14.3.2.1 用平方差公式分解因式同步练习（含答案）

14.3因式分解
14.3.2　公式法
第1课时　用平方差公式分解因式
【知识重点】
知识点1 用平方差公式分解因式
1. 平方差公式法
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：a2－b2＝(a＋b)(a－b).
特别解读
①因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式.
②乘法公式中的平方差公式指的是符合两数和与两数差的积的条件后，结果写成平方差；而因式分解中的平方差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分解成两个数的和乘这两个数的差的形式.
2. 平方差公式的特点
(1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反；
(2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是这两个数的和，另一个二项式是这两个数的差.
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
一判：判断是否为平方差，若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项交换放在后面.
二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，其余都必须用括号括起来，表示一个整体.
三套：套用平方差公式进行分解.
四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最简的.
【经典例题】
【例1】分解因式：
(1)4x2－25y2； (2)(a＋2)2－1；
(3)－＋x4； (4)16(a－b)2－25(a＋b)2.
解题秘方：先确定平方差公式中的“a”和“b”，再运用平方差公式分解因式.
【同步练习】
一、选择题
1．把多项式4a2－1分解因式，结果正确的是(　　)
A．(4a＋1)(4a－1) B．(2a＋1)(2a－1) C．(2a－1)2 D．(2a＋1)2
2．下列四个多项式：①－a2＋b2；②－x2－y2；③1－(a－1)2；④x2－2xy＋y2.
其中能用平方差公式分解因式的有(　　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．【2023·兰州树人中学月考】下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．－m4－n4 B．－16x2＋y2 C．1.96－x2 D．a2－b2
4．一次课堂练习，小颖做了以下几道因式分解题，你认为她做得不够完整的是(　　)
A．x3－x＝x(x2－1) B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y)
C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m) D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)
5．分解因式：x3－4x＝(　　)
A．x(x2－4x) B．x(x＋4)(x－4) C．x(x＋2)(x－2) D．x(x2－4)
6．已知多项式a2＋b2＋M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是(　　)
A．2ab B．－2ab C．3b2 D．－5b2
7．下列各式分解因式：①(x－3)2－y2＝x2－6x＋9－y2；②x2－4y2＝(x＋4y)(x－4y)；③4x6－1＝(2x3＋1)(2x3－1)；④m4n2－9＝(m2n＋3)(m2n－3)；⑤－a2－b2＝(－a＋b)(－a－b).其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．【2023·金华青春中学模拟】分解因式的结果是(x＋y－z)(x－y＋z)的多项式是(　　)
A．x2－(y＋z)2 B．(x－y)2－z2 C．－(x－y)2＋z2 D．x2－(y－z)2
9．已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2＋bc＝b2＋ac，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
10．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2－b2＝ac－bc，则△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
11．【2022·荆门】对于任意实数a，b，a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)恒成立，则下列关系式正确的是(　　)
A．a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2) B．a3－b3＝(a＋b)(a2＋ab＋b2)
C．a3－b3＝(a－b)(a2－ab＋b2) D．a3－b3＝(a＋b)(a2＋ab－b2)
二、填空题
12．分解因式：
(1)【2022·深圳】a2－1＝______________；
(2)【2022·张家界】a2－25＝______________.
(3)【2022·常德】x3－9xy2＝_________________.
(4)【2022·哈尔滨】xy2－9x＝______________．
13．【2022·遵义】已知a＋b＝4，a－b＝2，则a2－b2的值为________．
14．若n为任意整数，(n＋11)2－n2的值总可以被k整除，则k的值为____．
15．若xy＝－2 022，则()2－()2＝_________.　
16．定义a※b＝a(b＋1)，例如2※3＝2×(3＋1)＝2×4＝8.则(x－1)※x的结果为________．
三、解答题
17．分解因式：
(1)x3y2－16x；
(2)(p－4)(p＋1)＋3p；
(3)(x2＋4)2－16x2；
(4)x2(a－1)＋y2(1－a)；
(5)16a4－b4；
(6)8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy；
(7)4a4m－64b4n.
