2023-2024学年山东省青岛市即墨区高二上学期期中考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年山东省青岛市即墨区高二上学期期中考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 214.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-09 21:32:50 | ||
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文档简介
2023-2024学年山东省青岛市即墨区高二上学期期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.数列，，，，，的一个通项公式为
A. B. C. D.
2.某学校有学生人，其中男生人，女生人，现按分层抽样从中随机选择人，则其中女生为
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
3.已知在等差数列中，，，则
A. B. C. D. ．
4.一个正八面体，八个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设，，，则
A. 与互斥 B. 与相互对立
C. 与相互独立 D.
5.设是数列的前项和，，，，，则
A. B. C. D.
6.某同学参与了自媒体数学的维度栏目约稿启事，为了估计投稿人数，随机了解到个投稿回执编号，从小到大依次为，，，，，，这个编号把区间分成个小区间，可以用前个区间的平均长度估计第个区间的长度，进而求得投稿人数的估计值为
A. B. C. D.
7.天气预报元旦假期甲地降雨的概率为，乙地降雨的概率为，假定这段时间内两地是否降雨相互独立，则这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为
A. B. C. D.
8.已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是
( )
A. 数列是递增数列 B.
C. 当取得最大值时， D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知数列是一个无穷等比数列，前项和为，公比为，则
A. 将数列中的前项去掉，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列
B. 取出数列的偶数项，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列
C. 从数列中每隔项取出一项组成的新数列仍为等比数列
D. 数列不是等比数列
10.一个盒子装有标号，，，，的张标签，则
A. 有放回的随机选取两张标签，标号相等的概率为
B. 有放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为
C. 无放回的随机选取两张标签，标号之和为的概率为
D. 无放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为
11.为了解甲、乙两个班级学生的数学学习情况，从两个班学生的数学成绩均为整数中各随机抽查个，得到如图所示的数据图用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值，关于甲、乙两个班级的数学成绩，则
A. 甲班众数大于乙班众数 B. 乙班成绩的百分位数为
C. 甲班的中位数为 D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值
12.设是数列的前项和，，，则
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，，，，则__________．
14.等差数列满足，，则__________．
15.某数学老师随机抽取了名考生的数学成绩：，，，，作为样本．经计算得：平均分，，则该样本数据的标准差__________．参考公式及数据：样本方差
16.设是数列的前项和，，，则__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
某校高二年级的名学生参加了一次考试，考试成绩全部介于分到分之间，为统计学生的考试情况，从中随机抽取名学生的考试成绩作为样本，得到的频率分布直方图如图所示．
求的值；
估算这次考试成绩的平均分；
从这名学生中选名学生，已知他们上次考试成绩的平均分，标准差；记他们本次考试成绩的平均分，标准差，他们的本次考试成绩如表所示．判断他们的平均分是否显著提高如果，则认为本次考试平均分较上次考试有显著提高，否则不认为显著提高．
这名同学的本次考试成绩
18.本小题分
记为数列的前项和，，．
求数列的通项公式；
设，证明：．
19.本小题分
为研究某茶品价格变化的规律，收集了该茶品连续天的价格变化数据，如表所示，在描述价格变化时，用“”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．用频率估计概率．
时段 价格变化
第天到第天
第天到第天
第天到第天
第天到第天
试估计该茶品价格“上涨”、“下跌”、“不变”的概率；
假设该茶品每天的价格变化只受前一天影响，判断第天该茶品价格“上涨”、“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大？
20.本小题分
已知非零数列满足，．
证明：数列为等比数列；
求数列的前项和．
21.本小题分
已知甲、乙两人进行台球比赛，规定每局比赛胜者得分，负者得分．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立．设事件，分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”．
若进行三局比赛，求“甲至少胜局”的概率；
若规定多得两分的一方赢得比赛．记“甲赢得比赛”为事件，最多进行局比赛，求．
22.本小题分
已知等差数列为单调递增数列，，，成等比数列，．
求数列的通项公式；
若数列满足，．
(ⅰ)求数列的通项公式；
(ⅱ)设，为非零常数，若数列是等差数列，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的通项公式，以及等差、等比数列的通项公式，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
