2022-2023学年河南省驻马店市高一下学期期末数学试题（含解析）

2022-2023学年河南省驻马店市高一下学期期末数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.与的值最接近的数是
( )
A. B. C. D.
3.已知矩形的对角线相交于点，则( )
A. B. C. D.
4.用斜二测画法画的直观图如图所示，其中，，则中边上的中线长为
( )
A. B. C. D.
5.在复平面内，角的顶点为坐标原点，始边为实轴非负半轴，终边经过复数所对应的点，则( )
A. B. C. D.
6.我国人脸识别技术处于世界领先地位所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法假设二维空间中有两个点为坐标原点，余弦相似度为向量夹角的余弦值，记作，余弦距离为已知，若的余弦距离为的余弦距离为，则( )
A. B. C. D.
7.直角梯形，满足，，，现将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值时其外接球的体积为
( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知为复数，则的值可能是
( )
A. B. C. D.
10.在中，，则下列结论错误的是
( )
A. 若，则有两解 B. 若，则为钝角三角形
C. 若只有一解，则 D. 若为直角三角形，则
11.如图，棱长为的正方体中，点在线段上运动，则
( )
A. 异面直线与所成角的范围为
B. 二面角不在点的余弦值为
C. 点到平面的距离为
D. 存在一点，使得直线与平面所成的角为
12.在中，为上一点，，若的外心恰好在上，则
( )
A. B.
C. D. 在方向上的投影向量为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知复数，则 ．
14.九章算术中将正四梭台上下底面均为正方形称为“方亭”现有一方亭，高为，上底面边长为，下底面边长为，则此方亭的表面积为 ．
15.已知函数定义域为，满足，则 ．
16.在中，所对的角分别为，若，则面积的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知是两个不共线的向量，为单位向量，．
若__________，求；在；两个条件中任选一个填在__________上，并作答．
是否存在实数，使得与共线，若存在求出；若不存在，说明理由，
18.本小题分
如图，四棱锥中，底面为菱形，为等边三角形，平面底面为的中点，为线段上的动点．

证明：；
当平面时，求三棱锥的体积．
19.本小题分
已知．
求证：；
若关于的方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围．
20.本小题分
如图，，，三地在以为圆心的圆形区域边界上，，两地间的距离为公里，两地间的距离为公里，是圆形区域外一景点，．

求圆的半径；
若一汽车从处出发，以每小时公里的速度沿公路行驶到处需要多少小时？
21.本小题分
如图，直三棱柱中，，分别是棱，的中点，点在棱上，已知，，．
求证：平面；
设点在棱上，当为何值时，平面平面．
22.本小题分
已知向量．
当时，函数取得最大值，求的最小值及此时的解析式；
现将函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象已知是函数与图象上连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查点、线位置关系，为基础题．
结合平面的基本事实及其推论的应用判断即可
【解答】
解：直线上有无数个点，直线可看成点的集合，
点 在直线 上，可记作 ，
直线 在平面 内，可记作 ，
故选B ．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查诱导公式，属于简单题．
利用诱导公式及特殊角的三角函数值判断即可．
【解答】
解：
．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的运算，属于基础题．
利用相等向量结合平面向量的减法可化简向量 ．
【解答】
解：在矩形 中， ，又因为 ，则 ，
因此， ．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查投影与斜二测画法
作出 的原图形，结合三角形的几何性质可求得 中 边上的中线长．
【解答】
解：在直观图中， ，且 ，则 ，故 ，
又因为 ，则 ，可得 ，
故 为等腰直角三角形，所以， ，故 轴，
依据题意，作出 的原图形如下图所示：

