广东省广州大学附中2023-2024学年强基计划班高三上册数学入学试卷
一、填空题（本大题共20小题，共100.0分）
1．设为实数，集合，，满足，则的取值范围是 ．
2．设为实数，函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
3．定义在上的奇函数满足，若也为奇函数，则 ．
4．定义在上的函数满足对任意的实数都有，当时，，当时，，则 ．
5．已知常数，函数的图象经过点、，若，则
6．设，平行于轴的直线：分别与函数和的图像交于点，，若函数的图像上存在点，满足为等边三角形，则 ．
7．设为实数，直线与函数有四个不同的交点，则的取值范围是 ．
8．设，则 ．
9．设为实数，满足，则 ．
10．函数的最大值为 ．
11．设为实数，满足，，构成一个钝角的三边长，则的取值范围为 ．
12．在中，，则的形状为 三角形．
13．设为实数，设向量，，，若和夹角等于和夹角，则 ．
14．设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则 ．
15．已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为 ．
16．如图，在正六边形中，则以，为焦点，且经过点，，，的双曲线的离心率 ．
17．设点，分别为双曲线：的左、右焦点，过点作直线交双曲线的两条渐近线于点，，满足，，则双曲线的离心率 ．
18．已知为抛物线，点在轴上的射影为，点的坐标是，则的最小值是 ．
19．已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是 ．
20．已知函数在处取得极值，则 ．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：当时，，解得，此时符合题意；
当时，由题意，得，解得，所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】当时，当时分类讨论，利用包含关系列出不等式求解即可.
2．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：由题意函数在上单调递增， 得，解得，所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用分段函数是增函数列出不等式组，计算求解即可.
3．【答案】1
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为是奇函数，所以， 也为奇函数， 所以，所以，即，所以的周期为4，因为，所以.
故答案为：1.
【分析】根据为奇函数，也是奇函数，结合奇函数的定义变形可得，所以函数的周期为4，然后利用周期可求得结果.
4．【答案】336
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，，得函数的周期为6，
当时，，， ，当时， ，得，所以，所以.
故答案为： 336 .
【分析】由题意推出，利用函数的周期性求解即可.
5．【答案】4
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解： 函数的图象经过点、， 则，即；，即，得到，由已知条件，所以
，结合，解得.
故答案为：4.
【分析】将点、代入解析式，结合，计算求解即可.
6．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意得，解得，即，由，解得，即，所以，如图，取的中点为，连接，
由题意为等边三角形，所以，所以，代入，得，解得.
故答案为：.
【分析】根据给定条件，利用指数、对数互化关系求出，，由结合已知条得到，代入，计算求解即可.
7．【答案】
【知识点】函数的图象；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解： 直线与函数有四个不同的交点，等价于直线与函数有四个不同的交点，在同一坐标系中，画出它们的图象，由图可知，当且仅当 时，直线与函数有四个不同的交点，所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】 直线与函数有四个不同的交点，等价于直线与函数有四个不同的交点，数形结合，求解即可.
8．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由已知，由同角三角函数关系得.
故答案为：.
【分析】根据同角三角函数的平方关系化简，即可得解.
9．【答案】5
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：已知，所以，所以同角三角函数的基本关系得.
故答案为：.
【分析】根据已知条件，求出，再利用同角三角函数基本关系求解即可.
10．【答案】3
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：，所以，即时， 函数的最大值为3.
故答案为：3.
【分析】根据已知条件，利用二倍角余弦公式化简，再利用余弦函数的性质求出最大值作答.
11．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：设的内角为最大角，由题，且，即，解得，再由三角形三边关系可得，解得，所以.
故答案为：.
【分析】根据余弦定理以及三角形三边关系可得实数的取值范围.
12．【答案】直角
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解： 由已知条件 ，得，即，由余弦定理得，整理得，所以是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】根据已知条件，利用二倍角的余弦公式得，结合余弦定理化简可得答案.
13．【答案】2
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由已知向量，，，
由和夹角等于和夹角 ，得，结合，所以，即，解得.