分别判断出分子和分母构成的数列特征，再求出此数列的通项公式．
【解答】解：，，，，，是以为首项和为公比的等比数列，
且，，，，，是以为首项，以为公差的等差数列，
此数列的一个通项公式是，
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分层抽样，属于基础题．
利用分层抽样的性质即可求解．
【解答】
解：由题意，得抽取的女生有人．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的性质，属于基础题．
由等差数列的性质得到，求出 ．
【基底】
解：由等差数列的性质可知 ，
又 ，故 ，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了互斥事件、对立事件以及相互独立事件的判断，涉及古典概型的概率计算，属于基础题．
根据已知以及互斥事件、对立事件概念判断，；求得，，，得到对应的概率，根据相互独立事件的概念进行判断；求得，，，，即可判断．
【解答】
解：由题可知，，
显然与不互斥，与不对立，故A错误，B错误；
，，
，
则，，
，
故与不相互独立，故 D错误；
，
则，，
可得，故D正确．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题重点考查等比数列前项和公式，属于基础题．
判断出数列是首项为，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式即可求解．
【解答】
解：，
则，
又，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
故，解得
6.【答案】
【解析】解：由题知，前六个区间长度依次为：，，，，，，其平均值为，所以估计，
故选：．
求出前个区间的平均值，然后根据题意即可求解．
本题考查了平均数的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查概率计算，属于基础题．
利用对立事件和独立事件的概率公式即可求解．
【解答】
解：由题意，两地均未降雨的概率为，
故至少有一地降雨的概率为，
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，等差数列的性质，涉及数列的单调性，属于中档题．
由已知结合等差数列的性质以及求和公式，得到，，再结合等差数列的通项公式依次判断即可．
【解答】
解：因为，，
所以，
，
则，，
可知，，故B错误；
则数列的公差，数列为递减数列，故A错误；
由，，可得，故D正确；
由，，
可知当时，；当时，；
则当取得最大值时，，故C错误．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等比数列的判定，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
根据等比数列的定义依次分析即可．
【解答】
解：对于，记新数列为，
则，，，，
，
则为等比数列，故A正确；
对于，记新数列为，
则，，，，
，
则为等比数列，故B正确；
对于，记新数列为，
则，，，，，
，
则为等比数列，故C正确；
对于，，可知数列是等比数列，故D错误．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查古典概型及其计算，涉及有放回和不放回抽取问题，属于基础题．
根据题意，依次分析选项中事件的概率，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于，有放回的随机选取两张标签，有种取法，
其中标号相等的取法有种，
所以概率为，所以A正确
对于，有放回的随机选取两张标签，有种取法，
其中第一次标号大于第二次的取法有种，
所以概率为，所以不正确
对于，无放回的随机选取两张标签，有种取法，
其中标号之和为的取法有种，所以概率为，所以不正确
对于，无放回的随机选取两张标签，有种取法，
其中第一次标号大于第二次的取法有种，
所以概率为，所以D正确．
故选AD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了统计图的应用，众数、中位数、平均数以及百分位数的计算，属于中档题．
结合统计图，对甲、乙两个班级数学成绩的众数、中位数、平均数以及百分位数以及计算分析即可．
【解答】
解：由图可知，甲班数学成绩的众数为，乙班数学成绩的众数为，故A正确；
乙班数学成绩在区间的频率为，
乙班数学成绩在区间的频率为，
则乙班数学成绩的百分位数在区间，设为，
，解得，故B正确；
由图可知，甲班成绩在区间的人数有人，成绩为的人数有人，
可知甲班的中位数为，故C错误；
甲班的平均数为，
乙班的平均数为，
，可知甲班平均数大于乙班平均数估计值，故D正确．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了数列的递推关系，分组求和法的运用，属于较难题．
根据递推关系得到，，利用累加法求得当为偶数且时，，从而得到，结合已知可求得，即可判断；运用分组求和法判断，；结合求得当为偶数时，，再求得为奇数时的通项，得到，则，求得的最值，即可判断．
【解答】
解：由，令，可得，
，，
两式相减，可得，
当为偶数且时，，
，
则，
又，，
则，可得，故A正确；
当为偶数时，，
，故B错误；
当为奇数时，，
，故C正确；
由，，可得，
当为偶数且时，，
则，
显然，当时也满足，
则当为偶数时，；
当为奇数时，，
又，
则，
可知当为奇数时，，
综上可知，，
则
，
可知，
则当时，取得最大值，
因此，故D正确．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题重点考查古典概型，属于基础题．
根据古典概型的概率公式计算可得．
【解答】
解：因为，，，
所以，
所以．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式及其应用，属于基础题．
利用等差数列的通项公式，结合 ， ，求出，即可得出结论．
【解答】解：因为数列为等差数列且，
所以公差，
所以．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了标准差的计算，属于中档题．
先根据方差公式得到，求得样本方差，即可得到标准差．
【解答】
解：样本方差
，
则标准差．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了数列的递推关系，数列的前项和与的关系，属于中档题．