延长 至点 ，使得 ，则 为 的中点，
由题意可知， ， ， ，且 ，
所以， 且 ，故四边形 为平行四边形，则 ，
取 的中点 ，连接 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的代数表示及其几何意义
根据题意求出角 的终边经过的点的坐标，然后利用任意角的三角函数的定义可求得结果．
【解答】
解：复数 在复平面内所对应的点为 ，
因为在复平面内，角 的顶点为坐标原点，始边为实轴非负半轴，终边经过点 ，
所以 ，
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用向量数量积求夹角，属于中档题．
由题设 ， ， ，利用向量夹角公式求得 、 ，根据新定义及正余弦齐次运算求目标式的值．
【解答】
解：由 ， ， ，
，
，
所以 ，故 ，
则 ，
整理得 ．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了棱锥的体积，外接球的体积，属于中档题．
由已知可得当平面 平面 时，三棱锥体积最大，根据线面位置关系可得确定球心及半径，即可得解．
【解答】
解：
由已知得 为定值，则当平面 平面 时，三棱锥体积取最大值，
由四边形 为直角梯形， ， ， ，
则 ，
为直角三角形，
，平面 ，
平面 ，又 平面 ，
故 ，
又 ，且 ，平面 ，
平面 ，平面 ，
， 为直角三角形，设的中点为，
故 ，
所以 为外接球球心，半径 ，
外接球体积 ，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用正弦函数的单调性解不等式，属于中档题．
根据三角恒等变换可化简为 ，当 时， 恒成立，进而将问题转化为 在 单调递减，利用正弦函数的单调性即可求解．
【解答】
解：
所以 得 ，
进而 ，
故 ，
由于对任意的 ，当 时， ， 恒成立，
不妨设 ，则问题转化成 在 单调递减，
所以 其中 ，解得 ，
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的乘法运算，共轭复数
设，则，从而可得把各选项分别代入，求解即可判断．
【解答】
解：设，则，则，，
所以．
对于，若，则，解得
所以，符合题意， A正确；
对于，若，则，解得
所以，符合题意， B正确；
对于，若，则，解得
所以，符合题意， C正确；
对于，若，则，解得
不存在， D错误．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用正弦定理判定三角形解的个数，考查利用正弦定理判断三角形的形状，属于一般题，根据正弦定理求出的值可判断；利用特殊值法结合正弦定理可以判断．
【解答】
解：若，由正弦定理可得，
因为，所以或，即有两解， A正确；
若，由正弦定理可得，不存在，错；
时，由正弦定理可得，
此时有一解，即“若只有一解，则”不正确，错；

时，由正弦定理可得，此时，三角形是直角三角形，
即“若为直角三角形，则”不正确，错；

故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二面角，点到面的距离，线面角的求解，属于中档题．
利用特殊点说明，取的中点，连接、，即为二面角不在点的平面角，即可判断，利用等体积法求出点到平面的距离，即可判断，连接，则为直线与平面所成的角，求出，即可判断．
【解答】
解：对于：当在点时，因为，
所以即为异面直线与所成角，
因为为等腰直角三角形，所以，故A错误；

对于：因为在线段上，所以平面不在点即为平面，
取的中点，连接、，
则，，
所以即为二面角不在点的平面角，
又，，
所以，
故二面角不在点的余弦值为，即B正确；

对于：因为且，所以为平行四边形，所以，
平面，平面，平面，
所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，
又为边长为的等边三角形，所以，
，
设点到平面的距离为，又，即，解得，
所以点到平面的距离为，故 C正确；

对于：因为平面，连接，
所以为直线与平面所成的角，
因为，所以，所以最大为，当且仅当在、时取得，
所以不存在点，使得直线与平面所成的角为，故 D错误．

故选：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查投影向量，向量的数量积的概念及其运算，利用余弦定理解三角形，利用正弦定理解三角形
由正弦定理即可得到，再由平面向量基本定理即可判断，由余弦定理即可求得，再由余弦定理即可判断，由平面向量数量积的运算律即可判断，由余弦定理结合投影向量的定义即可判断．
【解答】
解：

对于，因为的外心恰好在上，连接，且为等腰三角形，
在与中，由正弦定理可得，
，其中，，
两式相除可得，，
则
，故 A正确；
对于，设，则，在与中，由余弦定理可得，，
即，解得，
则，
在中，，故 C正确；
对于，因为，
则
，故 B错误；
对于，在中，由余弦定理可得，
，
则在方向上的投影向量为．
故D正确；
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查复数的乘法运算，属于基础题．
根据题意，先求得 与 ，将复数 化简，然后结合复数的乘法运算即可得到结果．
【解答】
解：由题意可得， ，
，
则 ，
所以 ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查棱台的侧面积和表面积
先利用勾股定理求出正四棱台侧面的高，再根据多面体的表面积公式即可得解．
【解答】
解：如图所示，
分别是正四梭台不相邻两个侧面的高， ，
则 即为正四梭台的高， ，
由 ，得 ，
所以此方亭的表面积为 ．
故答案为： ．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查周期函数，考查函数值的求解，属于中档题．
根据题意，由条件可得函数 为周期函数，且周期为 ，然后求得 即可得到结果．
【解答】
解：因为 ， ，
令 ，可得 ，
所以 ， ，
，
所以 ，即函数 为周期函数，且周期为 ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，
则 ．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题．
根据正弦定理结合三角恒等变换化简可得 ，再根据余弦定理可得 ，进而根据三角形面积公式与基本不等式，结合三角恒等变换求解最值即可．
【解答】
解：由正弦定理可得 ，即 ，
故 ，
故 ，解得 ．
由余弦定理 ，
即 ，解得 ．
又由基本不等式可得 ，当且仅当 时取等号．
故 ，即 ，当且仅当 时取等号，故 ．
故 ，
又 ，故当 时， 取最大值 ，此时 ．
17.【答案】解：
选
由 ，得 ，即 ，
由 ，得 ，
因为 ，所以 ，
选
由 ，即 ，
由 ， ，得 ，
所以 ，
若 与 共线，
则存在实数 ，使得
由向量 是两个不共线，即
也即 ，显然不存在实数 ．

