宁夏青铜峡市宁朔中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题（含解析）

2023-2024第一学期高一第二次月考
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 与终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若实数满足，则（ ）
A. B. C. D. 1
4. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
5. 设是第二象限角，则的终边在（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限
C. 第一、三、四象限 D. 第一、二、四象限
6. 已知扇形的周长为20，则该扇形的面积的最大值为（ ）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
7. 函数在区间上的最大值为（ ）
A. B. C. 3 D. 4
8. 星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概率，例如，1等星的星等值为1，-0.58等星的星等值为-0.58.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度满足关系式，则1等星的亮度是6等星亮度的（ ）
A.倍 B. 10倍 C.倍 D. 100倍
二、多选题（本大题共有4个小题，每题5分，共20分，多选、错选均不得分）
9. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
10. 下列函数既是奇函数，又在定义域内单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知，且，则函数与的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，令，则（ ）
A. 若有1个零点，则或
B. 若有2个零点，则或
C. 的值域是
D. 若存在实数满足，则的取值范围为
三、填空题（本大题共有4个小题，每题5分，共20分）
13. 已知函数，则__________.
14. 函数（，且）的图像恒过的定点的坐标为___________.
15. 函数的单调递减区间是___________.
16. 给出下列函数：①；②；③；④.
（1）是定义在上的偶函数；
（2）对任意且，有，其中同时满足上述两个条件的函数是（填序号）____________.
四、解答题（本大题共有6个小题，共70分）
17.求值：
（1）
（2）
18.（1）已知，且为第二象限角，求的值；
（2）已知，求的值.
19. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
20. 已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）；
（3）.
21. 已知，（且）.
（1）求的定义域.
（2）判断的奇偶性，并说明理由.
22. 已知函数过定点，函数的定义域为.
（1）求定点并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在上的单调性；
（3）解不等式.
参考答案
一、单选题
1.【答案】B
【分析】先分别解一元二次不等式和指数不等式，再根据交集的定义求解即可.
【详解】，解得，所以.
，解得，所以，
所以，
故选：B
2.【答案】D
【分析】根据角度的表示方法分析判断AB，根据终边相同的角的定义分析判断CD.
【详解】在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误.
与终边相同的角可以写成的形式，
时，，315°换算成弧度制为，所以C错误，D正确.
故选：D
3.【答案】D
【分析】利用指数式与对数式的互化可得，再利用对数运算，即可得答案；
【详解】∵，∴，
∴，
故选：D
4.【答案】B
【分析】计算，得到大小关系
【详解】，故，
故选：B
5.【答案】D
【分析】由，得到，对赋值判断.
【详解】解：因为是第二象限角，
所以，
，
当时，，在第一象限；
当时，，在第二象限；
当时，，在第四象限；
故选：D
6.【答案】D
【分析】设扇形圆心角为，扇形半径为，由题可得间关系，后用表示，即可答案.
【详解】设扇形圆心角为，，扇形半径为，，
由题有，
则，当时取等号.
故选：D
7.【答案】B
【分析】利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可.
【详解】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值，根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以
故选：B
8.【答案】D
【分析】根据题意建立对数关系式，并结合指对数互化求解.
【详解】由题意得：当时，，
即：，解之得：，故D项正确，
故选：D.
二、多选题
9.【答案】AB
【分析】根据三角函数的定义求得，结合诱导公式确定正确答案.
【详解】∵角的终边经过点，∴，
∴，，∴，
∴，，故AB正确、CD错误，
故选：AB
10.【答案】AC
【分析】根据奇偶性的定义和常见函数的单调性，即可判断和选择.
【详解】对A：定义域为，且，故为奇函数；
又是上的单调增函数，故A满足题意；
对B：定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，B不满足题意；
对C：的定义域为，且，故为奇函数；
又都是上的单调增函数，故是上的单调增函数，C满足题意；
对D: 的定义域为，其在定义域上不是单调增函数，故D不满足题意，
故选:AC
11. 【答案】AC
【分析】分和两种情况，结合函数的单调性和图象特征，判断选项.
【详解】若，则函数的图象单调递减且过点，
函数的图象单调递减且过点；
若，则函数的图象单调递增且过点，
而函数的图象单调递增且过点，
只有A，C的图象符合，
故选AC
12.【答案】BCD
【分析】根据函数图象的翻折变换和平移变换，由函数的图象与函数的图象，
可得函数的图象，利用数形结合，可得答案.