故答案为：2.
【分析】利用向量运算的坐标表示求出，再利用向量夹角公式，计算求解即可.
14．【答案】
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解： 设数列和都为等差数列 ，，令，，则，则，所以.
故答案为：.
【分析】设，，求出首项，，再利用等差数列前n项和公式求解作答.
15．【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：由椭圆方程得，，所以，若，所以结合余弦定理，可推出， 则的面积.
故答案为：.
【分析】由向量的夹角公式可得，利用余弦定理可得，再由三角形面积公式计算求解即可.
16．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：令正六边形的边长为，连接，所以
，由题意，，所以双曲线的离心率
故答案为：.
【分析】根据给定图形，结合双曲线定义分别写出，，结合离心率定义计算求解即可.
17．【答案】2
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设点位于第一象限，因为，则为线段的中点，又因为为的中点，则，因为，则，所以，所以，
又，所以是等边三角形，
则，，因此，该双曲线的离心率为.
故答案为：2.
【分析】设点位于第一象限，由题意得出，结合已知条件求出，进而可求得，所以该双曲线离心率.
18．【答案】
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点，准线方程为，
延长PM交准线于N，连PF，由抛物线定义知：
，当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号，根据两点间的距离公式可得，所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】求出抛物线的焦点，准线方程为，再利用抛物线定义得，结合两点间的距离公式计算求解即可.
19．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由，有，
即，将代入，得到，所以，， 所以在处的切线斜率为， 则曲线在点处的切线方程 .
故答案为：.
【分析】将换为可得，再代入化简可得，求导，求出斜率，即可得到曲线在点处的切线方程 .
20．【答案】30
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数的导函数为，由于函数在处取极值，所以，解得a=-3，b=3或a=4，b=-11
，验证：当a=-3，b=3时，且不恒为零，则函数在定义域上为增函数，无极值，不符合题意；当a=4，b=-11时，，当时，，即函数在区间上单调递增，当时，，即函数单调递减，所以函数在取极小值，符合题意，所以.
故答案为：30.
【分析】先求函数的导函数，根据函数在处取极值，列方程组，求得a，b的值，再结合极值点的定义验证，从而得函数的解析式，即可求得.
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一、填空题（本大题共20小题，共100.0分）
1．设为实数，集合，，满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：当时，，解得，此时符合题意；
当时，由题意，得，解得，所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】当时，当时分类讨论，利用包含关系列出不等式求解即可.
2．设为实数，函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：由题意函数在上单调递增， 得，解得，所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用分段函数是增函数列出不等式组，计算求解即可.
3．定义在上的奇函数满足，若也为奇函数，则 ．
【答案】1
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为是奇函数，所以， 也为奇函数， 所以，所以，即，所以的周期为4，因为，所以.
故答案为：1.
【分析】根据为奇函数，也是奇函数，结合奇函数的定义变形可得，所以函数的周期为4，然后利用周期可求得结果.
4．定义在上的函数满足对任意的实数都有，当时，，当时，，则 ．
【答案】336
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，，得函数的周期为6，
当时，，， ，当时， ，得，所以，所以.
故答案为： 336 .
【分析】由题意推出，利用函数的周期性求解即可.
5．已知常数，函数的图象经过点、，若，则
【答案】4
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解： 函数的图象经过点、， 则，即；，即，得到，由已知条件，所以
，结合，解得.
故答案为：4.
【分析】将点、代入解析式，结合，计算求解即可.
6．设，平行于轴的直线：分别与函数和的图像交于点，，若函数的图像上存在点，满足为等边三角形，则 ．
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意得，解得，即，由，解得，即，所以，如图，取的中点为，连接，
由题意为等边三角形，所以，所以，代入，得，解得.
故答案为：.
【分析】根据给定条件，利用指数、对数互化关系求出，，由结合已知条得到，代入，计算求解即可.