(8)8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy.
18．已知m，n互为相反数，且(m＋2)2－(n＋2)2＝4，求m，n的值．
19．【2022·六盘水】如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M.
(1)用含a，M的式子表示A中能使用的面积：____________．
(2)若a＋b＝10，a－b＝5，求A比B多出的使用面积．
20．利用因式分解说明：257－512能被30整除．
21．用简便方法计算：(1－)×(1－)×(1－)×(1－)×…×(1－).
22．【阅读理解】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”．
(1)试分析28是否为“神秘数”；
(2)2 020是“神秘数”吗？为什么？
(3)说明两个连续偶数2k＋2和2k(其中k取非负整数)构造的“神秘数”是4的倍数；
(4)设两个连续奇数为2k＋1和2k－1，两个连续奇数的平方差(k取正整数)是“神秘数”吗？为什么？
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参考答案
【经典例题】
【例1】分解因式：
(1)4x2－25y2； (2)(a＋2)2－1；
(3)－＋x4； (4)16(a－b)2－25(a＋b)2.
解题秘方：先确定平方差公式中的“a”和“b”，再运用平方差公式分解因式.
解：(1)4x2－25y2＝(2x)2－(5y)2＝(2x＋5y)(2x－5y)；
(2)(a＋2)2－1＝(a＋2＋1)(a＋2－1)＝(a＋3)(a＋1)；
(3)－＋x4 ＝x4－＝
＝；
(4)16(a－b)2－25(a＋b)2
＝[4(a－b)＋5(a＋b)][4(a－b)－5(a＋b)]
＝(4a－4b＋5a＋5b)(4a－4b－5a－5b)
＝(9a＋b)(－a－9b)
＝－(9a＋b)(a＋9b).
【同步练习】
一、选择题
1．把多项式4a2－1分解因式，结果正确的是(　B　)
A．(4a＋1)(4a－1) B．(2a＋1)(2a－1) C．(2a－1)2 D．(2a＋1)2
2．下列四个多项式：①－a2＋b2；②－x2－y2；③1－(a－1)2；④x2－2xy＋y2.
其中能用平方差公式分解因式的有(　C　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．【2023·兰州树人中学月考】下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是(　A　)
A．－m4－n4 B．－16x2＋y2 C．1.96－x2 D．a2－b2
4．一次课堂练习，小颖做了以下几道因式分解题，你认为她做得不够完整的是(　A　)
A．x3－x＝x(x2－1) B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y)
C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m) D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)
5．分解因式：x3－4x＝(　C　)
A．x(x2－4x) B．x(x＋4)(x－4) C．x(x＋2)(x－2) D．x(x2－4)
6．已知多项式a2＋b2＋M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是(　D　)
A．2ab B．－2ab C．3b2 D．－5b2
7．下列各式分解因式：①(x－3)2－y2＝x2－6x＋9－y2；②x2－4y2＝(x＋4y)(x－4y)；③4x6－1＝(2x3＋1)(2x3－1)；④m4n2－9＝(m2n＋3)(m2n－3)；⑤－a2－b2＝(－a＋b)(－a－b).其中正确的有(　B　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．【2023·金华青春中学模拟】分解因式的结果是(x＋y－z)(x－y＋z)的多项式是(　D　)
A．x2－(y＋z)2 B．(x－y)2－z2 C．－(x－y)2＋z2 D．x2－(y－z)2
9．已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2＋bc＝b2＋ac，则△ABC是(　C　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
10．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2－b2＝ac－bc，则△ABC一定是(　A　)
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
11．【2022·荆门】对于任意实数a，b，a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)恒成立，则下列关系式正确的是(　A　)
A．a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2) B．a3－b3＝(a＋b)(a2＋ab＋b2)
C．a3－b3＝(a－b)(a2－ab＋b2) D．a3－b3＝(a＋b)(a2＋ab－b2)
二、填空题
12．分解因式：
(1)【2022·深圳】a2－1＝______________；
【答案】(a＋1)(a－1)
(2)【2022·张家界】a2－25＝______________.