【详解】由函数图象的翻折变换和平移变换，由函数的图象与函数的图象，
可得函数的图象，利用数形结合，可得答案.
【详解】由函数的图象，根据函数图象的翻折变换，
由函数的图象，根据函数图象的平移变换，向右平移3个单位，向下平移1个单位，
可得函数的图象，如下图：
函数的图象可由函数经过平移变换得到，
显然当或时，函数的图象与轴存在唯一交点，故A错误；
由函数的图象，本身存在两个交点，向下平移一个单位，符合题意，故B正确；
由图象，易知C正确；
设，则，由前两个方程可得，则，
由图象可知，解得，即，故D正确；
故选：BCD
三、填空题
13.【答案】9
【分析】根据函数解析式直接求解即可.
【详解】解：根据题意，，
故答案为：9
14.【答案】
【分析】根据指数函数过定点进行求解.
【详解】因为，
所以恒过的定点的坐标为，
故答案为：.
15.【答案】
【分析】先确定函数的定义域，再分别得出内层函数和外层函数的单调性，根据复合函数的性质求出函数的单调区间即可.
【详解】的定义域为，解得，
∴或，
求原函数的单调递增区间，即求函数的减区间，
，可知单调递减区间为，
综上可得，函数单调递增区间为.
令，由，得或，
∴函数的定义域为，
当时，内层函数为增函数，而外层函数为减函数，
∴函数的单调递减区间是，
故答案为：
16.【答案】②③
【分析】根据函数的奇偶性的定义和判定方法，以及基本初等函数的单调性，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域都是，
且都满足，所以都是定义域上的偶函数；
根据对数函数的图象与性质，可得函数为非奇非偶函数，不符合题意，
又由对任意且，有，
可得函数是上的单调递减函数，
根据二次函数的性质，可得函数在上为单调递增函数，不符合题意；
当，可得，在上为单调递减函数，符合题意；
当，可得，在上为单调递减函数，符合题意；
故答案为：②③
四、解答题
17.【答案】（1）3；（2）10
【分析】根据指对幂的运算规则计算.
【详解】（1）
（2）原式
综上，（1）原式=3；（2）原式=10
18.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；
【分析】（1）根据函数值的符号确定角的象限，利用平方关系求出余弦，再利用商数关系求正切值；
（2）根据函数值的符号确定角的象限，利用平方关系求出正弦，再利用商数关系求正切值.
【详解】（1）因为且是第二象限角，
当为第二象限角时，，
；
因为，所以是第二或第三象限角，
当为第二象限角时，，
所以，；
当是第三象限角时，
所以，
19.【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用平方关系及商数关系有，即可求值；
（2）应用诱导公式化简，再由商数关系及已知求值.
【详解】（1）
（2）
20.【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）根据已知条件及同角三角函数的平方关系即可求解；
（2）利用（1）的结论及完全平方公式，结合同角三角函数的平方关系即可求解；
（3）利用（2）的结论及平方差公式即可求解.
【详解】（1）∵，
∴
即，∴，
∴；
（2）由（1）知，，
，
又，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
21.【答案】（1）；（2）偶函数，理由见解析；
【分析】（1）根据对数的真数大于零可求得和的定义域，取交集可得定义域；
整理可得，验证得，得到函数为偶函数.
【详解】（1）令得：，∴定义域为，
令得：，∴定义域为，
∴的定义域为；
（2）由题意得：，
∴，
∴为定义在上的偶函数
【点睛】本题考查函数定义域的求解、奇偶性的判断；求解函数定义域的关键是明确对数函数要求真数必须大于零，且需保证构成函数的每个部分都有意义.
22.【答案】（1）定点为，奇函数，证明见解析；（2）在上单调递增，证明见解析；（3）
【解析】（1）根据解析式可求得定点为，即可得的解析式，根据奇函数的定义，即可得证；
（2）利用定义法即可证明的单调性；
（3）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】（1）∵函数过定点，∴定点为，
∴，定义域为，
∴，
∴函数为奇函数；
（2）在上单调递增，
证明：任取，且，
则
∵，
∴，
∴，即，
∴函数在区间上是增函数；
（3），即，
∵函数为奇函数，
∴
∵在上为单调递增函数，
∴，∴，解得：
故不等式的解集为：
【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案.