14.3.1 提公因式法同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 14.3.1 提公因式法同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 998.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-10 08:56:10 | ||
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文档简介
14.3因式分解
14.3.1 提公因式法
【知识重点】
知识点1 因式分解
1. 定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2. 整式乘法与因式分解的关系
(1)整式乘法与因式分解是两种互逆的变形.
即：多项式 整式的积.
(2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性.
特别解读
①因式分解的对象是多项式，结果是整式的积.
②因式分解是恒等变形，形式改变但值不改变.
③因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分解为止.
知识点2 公因式
1. 定义 一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式.
特别解读
①公因式必须是多项式中每一项都含有的因式. 只在某个或某些项中含有而其他项中没有的因式不能成为公因式的一部分.
②公因式可以是数，也可以是单项式或多项式.
2. 公因式的确定
(1)确定公因式的系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数；
(2)确定字母及字母的指数：取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各项相同字母的指数取其中次数最低的；
(3)若多项式各项中含有相同的多项式因式(相反的多项式因式化为相同的因式)，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式.
知识点3 用提公因式法分解因式
1. 定义 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
用字母表示为：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).
特别解读
①提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.
②提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商.
2. 提公因式法的一般步骤
(1)找出公因式，就是找出各项都含有的公共因式；
(2)确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所得的商；
(3)写成积的形式.
【经典例题】
【例1】下列变形中从左到右属于因式分解的有( )
① 8xy3＝2xy·4y2； ② x2＋1＝x；
③(x＋5)(x－5)＝x2－25；④ x2＋2x－3＝x(x＋2)－3；
⑤ x2y＋xy2＝xy(x＋y).
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
【例2】下列因式分解正确的是( )
A. x3y－2x2y＋xy＝xy(x2－2x)
B. x2－x＋＝
C. x2－2x＋4＝(x－2)2
D. 4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)
解题秘方：根据因式分解与整式乘法之间的关系进行判断.
【例3】仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知把二次三项式x2－4x＋m分解因式后有一个因式是x＋3，求其另一个因式及m的值.
解：设另一个因式为x＋n，则x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n.
∴ 解得
∴另一个因式为x－7，m的值为－21.
解题秘方：利用因式分解与整式乘法是互逆变形，可以将因式分解的结果利用整式乘法算出多项式，并与已知多项式比较解决问题.
问题：
(1)若二次三项式x2－5x＋6可分解为(x－2 )(x＋a)，则a＝_________；
(2)若二次三项式2x2＋bx－5 可分解为(2x－1 )(x＋5)，则b＝________；
(3)仿照以上方法解答下面的问题：已知把二次三项式 2x2＋5x－k分解因式后有一个因式为2x－3，求其另一个因式及k的值.
【例4】指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y－3ay＋6y； (2)4xy3－8x3y2；
(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；
(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
解题秘方：紧扣公因式的定义求解.
【例5】将下列各式分解因式：
(1)6x3y2－8xy3z； (2)－4a3b2＋12a2b－4ab.
解题秘方：紧扣提公因式法的步骤分解因式.
解法提醒：1.当多项式首项系数是负数时，一般应先提出“－”号，但要注意，此时括号内各项都要改变符号.
