汉中市重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考
数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． 设集合，，则 （ ）
A. B. C. D.
2．设，则“”是“”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．函数的零点所在的一个区间是 （ ）.
A. B. C. D.
4．已知函数 (是常数)，若，则（ ）
A． B． C． D．0
5． 任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6．中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是，则，其中表示环境温度，表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？结果精确到，参考数据 （ ）
A. B. C. D.
7．已知函数，记，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.已知集合M={1，1，2，4}，N={1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ）
A. B. C. D.
10．下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是 （ ）
A. B. C. D.
11．下列说法不正确的是（ ）
A. 若，，则的最大值为
B. 若，则函数的最大值为
C. 若，，，则的最小值为
D. 函数的最小值为
12．已知幂函数对任意且，都满足，若，则 （ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某省有大型超市200家，中型超市400家，小型超市1400家。为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市 家。
14． 已知函数的定义域为 则的定义域为____________
15．幂函数在上单调递增，则的图象所过定点的坐标为__________.
16. 函数的值域为__________.
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题共10分）计算下列各式的值：
（1）计算：；
（2）计算：．
18．（本小题共12分）已知命题P：方程没有实数根．
（1）若P是真命题，求实数t的取值集合A；
（2）集合，若是的必要条件，求a的取值范围．
19．（本小题共12分）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设．
（1）当时，求海报纸面积；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？
20．（本小题共12分）已知函数，且不恒为0.
（1）若为奇函数，求实数的值；
（2）若且函数在上单调递减，求实数的取值范围。
21．（本小题满分12分）已知函数是定义在上的单调函数，且对任意正数，，都有. 且。
①求，的值；
②判断函数的奇偶性并证明；
③若不等式恒成立，求的取值范围。
22．（本小题共12分）21. 已知函数.
（1）求证：函数是上的奇函数；
（2）判断函数的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.汉中市重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考
数学答案
单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C D B B A A
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
题号 9 10 11 12
答案 BC BD AC BD
填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）.
13． 20 ； 14． ； 15． ； 16．
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17【解析】（1） ····································································5分
（2）·
；·························10分
18【解析】（1）若P是真命题，则，解得，
则．··································································5分
（2）因为是的必要条件，所以，
当时，由，得，此时，符合题意；············7分
当时，则有，解之得，·············10分
综上所述，a的取值范围为．······· ························12分
19【解析】（1）设阴影部分直角三角形的高为所以阴影部分的面积：，所以即：，
由图像知：，
···················································6分
（2）由（1）知：
，当且仅当即，
即等号成立.
综上，选择长宽分别为的海报纸. ···································12分
20【解析】（1）因为若为奇函数，所以定义域关于原点对称，
由得
时不成立，时，，所以，得
经验证，符合题意，所以················································6分
（2）由（1）
，且单调递减
解得，即的取值范围是··········12分
21解：（1）设，得………… 1分
再设，有 再设有
…… 4分
（2）是奇函数，证明如下：
因为定义为，关于原点对称，
设，代入可得
即，所以是奇函数…………………………8分
（3）函数是定义在上的单调函数，且
所以是定义在上的单调增函数，又是奇函数
恒成立， …………10分
，即，解得 ，即的取值范围是…12分
22【解析】因为，所以定义域为,关于原点对称，
所以函数是上的奇函数. ····························································4分
（2）取
因为，所以，则，，，
则，故函数在上单调减. ···························8分
（3）由对任意的，不等式恒成立
，又函数是上的奇函数， ，
函数在上单调减，对任意的，，
即，所以，
解得：，故实数的取值范围为.················································12分
试卷第1页，共3页