【答案】(a＋5)(a－5)
(3)【2022·常德】x3－9xy2＝_________________.
【答案】x(x＋3y)(x－3y)
(4)【2022·哈尔滨】xy2－9x＝______________．
【答案】x(y＋3)(y－3)　
13．【2022·遵义】已知a＋b＝4，a－b＝2，则a2－b2的值为________．
【答案】8
14．若n为任意整数，(n＋11)2－n2的值总可以被k整除，则k的值为____．
【答案】11
15．若xy＝－2 022，则()2－()2＝_________.　
【答案】2022
16．定义a※b＝a(b＋1)，例如2※3＝2×(3＋1)＝2×4＝8.则(x－1)※x的结果为________．
【答案】x2－1
三、解答题
17．分解因式：
(1)x3y2－16x；
解：原式＝x(xy＋4)(xy－4)
(2)(p－4)(p＋1)＋3p；
解：(p＋2)(p－2)
(3)(x2＋4)2－16x2；
解：原式＝(x＋2)2(x－2)2
(4)x2(a－1)＋y2(1－a)；
解：原式＝(a－1)(x＋y)(x－y)
(5)16a4－b4；
解：原式＝(4a2－b2)(4a2＋b2)
＝(2a＋b)(2a－b)(4a2＋b2)
(6)8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy；
解：(x＋4y)(x－4y)
(7)4a4m－64b4n.
解：4(a2m＋4b2n)(am＋2bn)(am－2bn)
(8)8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy.
解：原式＝8x2－16y2－7x2－xy＋xy
＝x2－16y2
＝(x＋4y)(x－4y)．
18．已知m，n互为相反数，且(m＋2)2－(n＋2)2＝4，求m，n的值．
解：(m＋2)2－(n＋2)2＝(m＋2＋n＋2)(m＋2－n－2)
＝(m＋n＋4)(m－n)＝4.
∵m，n互为相反数，∴m＋n＝0.
∴m－n＝1.∴m＝，n＝－.
19．【2022·六盘水】如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M.
(1)用含a，M的式子表示A中能使用的面积：____________．
【答案】a2－M
(2)若a＋b＝10，a－b＝5，求A比B多出的使用面积．
A比B多出的使用面积为
(a2－M)－(b2－M)＝a2－b2
＝(a＋b)(a－b)＝10×5＝50.
20．利用因式分解说明：257－512能被30整除．
解：∵257－512＝512×(52－1)
＝24×512
＝120×511
＝30×4×511，
∴257－512能被30整除．
21．用简便方法计算：(1－)×(1－)×(1－)×(1－)×…×(1－).
解：原式＝(1－)×(1＋)×(1－)×(1＋)×(1－)×(1＋)×…×(1－)×(1＋)＝×××××…××＝×＝
22．【阅读理解】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”．
(1)试分析28是否为“神秘数”；
(2)2 020是“神秘数”吗？为什么？
(3)说明两个连续偶数2k＋2和2k(其中k取非负整数)构造的“神秘数”是4的倍数；
(4)设两个连续奇数为2k＋1和2k－1，两个连续奇数的平方差(k取正整数)是“神秘数”吗？为什么？
解：(1)∵28＝64－36＝82－62，∴28是“神秘数”
(2)2 020是“神秘数”．
设2 020是由y和y－2两数的平方差得到的，
则y2－(y－2)2＝2 020，
解得y＝506，是偶数，
∴2 020是“神秘数”
(3)(2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2－2k)(2k＋2＋2k)＝4(2k＋1)，
∴由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍
(4)(2k＋1)2－(2k－1)2＝8k，是8的倍数，即4的偶数倍，而非4的奇数倍，由(3)可知，它不是“神秘数”