2. 4ab与公因式相同，提取公因式后，此项为“1”，此时容易漏掉“1”这一项而导致错误．
【同步练习】
一、选择题
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A．x2＋2x－1＝(x－1)2 B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
C．x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1) D．ax2－a＝a(x2－1)
2．下列各式中，没有公因式的是( )
A．3x－2与6x2－4x B．ab－ac与ab－bc
C．2(a－b)2与3(b－a)3 D．mx－my与ny－nx
3．多项式4a3b2＋8ab3c的公因式是( )
A．4ab B．4a3b3 C．ab2 D．4ab2
4．下列各多项式中能用提公因式法分解因式的是( )
A．x2＋2x B．x2＋y2 C．x2－xy＋y2 D．x2－y
5．把2(x－3)＋x(3－x)提取公因式(x－3)后，另一个因式是( )
A．x－2 B．x＋2 C．2－x D．－2－x
6．把－a(x－y)－b(y－x)＋c(x－y)分解因式，正确的结果是( )
A．(x－y)(－a－b＋c) B．(y－x)(a－b－c)
C．－(x－y)(a－b＋c) D．－(y－x)(a＋b－c)
7．若多项式x2＋mx－28可因式分解为(x－4)(x＋7)，则m的值为( )
A．－3 B．11 C．－11 D．3
8．把多项式a3b4－abnc因式分解时，提取的公因式是ab4，则n的值可能为( )
A．5 B．3 C．2 D．1
9．下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( )
A．x2－y B．x2－2x C．x2＋y2 D．x2－xy＋y2
10．把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1)后，余下的部分是( )
A．m＋1 B．2m C．2 D．m＋2
11．若m－n＝－2，则(m－n)2－3m＋3n的值是 ( )
A．－5 B．－2 C．10 D．－10
12．分解因式(a－b)3＋a(a－b)2＋b(b－a)2应等于( )
A．2(b－a)2 B．－2b(b－a)2 C．－2a(b－a)2 D．2a(b－a)2
二、填空题
13．分解因式：
(1) 3x＋6＝________________；
(2) ab＋2b＝___________；
(3) a2－5a＝__________；
(4) 3a2－21ab＝___________________；
(5)【2022·长春】m2＋3m＝____________；
(6)【2022·常州】x2y＋xy2＝____________.
14．已知a＋b＝4，ab＝1，则a2b＋ab2＝____．
15．已知(2x－21)(3x－7)－(3x－7)(x－13)可分解因式为(3x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则a＋3b＝_________，ab＝______.
16．计算：4.28×31＋42.8×2.9＋8.56×20＝_____.
17．若实数x满足x2－x－1＝0，则x3－2x2＋2 023＝________.
三、解答题
18．把下列各式分解因式：
(1)75a3b5－25a2b4；
(2)－4m3＋16m2－26m；
(3)m(a－3)＋2(3－a)．
19．把下列各式分解因式：
(1)75a3b5－25a2b4；
(2)－4m3＋16m2－26m；
(3)m(a－3)＋2(3－a)．
20．已知6x－3y－1＝0，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值．
21．【2022·南充】先化简，再求值：(x＋2)·(3x－2)－2x(x＋2)，其中x＝－1.
22．【2023·东营胜利一中月考】阅读理解：
把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式．
解法一：am＋an＋bm＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)．
解法二：am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(m＋n)(a＋b)．
(1)分解因式：m2x－3m＋mnx－3n；
(2)已知a，b，c为△ABC的三边长，且a3－a2b＋5ac－5bc＝0，试判断△ABC的形状．
【提示】(2)因式分解后可得出各边长之间的关系，从而判断△ABC的形状．
23．阅读下面分解因式的过程，再回答问题：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.
(1)上述分解因式的方法是_______________，共应用了___次；
(2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2 023，则需应用上述方法_____________次，结果是___________________；
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数).
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参考答案
【经典例题】
【例1】下列变形中从左到右属于因式分解的有( D )
① 8xy3＝2xy·4y2； ② x2＋1＝x；
③(x＋5)(x－5)＝x2－25；④ x2＋2x－3＝x(x＋2)－3；
⑤ x2y＋xy2＝xy(x＋y).
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
解：∵①中等号的左边不是多项式，∴①不是因式分解；
∵②中不是整式，∴ x2＋1＝x不是因式分解；
③是整式的乘法，不是因式分解；
∵④中等号右边不是积的形式，∴④不是因式分解；
⑤符合因式分解的定义，是因式分解.
【例2】下列因式分解正确的是( B )
A. x3y－2x2y＋xy＝xy(x2－2x)
B. x2－x＋＝
C. x2－2x＋4＝(x－2)2
D. 4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)
解题秘方：根据因式分解与整式乘法之间的关系进行判断.