7．设为实数，直线与函数有四个不同的交点，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数的图象；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解： 直线与函数有四个不同的交点，等价于直线与函数有四个不同的交点，在同一坐标系中，画出它们的图象，由图可知，当且仅当 时，直线与函数有四个不同的交点，所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】 直线与函数有四个不同的交点，等价于直线与函数有四个不同的交点，数形结合，求解即可.
8．设，则 ．
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由已知，由同角三角函数关系得.
故答案为：.
【分析】根据同角三角函数的平方关系化简，即可得解.
9．设为实数，满足，则 ．
【答案】5
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：已知，所以，所以同角三角函数的基本关系得.
故答案为：.
【分析】根据已知条件，求出，再利用同角三角函数基本关系求解即可.
10．函数的最大值为 ．
【答案】3
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：，所以，即时， 函数的最大值为3.
故答案为：3.
【分析】根据已知条件，利用二倍角余弦公式化简，再利用余弦函数的性质求出最大值作答.
11．设为实数，满足，，构成一个钝角的三边长，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：设的内角为最大角，由题，且，即，解得，再由三角形三边关系可得，解得，所以.
故答案为：.
【分析】根据余弦定理以及三角形三边关系可得实数的取值范围.
12．在中，，则的形状为 三角形．
【答案】直角
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解： 由已知条件 ，得，即，由余弦定理得，整理得，所以是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】根据已知条件，利用二倍角的余弦公式得，结合余弦定理化简可得答案.
13．设为实数，设向量，，，若和夹角等于和夹角，则 ．
【答案】2
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由已知向量，，，
由和夹角等于和夹角 ，得，结合，所以，即，解得.
故答案为：2.
【分析】利用向量运算的坐标表示求出，再利用向量夹角公式，计算求解即可.
14．设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则 ．
【答案】
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解： 设数列和都为等差数列 ，，令，，则，则，所以.
故答案为：.
【分析】设，，求出首项，，再利用等差数列前n项和公式求解作答.
15．已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：由椭圆方程得，，所以，若，所以结合余弦定理，可推出， 则的面积.
故答案为：.
【分析】由向量的夹角公式可得，利用余弦定理可得，再由三角形面积公式计算求解即可.
16．如图，在正六边形中，则以，为焦点，且经过点，，，的双曲线的离心率 ．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：令正六边形的边长为，连接，所以
，由题意，，所以双曲线的离心率
故答案为：.
【分析】根据给定图形，结合双曲线定义分别写出，，结合离心率定义计算求解即可.
17．设点，分别为双曲线：的左、右焦点，过点作直线交双曲线的两条渐近线于点，，满足，，则双曲线的离心率 ．
【答案】2
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设点位于第一象限，因为，则为线段的中点，又因为为的中点，则，因为，则，所以，所以，
又，所以是等边三角形，
则，，因此，该双曲线的离心率为.
故答案为：2.
【分析】设点位于第一象限，由题意得出，结合已知条件求出，进而可求得，所以该双曲线离心率.
18．已知为抛物线，点在轴上的射影为，点的坐标是，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点，准线方程为，
延长PM交准线于N，连PF，由抛物线定义知：
，当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号，根据两点间的距离公式可得，所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】求出抛物线的焦点，准线方程为，再利用抛物线定义得，结合两点间的距离公式计算求解即可.
19．已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是 ．
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由，有，
即，将代入，得到，所以，， 所以在处的切线斜率为， 则曲线在点处的切线方程 .
故答案为：.
【分析】将换为可得，再代入化简可得，求导，求出斜率，即可得到曲线在点处的切线方程 .
20．已知函数在处取得极值，则 ．
【答案】30
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数的导函数为，由于函数在处取极值，所以，解得a=-3，b=3或a=4，b=-11
，验证：当a=-3，b=3时，且不恒为零，则函数在定义域上为增函数，无极值，不符合题意；当a=4，b=-11时，，当时，，即函数在区间上单调递增，当时，，即函数单调递减，所以函数在取极小值，符合题意，所以.
故答案为：30.
【分析】先求函数的导函数，根据函数在处取极值，列方程组，求得a，b的值，再结合极值点的定义验证，从而得函数的解析式，即可求得.
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