根据已知令，求得，当时，结合将已知等式化为，根据等差数列的通项公式求得，得到，再根据求得．
【解答】
解：因为，
当时，，
由，可得；
当时，，
则数列是首项为，公差为的等差数列，
可得，
因为，则，
所以，
当时，，
当时，也满足，
则
17.【答案】解：由题可得，
解得．
这次考试成绩的平均分约为．
，
，
则，
，
可以认为他们的平均分显著提高．
【解析】本题考查了频率分布直方图，平均数、标准差的计算，考查了数据分析能力，属于基础题．
根据频率和为列出等式求得即可；
根据平均数公式计算求解即可；
根据平均数、方差公式求得，，再进行判断．
18.【答案】解：，，
令，可得，则；
当时，，，
则，
显然当时也满足，
则．
由知，，
令，
则，
两式相减可得，
可得，
因为，则，
即．
【解析】本题考查了错位相减法求和，数列的前项和与的关系，属于中档题．
由进行求解即可；
可得，再根据错位相减法进行求得，即可证明．
19.【答案】解：由表知：天中价格“上涨”天，“下跌”天，“不变”天，
该茶品价格“上涨”的概率为，
该茶品价格“下跌”的概率为，
该茶品价格“不变”的概率为；
研究：天中除去最后一天价格“上涨”的有天，
价格“上涨”后仍“上涨”的有次，概率为，
价格“上涨”后“下跌”的有次，概率为，
价格“上涨”后“不变”的有次，概率为，
所以第天该茶品价格“不变”的概率估计值最大．
【解析】本题考查古典概率的求法以及相互独立事件，属于基础题．
计算表格中的 的次数，然后根据古典概型进行计算；
分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算．
20.【答案】解：证明：由题知：，，，
所以，
因为，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列；
由知：因为，
所以，
所以．
【解析】本题考查数列的递推公式，考查等比数列的判定与证明，分组转化求和，属于中档题．
由题意得到，，，运用代入法可得，即可证明数列是等比数列；
由可计算得，利用分组转化求和即可求解．
21.【答案】解：记“甲至少胜局”为事件，则，
因为，，，互斥，
所以．
若比赛最多进行局，甲赢得比赛包括以下种情况：
比赛进行局甲赢得比赛，比赛进行局甲赢得比赛，比赛进行局甲赢得比赛，
设“比赛进行局甲赢得比赛”，
则，
，
，
因为，且，，互斥，
所以．
【解析】本题考查了相互独立事件以及互斥事件的概率公式的运用，属于中档题．
记“甲至少胜局”为事件，则，根据互斥事件以及相互独立事件概率公式求解即可；
设“比赛进行局甲赢得比赛”，求得，，，再由求得结果．
22.【答案】解：设数列的公差为，由题知：，
所以，所以，
所以，解得，
所以．
由得，
所以，
所以，
叠加得：，
所以，，，，
又因为，，所以．
因为是等差数列，所以，
所以，解得，所以．
因为，
当时，．
当时，显然成立，
所以，．
【解析】本题考查等差数列的通项公式、等比数列的性质和数列中的不等式证明，属于较难题．
求出首项和公差，由等差数列的通项公式即可求解
用叠加法即可求解
求出，利用放缩法和裂项相消法即可求证．
第2页，共16页
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.数列，，，，，的一个通项公式为
A. B. C. D.
2.某学校有学生人，其中男生人，女生人，现按分层抽样从中随机选择人，则其中女生为
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
3.已知在等差数列中，，，则
A. B. C. D. ．
4.一个正八面体，八个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设，，，则
A. 与互斥 B. 与相互对立
C. 与相互独立 D.
5.设是数列的前项和，，，，，则
A. B. C. D.
6.某同学参与了自媒体数学的维度栏目约稿启事，为了估计投稿人数，随机了解到个投稿回执编号，从小到大依次为，，，，，，这个编号把区间分成个小区间，可以用前个区间的平均长度估计第个区间的长度，进而求得投稿人数的估计值为
A. B. C. D.
7.天气预报元旦假期甲地降雨的概率为，乙地降雨的概率为，假定这段时间内两地是否降雨相互独立，则这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为
A. B. C. D.
8.已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是
( )
A. 数列是递增数列 B.
C. 当取得最大值时， D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知数列是一个无穷等比数列，前项和为，公比为，则