解：利用整式的乘法法则将各选项中等式的右边展开，与等式的左边相比较，左右两边相同的只有选项B.
【例3】仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知把二次三项式x2－4x＋m分解因式后有一个因式是x＋3，求其另一个因式及m的值.
解：设另一个因式为x＋n，则x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n.
∴ 解得
∴另一个因式为x－7，m的值为－21.
解题秘方：利用因式分解与整式乘法是互逆变形，可以将因式分解的结果利用整式乘法算出多项式，并与已知多项式比较解决问题.
问题：
(1)若二次三项式x2－5x＋6可分解为(x－2 )(x＋a)，则a＝_________；
【答案】－3
(2)若二次三项式2x2＋bx－5 可分解为(2x－1 )(x＋5)，则b＝________；
【答案】9
(3)仿照以上方法解答下面的问题：已知把二次三项式 2x2＋5x－k分解因式后有一个因式为2x－3，求其另一个因式及k的值.
解：设另一个因式为x＋q，则2x2＋5x－k＝(2x－3)(x＋q)，
即2x2＋5x－k＝2x2＋(2q－3)x－3q，
∴解得
∴另一个因式为x＋4，k的值为12.
【例4】指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y－3ay＋6y； (2)4xy3－8x3y2；
(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；
(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
解题秘方：紧扣公因式的定义求解.
解：(1)中各项的公因式为3y；
(2)中各项的公因式为4xy2；
(3)中各项的公因式为(x－y)2；
(4)中各项的公因式为－9a2b.
【例5】将下列各式分解因式：
(1)6x3y2－8xy3z； (2)－4a3b2＋12a2b－4ab.
解题秘方：紧扣提公因式法的步骤分解因式.
解：(1)6x3y2－8xy3z＝2xy2·3x2－2xy2·4yz
＝2xy2(3x2－4yz)；
(2)－4a3b2＋12a2b－4ab＝－(4a3b2－12a2b＋4ab)
＝－(4ab·a2b－4ab·3a＋4ab·1)
＝－4ab(a2b－3a＋1).
解法提醒：1.当多项式首项系数是负数时，一般应先提出“－”号，但要注意，此时括号内各项都要改变符号.
2. 4ab与公因式相同，提取公因式后，此项为“1”，此时容易漏掉“1”这一项而导致错误．
【同步练习】
一、选择题
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( C )
A．x2＋2x－1＝(x－1)2 B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
C．x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1) D．ax2－a＝a(x2－1)
2．下列各式中，没有公因式的是( B )
A．3x－2与6x2－4x B．ab－ac与ab－bc
C．2(a－b)2与3(b－a)3 D．mx－my与ny－nx
3．多项式4a3b2＋8ab3c的公因式是( D )
A．4ab B．4a3b3 C．ab2 D．4ab2
4．下列各多项式中能用提公因式法分解因式的是( A )
A．x2＋2x B．x2＋y2 C．x2－xy＋y2 D．x2－y
5．把2(x－3)＋x(3－x)提取公因式(x－3)后，另一个因式是( C )
A．x－2 B．x＋2 C．2－x D．－2－x
6．把－a(x－y)－b(y－x)＋c(x－y)分解因式，正确的结果是( B )
A．(x－y)(－a－b＋c) B．(y－x)(a－b－c)
C．－(x－y)(a－b＋c) D．－(y－x)(a＋b－c)
7．若多项式x2＋mx－28可因式分解为(x－4)(x＋7)，则m的值为( D )
A．－3 B．11 C．－11 D．3
8．把多项式a3b4－abnc因式分解时，提取的公因式是ab4，则n的值可能为( A )
A．5 B．3 C．2 D．1
9．下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( B )
A．x2－y B．x2－2x C．x2＋y2 D．x2－xy＋y2
10．把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1)后，余下的部分是( D )
A．m＋1 B．2m C．2 D．m＋2
11．若m－n＝－2，则(m－n)2－3m＋3n的值是 ( C )
A．－5 B．－2 C．10 D．－10
12．分解因式(a－b)3＋a(a－b)2＋b(b－a)2应等于( D )
A．2(b－a)2 B．－2b(b－a)2 C．－2a(b－a)2 D．2a(b－a)2
二、填空题
13．分解因式：
(1) 3x＋6＝________________；
【答案】3(x＋2)
(2) ab＋2b＝___________；
【答案】b(a＋2)
(3) a2－5a＝__________；
【答案】a(a－5)
(4) 3a2－21ab＝___________________；
【答案】3a(a－7b)
(5)【2022·长春】m2＋3m＝____________；
【答案】m(m＋3)
(6)【2022·常州】x2y＋xy2＝____________.
