面．在z轴上取OO′，使OO′＝2，过点O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐标系x′O′y′.在x′O′y′中，类似步骤(2)的画法得上底面的直观图△A′B′C′.
⑷连线成图．连接AA′，BB′，CC′，去掉辅助线，将被遮住的部分画成虚线，则三棱台ABC－A′B′C′即为要求画的正三棱台的直观图．
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】利用已知条件结合斜二测画法画直观图的步骤方法，从而画出一个上、下底面边长分别为1，2，高为2的正三棱台的直观图。
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