A. 将数列中的前项去掉，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列
B. 取出数列的偶数项，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列
C. 从数列中每隔项取出一项组成的新数列仍为等比数列
D. 数列不是等比数列
10.一个盒子装有标号，，，，的张标签，则
A. 有放回的随机选取两张标签，标号相等的概率为
B. 有放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为
C. 无放回的随机选取两张标签，标号之和为的概率为
D. 无放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为
11.为了解甲、乙两个班级学生的数学学习情况，从两个班学生的数学成绩均为整数中各随机抽查个，得到如图所示的数据图用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值，关于甲、乙两个班级的数学成绩，则
A. 甲班众数大于乙班众数 B. 乙班成绩的百分位数为
C. 甲班的中位数为 D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值
12.设是数列的前项和，，，则
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，，，，则__________．
14.等差数列满足，，则__________．
15.某数学老师随机抽取了名考生的数学成绩：，，，，作为样本．经计算得：平均分，，则该样本数据的标准差__________．参考公式及数据：样本方差
16.设是数列的前项和，，，则__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
某校高二年级的名学生参加了一次考试，考试成绩全部介于分到分之间，为统计学生的考试情况，从中随机抽取名学生的考试成绩作为样本，得到的频率分布直方图如图所示．
求的值；
估算这次考试成绩的平均分；
从这名学生中选名学生，已知他们上次考试成绩的平均分，标准差；记他们本次考试成绩的平均分，标准差，他们的本次考试成绩如表所示．判断他们的平均分是否显著提高如果，则认为本次考试平均分较上次考试有显著提高，否则不认为显著提高．
这名同学的本次考试成绩
18.本小题分
记为数列的前项和，，．
求数列的通项公式；
设，证明：．
19.本小题分
为研究某茶品价格变化的规律，收集了该茶品连续天的价格变化数据，如表所示，在描述价格变化时，用“”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．用频率估计概率．
时段 价格变化
第天到第天
第天到第天
第天到第天
第天到第天
试估计该茶品价格“上涨”、“下跌”、“不变”的概率；
假设该茶品每天的价格变化只受前一天影响，判断第天该茶品价格“上涨”、“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大？
20.本小题分
已知非零数列满足，．
证明：数列为等比数列；
求数列的前项和．
21.本小题分
已知甲、乙两人进行台球比赛，规定每局比赛胜者得分，负者得分．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立．设事件，分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”．
若进行三局比赛，求“甲至少胜局”的概率；
若规定多得两分的一方赢得比赛．记“甲赢得比赛”为事件，最多进行局比赛，求．
22.本小题分
已知等差数列为单调递增数列，，，成等比数列，．
求数列的通项公式；
若数列满足，．
(ⅰ)求数列的通项公式；
(ⅱ)设，为非零常数，若数列是等差数列，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的通项公式，以及等差、等比数列的通项公式，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
分别判断出分子和分母构成的数列特征，再求出此数列的通项公式．
【解答】解：，，，，，是以为首项和为公比的等比数列，
且，，，，，是以为首项，以为公差的等差数列，
此数列的一个通项公式是，
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分层抽样，属于基础题．
利用分层抽样的性质即可求解．