【答案】xy(x＋y)
14．已知a＋b＝4，ab＝1，则a2b＋ab2＝____．
【答案】4
15．已知(2x－21)(3x－7)－(3x－7)(x－13)可分解因式为(3x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则a＋3b＝_________，ab＝______.
【答案】－31 56
16．计算：4.28×31＋42.8×2.9＋8.56×20＝_____.
【答案】428
17．若实数x满足x2－x－1＝0，则x3－2x2＋2 023＝________.
【答案】2022
三、解答题
18．把下列各式分解因式：
(1)75a3b5－25a2b4；
解：原式＝25a2b4(3ab－1)．
(2)－4m3＋16m2－26m；
解：原式＝－2m(2m2－8m＋13)．
(3)m(a－3)＋2(3－a)．
解：原式＝m(a－3)－2(a－3)
＝(a－3)(m－2)．
19．把下列各式分解因式：
(1)75a3b5－25a2b4；
解：原式＝25a2b4(3ab－1)．
(2)－4m3＋16m2－26m；
解：原式＝－2m(2m2－8m＋13)．
(3)m(a－3)＋2(3－a)．
解：原式＝m(a－3)－2(a－3)
＝(a－3)(m－2)．
20．已知6x－3y－1＝0，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值．
解：∵6x－3y－1＝0，
∴2x－y＝.
当2x－y＝，xy＝2时，
原式＝(xy)3·(2x－y)＝23·＝.
21．【2022·南充】先化简，再求值：(x＋2)·(3x－2)－2x(x＋2)，其中x＝－1.
解：原式＝(x＋2)(3x－2－2x)＝(x＋2)(x－2)＝x2－4.
当x＝－1时，原式＝(－1)2－4＝－2.
22．【2023·东营胜利一中月考】阅读理解：
把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式．
解法一：am＋an＋bm＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)．
解法二：am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(m＋n)(a＋b)．
(1)分解因式：m2x－3m＋mnx－3n；
解：原式＝m(mx－3)＋n(mx－3)＝(mx－3)(m＋n)．
(2)已知a，b，c为△ABC的三边长，且a3－a2b＋5ac－5bc＝0，试判断△ABC的形状．
【提示】(2)因式分解后可得出各边长之间的关系，从而判断△ABC的形状．
∵a3－a2b＋5ac－5bc＝0，∴a2(a－b)＋5c(a－b)＝0.
∴(a－b)(a2＋5c)＝0.
∵a，b，c为△ABC的三边长，∴a2＋5c≠0.
∴a－b＝0，即a＝b.∴△ABC是等腰三角形．
23．阅读下面分解因式的过程，再回答问题：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.
(1)上述分解因式的方法是_______________，共应用了___次；
【答案】提公因式法 2
(2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2 023，则需应用上述方法_____________次，结果是___________________；
【答案】2 023 (1＋x)2 024
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数).
解：(3)原式＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＋x·(x＋1)3＋…＋x(x＋1)n
＝(1＋x)2(1＋x)＋x(x＋1)3＋…＋x(x＋1)n
＝(1＋x)3＋x(x＋1)3＋…＋x(x＋1)n
＝(x＋1)n＋x(x＋1)n
＝(x＋1)n＋1
14.3.1 提公因式法
【知识重点】
知识点1 因式分解
1. 定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2. 整式乘法与因式分解的关系
(1)整式乘法与因式分解是两种互逆的变形.
