21.1 一元二次方程 课件 2023-2024学年人教版九年级数学上册（15张PPT）

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第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
1.能根据实际问题列出方程，掌握一元二次方程的概念及一般形式.
2.了解一元二次方程解（根）的概念.
任务：根据实际问题列出方程，掌握一元二次方程的概念及一般形式;了解一元二次方程解（根）的概念.
活动1：解决下列情景问题.
情景1：设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以上）与下部BC（腰以下）的高度比，等于下部BC与全部AB（全身）的高度比，可以增加视觉美感. 按此比例，如果右图雕像高AB为2m，那么它的下部BC的高度 x 应为多少？(列出方程即可)
A
C
B
x
解：雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系：
AC：BC=BC：2，即 BC 2=2AC.
因为 AC=2-x，BC=x.
所以 x =2(2-x)，
整理得 x +2x－4=0. ①
方程①与我们学过的一元一次方程有什么不一样呢？
A
C
B
x
2-x
情景2：如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
(列出方程即可)
解：设切去的正方形的边长为x cm，
则盒底的长为（100－2x）cm，宽为（50－2x）cm
根据题意得：(100－2x)(50－2x)=3600.
整理，得： 4x －300x+1400=0.
化简，得： x －75x+350=0. ②
x
方程②中未知数的个数和最高次数各是多少？
x2+2x-4=0.① x2-75x+350=0.②
问题：观察下列方程，归纳它们的共同点.
共同点:
①等式两边都是整式;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
一元二次方程的一般形式是
ax2 称为二次项，
a 称为二次项系数.
bx 称为一次项，
b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
思考：为什么一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0要规定 a≠0？b、c 可以为零吗？
当 a = 0 时
bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
ax2 = 0
活动2：将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) 2x2=5x-6； (2) (x+2)(x -1)=6 .
(2) 去括号，得x2+x-2=6.
移项，得一般形式：x2+x-8=0.
其中二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为-8.
解：(1) 移项，得一般形式：2x2-5x+6=0.
其中二次项系数为2，一次项系数为-5，常数项为6.
注意：系数和项均包含前面的符号.
练一练
1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
C
不是整式方程
含两个未知数
化简整理成
x2-3x+2=0
少了限制条件
a≠0
–2和3.
注意：一元二次方程可能不止一个根.
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
2.下面哪些数能满足方程 x2 – x – 6 = 0 ？
–2，–1，3 ，4
1.下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣y=1 B．x2+2x﹣3=0
C．x3 +1=3 D．x﹣5y=6
B
2.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）2x2=1-3x （2）5x（x-2）=4x2-3x．
解：（1）2x2=1-3x 一般形式为2x2+3x-1=0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-1；
（2）5x（x-2）=4x2-3x 一般形式为 x2-7x=0，二次项系数为1，一次项系数为-7，常数项为0．
3.若关于 x 的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0，求m的值.
解：将 x=0 代入方程得：m2-4=0，
解得m= ±2.
∵ m+2 ≠0，
∴ m ≠-2，
综上所述：m =2.
针对本节课的关键词“一元二次方程”，你能说说学到了哪些知识吗？
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是2.
一般形式
ax2+bx+c=0 (a≠0)
确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项要先化为一般形式.
根
使方程左右两边相等的未知数的值.