【解答】
解：由题意，得抽取的女生有人．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的性质，属于基础题．
由等差数列的性质得到，求出 ．
【基底】
解：由等差数列的性质可知 ，
又 ，故 ，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了互斥事件、对立事件以及相互独立事件的判断，涉及古典概型的概率计算，属于基础题．
根据已知以及互斥事件、对立事件概念判断，；求得，，，得到对应的概率，根据相互独立事件的概念进行判断；求得，，，，即可判断．
【解答】
解：由题可知，，
显然与不互斥，与不对立，故A错误，B错误；
，，
，
则，，
，
故与不相互独立，故 D错误；
，
则，，
可得，故D正确．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题重点考查等比数列前项和公式，属于基础题．
判断出数列是首项为，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式即可求解．
【解答】
解：，
则，
又，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
故，解得
6.【答案】
【解析】解：由题知，前六个区间长度依次为：，，，，，，其平均值为，所以估计，
故选：．
求出前个区间的平均值，然后根据题意即可求解．
本题考查了平均数的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查概率计算，属于基础题．
利用对立事件和独立事件的概率公式即可求解．
【解答】
解：由题意，两地均未降雨的概率为，
故至少有一地降雨的概率为，
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，等差数列的性质，涉及数列的单调性，属于中档题．
由已知结合等差数列的性质以及求和公式，得到，，再结合等差数列的通项公式依次判断即可．
【解答】
解：因为，，
所以，
，
则，，
可知，，故B错误；
则数列的公差，数列为递减数列，故A错误；
由，，可得，故D正确；
由，，
可知当时，；当时，；
则当取得最大值时，，故C错误．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等比数列的判定，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
根据等比数列的定义依次分析即可．
【解答】
解：对于，记新数列为，
则，，，，
，
则为等比数列，故A正确；
对于，记新数列为，
则，，，，
，
则为等比数列，故B正确；
对于，记新数列为，
则，，，，，
，
则为等比数列，故C正确；
对于，，可知数列是等比数列，故D错误．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查古典概型及其计算，涉及有放回和不放回抽取问题，属于基础题．
根据题意，依次分析选项中事件的概率，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于，有放回的随机选取两张标签，有种取法，
其中标号相等的取法有种，
所以概率为，所以A正确
对于，有放回的随机选取两张标签，有种取法，
其中第一次标号大于第二次的取法有种，
所以概率为，所以不正确
对于，无放回的随机选取两张标签，有种取法，
其中标号之和为的取法有种，所以概率为，所以不正确
对于，无放回的随机选取两张标签，有种取法，
其中第一次标号大于第二次的取法有种，
所以概率为，所以D正确．
故选AD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了统计图的应用，众数、中位数、平均数以及百分位数的计算，属于中档题．
结合统计图，对甲、乙两个班级数学成绩的众数、中位数、平均数以及百分位数以及计算分析即可．
【解答】
解：由图可知，甲班数学成绩的众数为，乙班数学成绩的众数为，故A正确；
乙班数学成绩在区间的频率为，
乙班数学成绩在区间的频率为，
则乙班数学成绩的百分位数在区间，设为，
，解得，故B正确；
由图可知，甲班成绩在区间的人数有人，成绩为的人数有人，
可知甲班的中位数为，故C错误；
甲班的平均数为，
乙班的平均数为，
，可知甲班平均数大于乙班平均数估计值，故D正确．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了数列的递推关系，分组求和法的运用，属于较难题．
根据递推关系得到，，利用累加法求得当为偶数且时，，从而得到，结合已知可求得，即可判断；运用分组求和法判断，；结合求得当为偶数时，，再求得为奇数时的通项，得到，则，求得的最值，即可判断．
