2023-2024学年江苏省镇江市丹阳市高二上学期11月期中检测数学试题（含解析）

2023-2024学年江苏省镇江市丹阳市高二上学期11月期中检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知直线：，：，若，则实数
A. B. C. D.
2.已知直线经过点，且不经过第三象限，则直线的斜率的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
3.已知等差数列的前项和为，，则
A. B. C. D.
4.从某个角度观察篮球如图可以得到一个对称的平面图形如图，篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
5.已知抛物线：经过点，点到抛物线的焦点的距离为，则抛物线的准线方程为
A. B. C. D.
6.在棱长为的正方体中，分别取棱，的中点，，则点到平面的距离为
A. B. C. D.
7.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的最大值是
A. B. C. D.
8.已知数列的前项和，，则使成立的的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知直线：，，则下列结论正确的是
( )
A. 直线恒过定点
B. 原点到直线的距离最大值为
C. 当时，直线的倾斜角为
D. 直线与的交点的轨迹为圆的一部分
10.在等比数列中，，，记为数列的前项和，为数列的前项和，则下列结论正确的是
A. B. 是等比数列 C. D.
11.已知抛物线：的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线交于，两点，，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A. 抛物线的方程为
B. 若，则点到轴的距离为
C. 的最小值为
D. 若，则的面积为
12.如图，在棱长为的正方体中，是线段上一点，下列说法正确的是
A. 若，则直线平面
B. 若，则点到平面的距离为
C. 若，则直线 平面
D. 的最大值为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知双曲线的左右两个焦点分别是、，焦距为，点是双曲线上一点，且，则________．
14.在平行六面体中，，，则________．
15.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域边界即为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为________．
16.已知数列共有项，该数列的前项成等比数列，后项成等差数列，且，，，则 ；数列所有项的和为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知抛物线与轴交于，两点其中点在点的右边，与轴交于点，记的外接圆为圆．
求圆的方程；
经过点的直线与圆的另一个交点为，若，求直线的方程．
18.本小题分
已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，且．
求数列和的通项公式；
令，证明：数列的前项和．
19.本小题分
如图所示，在棱长都为的正三棱柱中，点为的中点．
求点到平面的距离；
线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
20.本小题分
已知椭圆：其中的焦距，点在上．
求的方程；
若过右焦点的直线交于，两点，且，求的方程．
21.本小题分
如图所示，在三棱锥中，平面，是的中点，直线与平面所成角的正切值为，且．
求直线与平面所成的角；
求二面角的正弦值．
22.本小题分
已知椭圆：其中的上顶点与抛物线的焦点重合，且椭圆的四个顶点所围成的菱形的面积为．
求椭圆的方程；
过点的直线与相交于、两点，试问曲线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两直线垂直，属于基础题．
利用平面内两直线垂直的充要条件即可求解．
【解答】
解：由题意，因为，
则，解得 ．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的斜率，考查学生的计算能力，是基础题．
由直线过点，且不经过第三象限，可得直线的斜率的取值范围．
【解答】
解：直线经过点，
设原点为
，
因为直线不经过第三象限，
则直线的斜率的取值范围是
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题．
求出首项和公差，由等差数列的求和公式即可求解．
【解答】
解：设公差为，
则，解得
则．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质及几何意义，属于中档题．
设出双曲线方程，通过坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，推出圆与双曲线的交点坐标，再代入双曲线方程，求出与的关系，进而求出离心率．
【解答】
解：设双曲线的方程为，
则，因为，
所以，所以，
因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，
所以圆与双曲线在第一象限的交点，
即在双曲线上，
代入可得，解得，
