贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一上学期12月教学质量监测（二）数学试卷（含解析）

贵阳市重点中学2023-2024学年高一上学期12月教学质量监测（二）
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前 考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名 准考证号 考场号 座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一 单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A.2 B.1 C. D.4
4.若，则化简的结果是（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
5.已知是定义在上的偶函数，其图象关于点对称，且当时，，则（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.
6.已知，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
7.函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
8.设是含数3的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）
A. B.3 C.-3 D.0
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则“”是“”的充分不必要条件
C.若，则
D.若，则的取值范围是
10.下列命题中正确的是（ ）
A.当时，
B.若，则函数的最小值等于
C.若，则的取值范围是
D.的最大值是
11.已知函数则（ ）
A.
B.不等式解集为
C.方程有两个解
D.若且，则
12.如图所示，若将边长为的正方形纸片折叠，使得点始终落在边.（不与点重合），记为点，点折叠以后对应的点记为点为折痕.设点和点间的距离为，折痕的长度为，四边形的面积为，则下列结论正确的是（ ）
A.在上先增后减
B.在上先减后增
C.在上存在最大值
D.在上存在最小值
符II卷
注意事项：
用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知与的终边相同，且，则__________.
14.函数的单调递增区间是__________.
15.已知函数若当时，.则的最大是__________.
16.设函数，则使得成立的的取值范是__________.
四 解答题（共70分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
（1）若，求的值；
（2）求的值.
18.（本小题满分12分）
（1）若，求和的值；
（2）若，求的值.
19.（本小题满分12分）
已知函数是一次函数，且满足.
（1）求的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给与证明.
20.（本小题满分12分）
为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设，养殖区域的面积为.
（1）将表示为的函数，并写出的取值范围；
（2）当为多长时，取得最大值？并求出最大值.
21.（本小题满分12分）
已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）若函数的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围.
22.（本小题满分12分）
设定义在上的函数恒不为0，若存在不等于1的正数，对于任意实数，都有成立，则称函数为“函数”.
（1）若函数为“函数”，求的值；
（2）设，其中为自然对数的底数，函数.
（1）比较与的大小；
（2）判断函数是否为“函数”？若是，给出证明；若不是，请说明理由.
数学参考答案
第I卷（选择题，共60分）
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C B B D A A
【解析】
1.由题，则，故选B.
2.存在量词命题的否定是全称量词命题，故选A.
3.设弧长为，则扇形圆心角的弧度数，故选C.
4.，
，故选B.
5.是定义在上的偶函数，.又的图象关于点对称，，故选B.
6.，即，即，故选D.
7.因为的定义域为，关于原点对称，又，所以是奇函数，其图象关于原点对称，排除；因为，排除，故选.
8.若，则构造如图甲的函数图象，图象上不存在关于轴对称的点，符合函数的定义，所以的取值可能是.若，则函数图象上的点和关于轴对称
（如图乙），不符合函数的定义；同理若都不符合函数的定义，故选A.
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 BC ACD CD BD
【解析】
9.因为，故，故错误；当时，，但是当时，不一定大于，例如时，，所以是的充分不必要条件，故B正确；由于，故由糖水不等式得，故C正确；因为，所以，所以，故D错误，故选BC.
10.当时，重要不等式成立，故正确；答案中对于均值不等式的运用出错，不满足“一正二定三相等”中的“积为定值”条件，故B错误；由于，因此，即的取值范围是，故正确；由于，根据均值不等式得，即最大值为，故D正确，故选ACD.
11.对于A：，故A错误；对于B：不等式的解集为，故B错误；对于C：，由图知的图象与的图象有且仅有2个交点，方程有两个解，故C正确；对于：令的图象与的图象相交于如图所示3点，，解得，，易知，故D正确，故选CD.
12.如图，设，则，由对称性得.由，得.过点作于，则
在上单调递增，故A，C都错.在上单调递减，上单调递增，故都对，故选BD.
第II卷（非选择题，共90分）
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案
【解析】
13.由已知得，又当时，.
14.由，得函数的定义域为.令，则，在上单调递增，且在上单调递增，函数的单调递增区间是.
15.当时，由，得；当时，由，得.从而等价于，的最大值为.
16.是偶函数，且在上递增，等价于，，即，解得或.
四 解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
解：（1）由，得，
所以，
所以.
（2）原式
.
18.（本小题满分12分）
解：（1），
（2），
.
19.（本小题满分12分）
解：（1）设，
由，得，
即
解得
.
（2）由（1）得，
在上单调递减.
证明：任取且，
则
，
，
，即，
在上单调递减.
20.（本小题满分12分）
解：（1），
，
，解得，
.
（2）
，
当且仅当，即时，等号成立，
当米时，取得最大值，最大值为平方米.
21.（本小题满分12分）
解：（1）方法一：由题得，即，
即，即
即，即，即对恒成立，
，故.
方法二：由，即，解得.
当时，，其定义域为，关于原点对称，
且，
即是偶函数.
综上，.
（2）由（1）及已知得不等式恒成立，
即不等式恒成立，
，
，即实数的取值范围是
22.（本小题满分12分）
解：（1）由已知得对任意实数成立，
，
又或.
（2）①，
.
又在上为增函数，
.
②若是“函数”，则存在不等于1的正常数，
使对任意实数成立，
关于的方程有解，
令，则在上的图象是一条不间断的曲线，
又，
由零点存在性定理，知关于的方程在上有解，
是“函数”