【解答】
解：由，令，可得，
，，
两式相减，可得，
当为偶数且时，，
，
则，
又，，
则，可得，故A正确；
当为偶数时，，
，故B错误；
当为奇数时，，
，故C正确；
由，，可得，
当为偶数且时，，
则，
显然，当时也满足，
则当为偶数时，；
当为奇数时，，
又，
则，
可知当为奇数时，，
综上可知，，
则
，
可知，
则当时，取得最大值，
因此，故D正确．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题重点考查古典概型，属于基础题．
根据古典概型的概率公式计算可得．
【解答】
解：因为，，，
所以，
所以．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式及其应用，属于基础题．
利用等差数列的通项公式，结合 ， ，求出，即可得出结论．
【解答】解：因为数列为等差数列且，
所以公差，
所以．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了标准差的计算，属于中档题．
先根据方差公式得到，求得样本方差，即可得到标准差．
【解答】
解：样本方差
，
则标准差．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了数列的递推关系，数列的前项和与的关系，属于中档题．
根据已知令，求得，当时，结合将已知等式化为，根据等差数列的通项公式求得，得到，再根据求得．
【解答】
解：因为，
当时，，
由，可得；
当时，，
则数列是首项为，公差为的等差数列，
可得，
因为，则，
所以，
当时，，
当时，也满足，
则
17.【答案】解：由题可得，
解得．
这次考试成绩的平均分约为．
，
，
则，
，
可以认为他们的平均分显著提高．
【解析】本题考查了频率分布直方图，平均数、标准差的计算，考查了数据分析能力，属于基础题．
根据频率和为列出等式求得即可；
根据平均数公式计算求解即可；
根据平均数、方差公式求得，，再进行判断．
18.【答案】解：，，
令，可得，则；
当时，，，
则，
显然当时也满足，
则．
由知，，
令，
则，
两式相减可得，
可得，
因为，则，
即．
【解析】本题考查了错位相减法求和，数列的前项和与的关系，属于中档题．
由进行求解即可；
可得，再根据错位相减法进行求得，即可证明．
19.【答案】解：由表知：天中价格“上涨”天，“下跌”天，“不变”天，
该茶品价格“上涨”的概率为，
该茶品价格“下跌”的概率为，
该茶品价格“不变”的概率为；
研究：天中除去最后一天价格“上涨”的有天，
价格“上涨”后仍“上涨”的有次，概率为，
价格“上涨”后“下跌”的有次，概率为，
价格“上涨”后“不变”的有次，概率为，
所以第天该茶品价格“不变”的概率估计值最大．
【解析】本题考查古典概率的求法以及相互独立事件，属于基础题．
计算表格中的 的次数，然后根据古典概型进行计算；
分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算．
20.【答案】解：证明：由题知：，，，
所以，
因为，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列；
由知：因为，
所以，
所以．
【解析】本题考查数列的递推公式，考查等比数列的判定与证明，分组转化求和，属于中档题．
由题意得到，，，运用代入法可得，即可证明数列是等比数列；
由可计算得，利用分组转化求和即可求解．
21.【答案】解：记“甲至少胜局”为事件，则，
因为，，，互斥，
所以．
若比赛最多进行局，甲赢得比赛包括以下种情况：
比赛进行局甲赢得比赛，比赛进行局甲赢得比赛，比赛进行局甲赢得比赛，
设“比赛进行局甲赢得比赛”，
则，
，
，
因为，且，，互斥，
所以．
【解析】本题考查了相互独立事件以及互斥事件的概率公式的运用，属于中档题．
记“甲至少胜局”为事件，则，根据互斥事件以及相互独立事件概率公式求解即可；
设“比赛进行局甲赢得比赛”，求得，，，再由求得结果．
22.【答案】解：设数列的公差为，由题知：，
所以，所以，
所以，解得，
所以．
由得，
所以，
所以，
叠加得：，
所以，，，，
又因为，，所以．
因为是等差数列，所以，
所以，解得，所以．
因为，
当时，．
当时，显然成立，
所以，．
【解析】本题考查等差数列的通项公式、等比数列的性质和数列中的不等式证明，属于较难题．
求出首项和公差，由等差数列的通项公式即可求解
用叠加法即可求解
求出，利用放缩法和裂项相消法即可求证．
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