所以双曲线的离心率为．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的定义、方程和几何性质，属于基础题．
求题意可得，，由抛物线的定义可得 ，解得，进而得到抛物线的准线方程．
【解答】
解：抛物线：经过点，所以，
抛物线： 的焦点 ，，准线方程为 ，
由抛物线的定义可得， ，解得，
则抛物线的准线方程为 ．
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查点、线、面间的距离计算．一般在求点到面的距离直接不好找时，常利用体积相等来求．
直接根据和的体积相等来求点到平面的距离即可．
【解答】
解：设所求距离为．
因为：，
中边的高为，
．
．
而到平面的距离．
．
．
故选D．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形面积，圆的方程、点到直线的距离公式，属于中档题．
易知，所以点到直线的距离最大时，三角形面积最大，而点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上圆的半径，利用点到直线的距离公式可求得结果．
【解答】解：在中，令，得，令，得，所以，
所以，
由知，圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离，
所以点到直线的距离
，
所以面积的最大值为．
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查裂项相消法求和，数列与不等式，属于中档题．
由题意求得，可得时，利用裂项相消法，解不等式可得结果．
【解答】
解：数列的前项和，
当时，，
当时，，
当时满足，故，
当时，，
则，
即，即，解得，
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线过定点问题、点到直线的距离、直线斜率与倾斜角的关系、两条直线垂直的判定及应用，属于中档题．
根据题意，对各选项逐项判定，即可求出结果．
【解答】
解：对于，由直线，得，
所以直线恒过定点，所以A正确
对于，原点到直线的距离，所以B错误
对于，当时，直线，其斜率为，
所以倾斜角为，所以C错误
对于，由直线，得，
所以直线恒过定点，
直线恒过定点，
又因为，
所以直线与直线垂直，
所以两直线的交点的轨迹是圆的一部分，所以D正确．
故选AD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等比数列的性质，等比数列的前项和公式，属中档题；
根据等比数列的性质和前项和公式，逐项判定即可．
【解答】
解：设等比数列的公比为，则，，
，，，
，所以错
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确
，，，错
，，
所以，D正确
故选BD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线定义和方程，抛物线的几何性质，属于中档题．
由抛物线定义和方程，抛物线的几何性质逐一判断即可．
【解答】
解：由题意可知，故抛物线的方程为，故A正确；
设，由抛物线的定义可得，即，又为线段的中点，
则点到轴的距离为，故B错误；
因为，则线段与抛物线的交点为，此时最小，为，故C正确；
由抛物线方程可得准线方程为，所以到准线的距离为，又直线的方程为，所以到直线的距离为，又，则的面积为，故D正确．
12.【答案】
【解析】【分析】本题考查了用空间向量判定直线和平面平行和垂直，是一般题．
以为坐标原点，分别以，，，为的轴，轴，轴建立空间直角坐标系后，求出相关直线所在的向量及平面的法向量，逐项判定即可。
【解答】解：以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，，
则，，，，，，
当时，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，可取，
则，不在平面内，
所以平面，故C正确；
此时到平面的距离为
若时，
，
所以与不共线，所以直线与平面不垂直，故D不正确．
设，，，
，
当，D正确。
13.【答案】或
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的标准方程以及性质的运用，属于基础题．
先求出，得到，再根据标准方程代入数据运算即可．
【解答】
解：由题意，，
所以，则
利用双曲线的定义知 ，
故或
14.【答案】
【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积，考查平行六面体中的长度问题，属于中档题．运用向量将其进行分解，线性表示出要求向量，然后运用向量的数量积求出结果．
由已知可求得，再由向量的加法运算可得，等式两边平方可求出的长．
【解答】解：，，
，
，
，
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查点关于直线的对称点的计算，点到圆上点的最值问题、两点间的距离公式，属于中档题．
求出关于的对称点，根据题意，为最短距离，求出即可．
【解答】
解：设点关于直线的对称点，
军营所在区域的圆心为，且点坐标为，半径为，
根据题意，为最短距离，先求出的坐标，
的中点为 ， ，直线的斜率为，
由 ，解得，，
即，
所以，
故．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列通项公式中的基本量计算、等比数列通项公式中的基本量计算、等比数列的前项和公式、等差数列的前项和公式，属于一般题．
