2023-2024学年山东省临沂市高一上学期期中考试数学试题（含解析）

2023-2024学年山东省临沂市高一上学期期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知全集，集合，那么阴影部分表示的集合为
( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数的定义域是
( )
A. B. 且
C. D. 且
4.已知函数在上单调递增，则的取值范围是
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若，则
A. B. C. D.
7.已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为
( )
A. B. C. D.
8.在实数的原有运算法则中，定义新运算“”，规定当时，；当时，，则函数，的最大值等于“”和“”仍为通常的乘法和减法
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知命题：，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是
( )
A. B. C. D.
10.设，，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.设正实数、满足，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，则下列命题正确的是
( )
A. ，
B. ，
C.
D. 的解集为或
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若，则的最小值是________．
14.已知函数的值域为，则它的定义域可以是________写出其中一个即可
15.已知是定义在上的奇函数，当时，，则________．
16.已知幂函数的图象过点，且满足恒成立，则实数的取值范围为________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合，．
当时，求，；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
设函数，．
解关于的不等式；
当时，不等式恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知，，且．
求的取值范围；
求的取值范围．
20.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且．
求，值；
用定义证明：在上单调递减；
解关于的不等式．
21.本小题分
某公司生产某种电子仪器的年固定成本为万元，当年产量为千件时，需另投入成本万元．
每千件产品售价万元，为了简化运算我们假设该公司生产的产品能全部售完．
写出年利润万元关于年产量千件的函数解析式；
当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
22.本小题分
对于区间，，若函数同时满足：在上是单调函数；函数的值域是，则称区间为函数的“保值”区间．
求函数的所有“保值”区间；
函数是否存在“保值”区间？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了集合的基本运算，属于基础题．
根据题意可得阴影部分所表示的集合 B.
【解答】
解：阴影部分即为 ，
或，
，
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查存在量词命题的否定，属于基础题．
根据存在量词命题的否定为全称量词命题，直接写出否定即可．
【解答】解：由于命题：“，”为存在量词命题，
所以其否定为全称量词命题，
则原命题的否定为，．
故选C
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求函数的定义域，属于基础题．
由题意得不等式组，解不等式组即可．
【解答】
解：因为函数，
则，解得且．
故定义域为且．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数的性质，以及利用函数的单调性求参数．
根据二次函数的图象和性质，若函数在上是单调递增，则区间应完全在对称轴的右侧，由此构造关于的不等式，解得的取值范围．
【解答】
解：函数的对称轴为，
若函数在上是单调递增函数，
则
解得
故的取值范围是．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数求函数值，属于基础题．
由分段函数第二段解析式可知，，再利用分段函数第一段求解．
【解答】
解：由分段函数第二段解析式可知，，
由分段函数第一段解析式．
所以．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性，属于基础题．
由题意得出，从而可求出．
【解答】
解：，
，
又，，解得
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数性质的应用，考查函数单调性的判断以及运用单调性比较函数值的大小，同时考查函数的对称性的应用，属于中档题．
根据条件求出函数在上的单调性，然后根据函数是偶函数，利用单调性即可判定出、、的大小．
【解答】
解：当时，恒成立，
当时， ，
即 ，
函数在上为单调增函数，
函数是偶函数，，
函数关于对称，
，
又函数在上为单调增函数，
，
即，
，，的大小关系为．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数性质的应用，熟悉分段函数的定义是解答本题的关键，属于基础题．
利用新定义，列出不等式组，判断函数在上单调递增，即可求出函数在的最大值．
【解答】
解：因为
所以
易知函数在上单调递增，
所以，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了充分不必要条件的判定方法，以及一元二次不等式恒成立问题，属于基础题．
命题：，，进而得出结论．
【解答】解：命题：，，
时，恒成立，
时，且，解得：．
综上，命题成立的等价条件为．
则选项中满足命题成立的一个充分不必要条件： ，或．
故选CD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
利用不等式的性质直接求解．
【解答】
解：对于，若，则，故A正确；
对于，若，则，故B错误；
对于，若，则，正负不能确定，故C错误；
对于，因为 ，所以 ，所以 ，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
由已知结合基本不等式检验各选项即可判断．
【解答】解：因为正实数、满足，
所以，当且仅当时取等号，A正确；
，当且仅当时取等号，故，B正确；
，当且仅当时取等号，C错误；
，当且仅当时取等号，所以，D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是函数的值域，函数的周期性，一元二次不等式的解法，属于中档题．
由题易知是周期函数，通过研究函数在上的相关性质即可．
【解答】
解：对，当时，，故A错误；
对，因为，故，故B正确；
对，设，，，，
则，
所以，
因为，，
所以，则，
所以，即，故选项C正确；
对，令，则原不等式可化为，解得，
当时，
当时，，故，
由可知不等式的解集为，D正确；
综上，正确的是．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查基本不等式，属于基础题．
，利用基本不等式即可求解
【解答】
解：因为，所以，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值是．
14.【答案】答案不唯一
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域与值域，属于基础题．
，从而可求解．
【解答】解：，当，，，，
因为函数的值域为，所以它的定义域可以是．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性，属于基础题．
根据即可求解．
【解答】
解：因为是定义在上的奇函数，
所以．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查幂函数的解析式与单调性，考查不等式恒成立问题，属于中档题．
由题意可得，又转化为，根据单调性可得恒成立分与讨论即可求解．
【解答】解：设，因为幂函数的图象过点，
所以，解得，所以．
所以．
由，可得．
因为在上单调递增，所以，即恒成立．
当时，不恒成立；
当时，可得，解得．
综上所述．
17.【答案】解：当时，，
又，
所以，
所以或；
又因为或，
所以或
因为，所以，
若，则，解得；
若，由，得到
解得，
综上：的取值范围是．
【解析】本题考查交并补混合运算、含参数的交集运算问题、含参数的集合关系的问题，属于中档题．
求出，结合补集的概念，即可求出，求出，结合交集的概念，即可求出；
由，得出，分为空集与不为空集两种情况求出的范围即可．
18.【答案】解：，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
，
因为，所以由可化为：，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以．
所以的取值范围为．