【解析】本题考查利用向量的数量积求向量的模，向量的数量积与向量的垂直关系，平面向量共线定理
若选，则由 ，得 可求出 ，再由 可求得结果，若选，则对 两边平方，化简可求得 ，再由 可求得结果；
若 与 共线，则由共线向量定理得存在实数 ，使得 ，然后列方程组求解即可．
18.【答案】解：
连接 ．
由 为等边三角形， 为 的中点，故 ，
又因为 ，
所以 ，
再由 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
连接 ，因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
因为 ， 公共边，所以 ≌ ，所以 ，
因为四边形 为菱形， 为等边三角形， ，
所以 ，
所以 和 是全等的等边三角形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 为 中点，
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，，
故 平面 ，
根据等体积法
．


【解析】本题考查利用线面垂和面面垂直证明线线垂直，棱锥的体积，属于中档题．
连接 ，则由等腰三角形的性质可得 ，而 ，所以 ，然后由线面垂直的判定可得 平面 ，再利用线面垂直的的性质得结论；
当 平面 时，可证得 为 中点，再由面面垂直的性质可得 平面 ，然后利用等体积法可求得三棱锥 的体积．
19.【答案】解：方法一：
由 ，得 ．
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，或 ，
解得 ，或 舍去，
所以 ，
方法二：
由 ，且函数 单调递增
所以 ，即 ，
由知，方程 可化为 ，
即 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，
在同一坐标系中作出 的图象，
因为关于 的方程 有两个不相等的实数根，
由图象知： ，
故实数的取值范围为．

【解析】本题考查逆用两角和与差的正弦公式，二倍角余弦公式，正弦型函数的零点
方法一：将已知等式中正切化为正弦比余弦，然后化简变形可证得结论；方法二：利用二倍角公式将已知等式化为 ，再结合正切函数的性质可得结论；
将方程化简可得 ，令 ，然后在同一坐标系中作出 的图象，结合图象可求得结果．
20.【答案】解：由题意，设圆的半径为 ，
在 中， ，
由余弦定理得 ，
，
由正弦定理得 ，
解得： ，
故求圆的半径为公里．
由题意及得
在 中， ，
故 ，
在 中， ，
由正弦定理知 ，

即 ，
在 中， ，
，
由余弦定理，得
由一汽车从 处出发，以每小时公里的速度沿公路 行驶到 处，
故所需时间： ，
即需要小时

【解析】本题考查利用正弦定理求三角形外接圆半径，考查利用正弦定理、余弦定理解决距离问题，属于一般题．
在 中利用余弦定理求出 ，再利用正弦定理可求出圆 的半径；
在 中求出 ，在 中利用正弦定理求出 ，然后在 中可求出 ，再利用余弦定理可求出 ，然后除以速度可得结果．
21.【答案】解：证明：连接交于，连接．
因为，为 的中线，
则为 的重心，
故 ，
故 ，
因为平面，平面，
所以 平面；
当时，平面平面．
证明如下：因为，为的中点，
故AD在直三棱柱中，
平面，平面，
故平面平面．
又平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
故AD．
又，，，，
故 ≌ ．
易证，又，，平面，
故C平面．
又平面，
故平面平面．

【解析】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．
连接交于，连接因为，为中线，所以为的重心， ，由此能够证明 ，进而可得 平面；．
当时，平面平面在直三棱柱中，先证出平面再证明当时，平面平面．
22.【答案】解：
，
当 时，函数 取得最大值，即 ，
解得 ，且 ，则 ，
此时 ；
由函数 的图象沿 轴向左平移 个单位，
得到 ，
由知 ，作出两个函数图象，如图：

为连续三交点，不妨设 在 轴下方， 为 的中点，
由对称性可得 是以 为顶角的等腰三角形，
根据图像可得 ，即 ，
由两个图像相交可得 ，即 ，化简得 ，
再结合 ，解得 ，
故 ，可得 ，
当 为锐角三角形时，只需要 即可，
由 ，得，
故 的取值范围为 ．

【解析】本题考查余弦型函数的性质，考查余弦型函数的图像变换，属于一般题．
根据数量积的坐标公式结合辅助角公式化简，再根据余弦函数的最值即可得解；
先根据平移变换得到函数 的解析式，作出两个函数的图象，不妨设 在 轴下方， 为 的中点，根据 ，求得 ，再由 为锐角三角形时，只需要 即可，即可得解．
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