设数列的前项的公比为，后项的公差为，根据题意求出公比和公差，即可求出，利用等差数列和等比数列的求和公式即可求出数列所有项的和．
【解答】
解：设数列的前项的公比为，后项的公差为，
因为，，，
所以，
即，
又，则，解得，
所以，解得，
所以；
数列所有项的和为：
．
故答案为；．
17.【答案】解：抛物线中，令得，，令得
直线中垂线方程为，
直线中垂线方程为，
由圆心．
圆的半径
圆的方程为．
因为
当直线的斜率不存在时，，圆心到直线的距离为，
此时
不符合；
当直线的斜率存在时，设直线，即
则圆心到直线的距离
由，即，
解得：或，
所以直线的方程为：或．

【解析】本题考查圆的方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．
抛物线中，令得，，令得，求得圆心，半径，即可得圆的方程；
分直线的斜率不存在和存在讨论直线的方程．
18.【答案】解：由
所以．
因为
所以
由得：
因为，所以，所以，
所以，所以．
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以
，
又
由得：
．
所以．
【解析】本题考查等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的通项公式，错位相减法求和，数列与不等式，属于中档题．
由等差数列的通项公式与求和公式求得，即可得，由和结合等比数列的通项公式可得；
由错位相减法可得结果．
19.【答案】解：方法一：建立空间直角坐标系如图所示，
，，，，，，，
则，，．
设平面的一个法向量为，
．
设点到平面的距离为
由．
方法二：设点到平面的距离为，
因为点到平面的距离与点到平面的距离相等，
所以求点到平面的距离等价求点到平面的距离．
在正三棱柱中，平面，平面，
所以，由点为的中点，可得，
，，平面
所以平面，平面，所以
由得：，
即
所以点到平面的距离为
假设线段上存在点，使得平面，
设，，因为，所以，
，，，
设平面的一个法向量为，
由，即
由知平面的一个法向量为，
因为平面平面，
所以，
所以当点为中点时，平面平面．
【解析】本题考查点到平面距离的求法，面面垂直的向量表示，属于中档题
方法一：建立空间直角坐标系，根据点到平面距离的向量求法求解即可；
方法二：利用等体积法即可求解；
求出两个平面的法向量，根据空间向量的夹角公式求解即可．
20.【答案】【解析】因为焦距为，则，
法一：由题意可知：，解得，
椭圆的标准方程为．
法二：设椭圆的左右焦点坐标分别为则，
则，
，又
椭圆的标准方程为．
由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为：，设，
由．
又
由韦达定理得：，．
则
．
则
解得：．
即直线的方程为：．
【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系及其应用。
法一：将点代入椭圆方程，求出，即可得到答案；法二：根据椭圆的定义求出，进而求出，即可得到椭圆的方程；
设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理和直线的斜率，即可求解。
21.【答案】解：因为平面，
则直线在平面上的射影为直线
所以即为与平面所成角，
所以
设，则，在中，由，
即，又且，即，
所以．
因为平面，面，所以．
取的中点，连接，又为的中点，则是的中位线，则
所以，，又，，
所以面，
故即为直线与平面所成的角．
在中，，，所以，
又，所以
由平面，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴、轴，以平面内过垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，
在平面内过点作于点，
中，，
中，，
则，，，
，．
设平面的一个法向量为
由可得，取，可得，
易得平面的一个法向量为．
，
所以二面角的正弦值为．
【解析】本题考查线面角，二面角的求解，属于中档题．
由题意可得即为与平面所成角，求得，证得面，可得即为直线与平面所成的角，求解即可；
以为坐标原点，分别以，所在直线为轴、轴，以平面内过垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值．
22.【答案】抛物线的焦点为，则，
又因为椭圆的四个项点所围成菱形的面积为，则
椭圆的标准方程为．
法一：假设存在一点，使得，
设直线方程为：，设点，，
由，得．
则，，
又，即．
且．
因为 ，所以，
代入椭圆方程得到，解得．
又因为，所以不存在．
法二，假设椭圆上存在一点，使得，
当直线的斜率不存在的时候，直线与椭圆没有交点，舍去：
当直线的斜率存在时，设直线方程为：，设点，，
由，得：．
则，，
且，即．
且．
因为 ，所以．
代入椭圆方程得到，解得．
，
又因为，所以不存在．
【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系及其应用。
根据抛物线的交点求出的值，结合菱形的面积求出的值，即可得到方程；
法一：假设存在一点，使得，设直线方程为：，设点，，联立直线和椭圆方程，根据向量的加法和韦达定理得到的坐标，代入椭圆方程即可得到结论；
法二：假设椭圆上存在一点，使得，
当直线的斜率不存在的时候，直线与椭圆没有交点，舍去：
当直线的斜率存在时，设直线方程为：，设点，，联立直线和椭圆方程，根据向量的加法和韦达定理得到的坐标，代入椭圆方程即可得到结论；
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