即：多项式 整式的积.
(2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性.
特别解读
①因式分解的对象是多项式，结果是整式的积.
②因式分解是恒等变形，形式改变但值不改变.
③因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分解为止.
知识点2 公因式
1. 定义 一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式.
特别解读
①公因式必须是多项式中每一项都含有的因式. 只在某个或某些项中含有而其他项中没有的因式不能成为公因式的一部分.
②公因式可以是数，也可以是单项式或多项式.
2. 公因式的确定
(1)确定公因式的系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数；
(2)确定字母及字母的指数：取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各项相同字母的指数取其中次数最低的；
(3)若多项式各项中含有相同的多项式因式(相反的多项式因式化为相同的因式)，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式.
知识点3 用提公因式法分解因式
1. 定义 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
用字母表示为：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).
特别解读
①提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.
②提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商.
2. 提公因式法的一般步骤
(1)找出公因式，就是找出各项都含有的公共因式；
(2)确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所得的商；
(3)写成积的形式.
【经典例题】
【例1】下列变形中从左到右属于因式分解的有( )
① 8xy3＝2xy·4y2； ② x2＋1＝x；
③(x＋5)(x－5)＝x2－25；④ x2＋2x－3＝x(x＋2)－3；
⑤ x2y＋xy2＝xy(x＋y).
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
【例2】下列因式分解正确的是( )
A. x3y－2x2y＋xy＝xy(x2－2x)
B. x2－x＋＝
C. x2－2x＋4＝(x－2)2
D. 4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)
解题秘方：根据因式分解与整式乘法之间的关系进行判断.
【例3】仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知把二次三项式x2－4x＋m分解因式后有一个因式是x＋3，求其另一个因式及m的值.
解：设另一个因式为x＋n，则x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n.
∴ 解得
∴另一个因式为x－7，m的值为－21.
解题秘方：利用因式分解与整式乘法是互逆变形，可以将因式分解的结果利用整式乘法算出多项式，并与已知多项式比较解决问题.
问题：
(1)若二次三项式x2－5x＋6可分解为(x－2 )(x＋a)，则a＝_________；
(2)若二次三项式2x2＋bx－5 可分解为(2x－1 )(x＋5)，则b＝________；
(3)仿照以上方法解答下面的问题：已知把二次三项式 2x2＋5x－k分解因式后有一个因式为2x－3，求其另一个因式及k的值.
【例4】指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y－3ay＋6y； (2)4xy3－8x3y2；
(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；
(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
解题秘方：紧扣公因式的定义求解.
【例5】将下列各式分解因式：
(1)6x3y2－8xy3z； (2)－4a3b2＋12a2b－4ab.
解题秘方：紧扣提公因式法的步骤分解因式.
解法提醒：1.当多项式首项系数是负数时，一般应先提出“－”号，但要注意，此时括号内各项都要改变符号.