【解析】本题考查含参的一元二次不等式的求解以及不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
对分类讨论：，，时，分别求出对应的解集；
利用分离参数法得到，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出的取值范围．
19.【答案】解：因为，，所以，当且仅当时取等号，
则，所以，
即，即，
又，，则，当且仅当时取等号，
故的取值范围为．
因为，，所以，当且仅当时取等号，
故，
解得或舍去，
即，当且仅当时取等号，
故的取值范围为．
【解析】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．
利用基本不等式得出，即可求出的取值范围；
利用基本不等式得出，即可求出的取值范围
20.【答案】 解：根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则，解得，
又由，则有，解得，
则；
解：由知，
证明：设，
则，
又由，所以、、
则，，，，
则，
则函数在上单调递减；
解：根据题意，即 ，
因为函数在上单调递减，
所以，解得：，
即不等式的解集为．

【解析】本题考查函数的单调性，奇偶性的定义的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
利用奇函数的性质以及求解，即可．
利用函数的单调性的定义证明即可．
利用函数的奇偶性和单调性的性质，列出不等式求解即可．
21.【答案】解：由题意知，当时，
当时，，
综上，．
当时，，
故时，取得最大值为；
时，
．
当且仅当，即时取等，
综上，当，即产量为千件时，该工厂获得利润最大，且最大利润为万元．
【解析】本题主要考查了函数的实际应用，考查了二次函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．根据利润销售收入固定成本投入成本，即可得到利润万元关于年产量千件的函数关系式；
当时，，利用二次函数的性质，求出的最大值，当时，，利用基本不等式求出的最大值，再比较两者的大小，取较大者即为的最大值．
22.【答案】解：因为函数的值域是，且在的值域是，
所以，所以，
从而函数在区间上单调递增，
故有，解得
又，
所以
所以函数的“保值”区间为．
函数的对称性为，
可知时，单调递减，时，单调递增．
假设函数存在“保值”区间，
当时，在上单调递增，
则有，即
所以方程在上有两个不等的实数根，，
所以，解得．
当时，在上单调递减，
所以，两式相减，可得，
即，即．
所以，解得．
由，可得在上单调递增，
所以，即．
综上所述，函数存在“保值”区间，实数的取值范围为．
【解析】本题考查函数的新定义问题，考查二次函数的性质，属于较难题．
根据函数的值域是可得，从而函数在区间上单调递增，故由即可求解；
函数的对称性为，分与讨论即可求解．
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