2. 4ab与公因式相同，提取公因式后，此项为“1”，此时容易漏掉“1”这一项而导致错误．
【同步练习】
一、选择题
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A．x2＋2x－1＝(x－1)2 B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
C．x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1) D．ax2－a＝a(x2－1)
2．下列各式中，没有公因式的是( )
A．3x－2与6x2－4x B．ab－ac与ab－bc
C．2(a－b)2与3(b－a)3 D．mx－my与ny－nx
3．多项式4a3b2＋8ab3c的公因式是( )
A．4ab B．4a3b3 C．ab2 D．4ab2
4．下列各多项式中能用提公因式法分解因式的是( )
A．x2＋2x B．x2＋y2 C．x2－xy＋y2 D．x2－y
5．把2(x－3)＋x(3－x)提取公因式(x－3)后，另一个因式是( )
A．x－2 B．x＋2 C．2－x D．－2－x
6．把－a(x－y)－b(y－x)＋c(x－y)分解因式，正确的结果是( )
A．(x－y)(－a－b＋c) B．(y－x)(a－b－c)
C．－(x－y)(a－b＋c) D．－(y－x)(a＋b－c)
7．若多项式x2＋mx－28可因式分解为(x－4)(x＋7)，则m的值为( )
A．－3 B．11 C．－11 D．3
8．把多项式a3b4－abnc因式分解时，提取的公因式是ab4，则n的值可能为( )
A．5 B．3 C．2 D．1
9．下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( )
A．x2－y B．x2－2x C．x2＋y2 D．x2－xy＋y2
10．把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1)后，余下的部分是( )
A．m＋1 B．2m C．2 D．m＋2
11．若m－n＝－2，则(m－n)2－3m＋3n的值是 ( )
A．－5 B．－2 C．10 D．－10
12．分解因式(a－b)3＋a(a－b)2＋b(b－a)2应等于( )
A．2(b－a)2 B．－2b(b－a)2 C．－2a(b－a)2 D．2a(b－a)2
二、填空题
13．分解因式：
(1) 3x＋6＝________________；
(2) ab＋2b＝___________；
(3) a2－5a＝__________；
(4) 3a2－21ab＝___________________；
(5)【2022·长春】m2＋3m＝____________；
(6)【2022·常州】x2y＋xy2＝____________.
14．已知a＋b＝4，ab＝1，则a2b＋ab2＝____．
15．已知(2x－21)(3x－7)－(3x－7)(x－13)可分解因式为(3x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则a＋3b＝_________，ab＝______.
16．计算：4.28×31＋42.8×2.9＋8.56×20＝_____.
17．若实数x满足x2－x－1＝0，则x3－2x2＋2 023＝________.
三、解答题
18．把下列各式分解因式：
(1)75a3b5－25a2b4；
(2)－4m3＋16m2－26m；
(3)m(a－3)＋2(3－a)．
19．把下列各式分解因式：
(1)75a3b5－25a2b4；
(2)－4m3＋16m2－26m；
(3)m(a－3)＋2(3－a)．
20．已知6x－3y－1＝0，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值．
21．【2022·南充】先化简，再求值：(x＋2)·(3x－2)－2x(x＋2)，其中x＝－1.
22．【2023·东营胜利一中月考】阅读理解：
把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式．
解法一：am＋an＋bm＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)．
解法二：am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(m＋n)(a＋b)．
(1)分解因式：m2x－3m＋mnx－3n；
(2)已知a，b，c为△ABC的三边长，且a3－a2b＋5ac－5bc＝0，试判断△ABC的形状．
【提示】(2)因式分解后可得出各边长之间的关系，从而判断△ABC的形状．
23．阅读下面分解因式的过程，再回答问题：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.
(1)上述分解因式的方法是_______________，共应用了___次；
(2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2 023，则需应用上述方法_____________次，结果是___________________；
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数).
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参考答案
【经典例题】
【例1】下列变形中从左到右属于因式分解的有( D )
① 8xy3＝2xy·4y2； ② x2＋1＝x；
③(x＋5)(x－5)＝x2－25；④ x2＋2x－3＝x(x＋2)－3；
⑤ x2y＋xy2＝xy(x＋y).
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
解：∵①中等号的左边不是多项式，∴①不是因式分解；
∵②中不是整式，∴ x2＋1＝x不是因式分解；
③是整式的乘法，不是因式分解；
∵④中等号右边不是积的形式，∴④不是因式分解；
⑤符合因式分解的定义，是因式分解.
【例2】下列因式分解正确的是( B )
A. x3y－2x2y＋xy＝xy(x2－2x)
B. x2－x＋＝
C. x2－2x＋4＝(x－2)2
D. 4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)
解题秘方：根据因式分解与整式乘法之间的关系进行判断.
解：利用整式的乘法法则将各选项中等式的右边展开，与等式的左边相比较，左右两边相同的只有选项B.
【例3】仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知把二次三项式x2－4x＋m分解因式后有一个因式是x＋3，求其另一个因式及m的值.
解：设另一个因式为x＋n，则x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n.
∴ 解得
∴另一个因式为x－7，m的值为－21.
解题秘方：利用因式分解与整式乘法是互逆变形，可以将因式分解的结果利用整式乘法算出多项式，并与已知多项式比较解决问题.
问题：
(1)若二次三项式x2－5x＋6可分解为(x－2 )(x＋a)，则a＝_________；
【答案】－3
(2)若二次三项式2x2＋bx－5 可分解为(2x－1 )(x＋5)，则b＝________；
【答案】9
(3)仿照以上方法解答下面的问题：已知把二次三项式 2x2＋5x－k分解因式后有一个因式为2x－3，求其另一个因式及k的值.
解：设另一个因式为x＋q，则2x2＋5x－k＝(2x－3)(x＋q)，
即2x2＋5x－k＝2x2＋(2q－3)x－3q，
∴解得
∴另一个因式为x＋4，k的值为12.
【例4】指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y－3ay＋6y； (2)4xy3－8x3y2；
(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；
(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
解题秘方：紧扣公因式的定义求解.
解：(1)中各项的公因式为3y；
(2)中各项的公因式为4xy2；
(3)中各项的公因式为(x－y)2；
(4)中各项的公因式为－9a2b.
【例5】将下列各式分解因式：
(1)6x3y2－8xy3z； (2)－4a3b2＋12a2b－4ab.
解题秘方：紧扣提公因式法的步骤分解因式.
解：(1)6x3y2－8xy3z＝2xy2·3x2－2xy2·4yz
＝2xy2(3x2－4yz)；
(2)－4a3b2＋12a2b－4ab＝－(4a3b2－12a2b＋4ab)
＝－(4ab·a2b－4ab·3a＋4ab·1)
＝－4ab(a2b－3a＋1).
解法提醒：1.当多项式首项系数是负数时，一般应先提出“－”号，但要注意，此时括号内各项都要改变符号.
2. 4ab与公因式相同，提取公因式后，此项为“1”，此时容易漏掉“1”这一项而导致错误．
【同步练习】
一、选择题
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( C )
A．x2＋2x－1＝(x－1)2 B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
C．x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1) D．ax2－a＝a(x2－1)
2．下列各式中，没有公因式的是( B )
A．3x－2与6x2－4x B．ab－ac与ab－bc
C．2(a－b)2与3(b－a)3 D．mx－my与ny－nx
3．多项式4a3b2＋8ab3c的公因式是( D )
A．4ab B．4a3b3 C．ab2 D．4ab2
4．下列各多项式中能用提公因式法分解因式的是( A )
A．x2＋2x B．x2＋y2 C．x2－xy＋y2 D．x2－y
5．把2(x－3)＋x(3－x)提取公因式(x－3)后，另一个因式是( C )
A．x－2 B．x＋2 C．2－x D．－2－x
6．把－a(x－y)－b(y－x)＋c(x－y)分解因式，正确的结果是( B )
A．(x－y)(－a－b＋c) B．(y－x)(a－b－c)
C．－(x－y)(a－b＋c) D．－(y－x)(a＋b－c)
7．若多项式x2＋mx－28可因式分解为(x－4)(x＋7)，则m的值为( D )
A．－3 B．11 C．－11 D．3
8．把多项式a3b4－abnc因式分解时，提取的公因式是ab4，则n的值可能为( A )
A．5 B．3 C．2 D．1
9．下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( B )
A．x2－y B．x2－2x C．x2＋y2 D．x2－xy＋y2
10．把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1)后，余下的部分是( D )
A．m＋1 B．2m C．2 D．m＋2
11．若m－n＝－2，则(m－n)2－3m＋3n的值是 ( C )
A．－5 B．－2 C．10 D．－10
12．分解因式(a－b)3＋a(a－b)2＋b(b－a)2应等于( D )
A．2(b－a)2 B．－2b(b－a)2 C．－2a(b－a)2 D．2a(b－a)2
二、填空题
13．分解因式：
(1) 3x＋6＝________________；
【答案】3(x＋2)
(2) ab＋2b＝___________；
【答案】b(a＋2)
(3) a2－5a＝__________；
【答案】a(a－5)
(4) 3a2－21ab＝___________________；
【答案】3a(a－7b)
(5)【2022·长春】m2＋3m＝____________；
【答案】m(m＋3)
(6)【2022·常州】x2y＋xy2＝____________.
【答案】xy(x＋y)
14．已知a＋b＝4，ab＝1，则a2b＋ab2＝____．
【答案】4
15．已知(2x－21)(3x－7)－(3x－7)(x－13)可分解因式为(3x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则a＋3b＝_________，ab＝______.
【答案】－31 56
16．计算：4.28×31＋42.8×2.9＋8.56×20＝_____.
【答案】428
17．若实数x满足x2－x－1＝0，则x3－2x2＋2 023＝________.
【答案】2022
三、解答题
18．把下列各式分解因式：
(1)75a3b5－25a2b4；
解：原式＝25a2b4(3ab－1)．
(2)－4m3＋16m2－26m；
解：原式＝－2m(2m2－8m＋13)．
(3)m(a－3)＋2(3－a)．
解：原式＝m(a－3)－2(a－3)
＝(a－3)(m－2)．
19．把下列各式分解因式：
(1)75a3b5－25a2b4；
解：原式＝25a2b4(3ab－1)．
(2)－4m3＋16m2－26m；
解：原式＝－2m(2m2－8m＋13)．
(3)m(a－3)＋2(3－a)．
解：原式＝m(a－3)－2(a－3)
＝(a－3)(m－2)．
20．已知6x－3y－1＝0，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值．
解：∵6x－3y－1＝0，
∴2x－y＝.
当2x－y＝，xy＝2时，
原式＝(xy)3·(2x－y)＝23·＝.
21．【2022·南充】先化简，再求值：(x＋2)·(3x－2)－2x(x＋2)，其中x＝－1.
解：原式＝(x＋2)(3x－2－2x)＝(x＋2)(x－2)＝x2－4.
当x＝－1时，原式＝(－1)2－4＝－2.
22．【2023·东营胜利一中月考】阅读理解：
把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式．
解法一：am＋an＋bm＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)．
解法二：am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(m＋n)(a＋b)．
(1)分解因式：m2x－3m＋mnx－3n；
解：原式＝m(mx－3)＋n(mx－3)＝(mx－3)(m＋n)．
(2)已知a，b，c为△ABC的三边长，且a3－a2b＋5ac－5bc＝0，试判断△ABC的形状．
【提示】(2)因式分解后可得出各边长之间的关系，从而判断△ABC的形状．
∵a3－a2b＋5ac－5bc＝0，∴a2(a－b)＋5c(a－b)＝0.
∴(a－b)(a2＋5c)＝0.
∵a，b，c为△ABC的三边长，∴a2＋5c≠0.
∴a－b＝0，即a＝b.∴△ABC是等腰三角形．
23．阅读下面分解因式的过程，再回答问题：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.
(1)上述分解因式的方法是_______________，共应用了___次；
【答案】提公因式法 2
(2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2 023，则需应用上述方法_____________次，结果是___________________；
【答案】2 023 (1＋x)2 024
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数).
解：(3)原式＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＋x·(x＋1)3＋…＋x(x＋1)n
＝(1＋x)2(1＋x)＋x(x＋1)3＋…＋x(x＋1)n
＝(1＋x)3＋x(x＋1)3＋…＋x(x＋1)n
＝(x＋1)n＋x(x＋1)n
＝(x＋1)n＋1