2023-2024学年天津市滨海新区田家炳中学高一上学期期中考试数学试卷（含解析）

2023-2024学年天津市滨海新区田家炳中学高一上学期期中考试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
3.下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.已知，为实数，则“”是“”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
6.若，则的大小关系为
( )
A. B. C. D.
7.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征下面的图象对应的函数可能是( )
A. B. C. D.
8.下列函数中，在区间上是增函数的是
( )
A. B. C. D.
9.已知，且，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
10.函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则( )
A. B.
C. D.
11.函数的零点所在的区间为
( )
A. B. C. D.
12.若函数是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集是
( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共8小题，共48分。在每小题有多项符合题目要求）
13.计算 ．
14.已知集合，则集合的子集有 ．
15.命题，的否定是 ．
16.函数的定义域是 ．
17.已知函数，则 ．
18.已知幂函数的图像过点，则 ．
19.若函数在 时取得最小值，最小值为 ．
20.满足：对任意都有成立，的取值范围 ．
三、解答题（本大题共4小题，共62分。）
21.已知全集，集合，．
求，；
求；
若集合，且，则实数的取值范围．
22.已知关于的函数．
当时，求不等式的解集；
若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
二次函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
23.已知函数是定义在上的偶函数，如图当时，．
求，的值；
求出当时，的解析式；
请在图中的坐标系中将函数的图象补充完整；并根据图象直接写出函数的单调增区间及值域．
24.已知，．
判断的奇偶性并说明理由；
求证：函数在上单调递增；
若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】先求 再与 进行交集运算即可求解．
【详解】因为全集 ，集合 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系逐个分析判断即可．
【详解】对于，因为空集是集合，所以 ，所以A错误，
对于，因为属于自然数，即 ，所以B错误，
对于，因为 ，所以C错误，
对于，因为 ，所以D正确，
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】根据不等式的性质，即可判断选项．
【详解】当 ，有 ，若 ，则 ，故A错误；
B.若 ，则 ，故B错误；
C.若 ，则 ，则 ，故C正确；
D.若 ，则 ，故D错误．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断．
【详解】当 时， ，即 成立，
由 ，得 ，解得 或 ，
所以当 时， 不一定成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】逐一判断四个选项中两个函数的定义域和对应关系是否相同即可得正确选项．
【详解】对于： 定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不同不是同一函数，故选项A不正确；
对于： 与 对应关系不一致，不是同一函数，故选项B不正确；
对于： 定义域为 ， 定义域为 ，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以是同一函数，故选项C正确；
对于：由 可得 ，所以 定义域为 ，由 可得 或 ，所以 定义域为 或 ，定义域不同不是同一函数，故选项D不正确；
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可．
【详解】由 在上递增，则 ，
由 在 上递增，则 ．
所以 ．
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】首先由函数的定义域排除，再由 时， 排除，即可得答案．
【详解】由图象可知，函数的定义域为 ，
因为 的定义域为 ，所以排除，
因为 的定义域为 ，所以排除，
因为当 时， ，所以排除，
故选：
8.【答案】
【解析】【解析】利用基本初等函数的性质对选项逐项判断即可．
【详解】解： 在区间 上是减函数，不符合题意；
定义域为 ，在区间 上不单调，不符合题意；
定义域为 ，在区间 上不单调，不符合题意；
：根据幂函数的性质可知， 区间 上是增函数，符合题意．
故选： ．
9.【答案】
【解析】【分析】应用基本不等式“”的代换求最小值，注意取值条件．
【详解】由题设 ，
当且仅当 时等号成立，故目标式的最小值为．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】由函数为偶函数转化为 ， ，再利用函数在 上的单调性比较即可．
【详解】因为函数 是定义域为 的偶函数，
则 ， ，
又因为函数 在 上单调递减，且 ，
所以 ，
即 ；
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】由解析式判断各选项区间端点值的函数值符号，结合零点存在性定理确定零点的区间．
【详解】由题设， ， ， ， ，
零点所在的区间为 ，．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】由题意可得 在 上递增， ，所以可得当 或 时， ；当 或 时， ，再由 ，得 或 ，从而可求得结果．
【详解】因为函数 是奇函数，且在 上是增函数， ，
所以 在 上递增， ，
所以当 或 时， ；当 或 时， ，
因为 ，
所以 或 ，
所以 或 ，
即不等式的解集为 ，
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】应用有理数指数幂的运算性质化简求值．
【详解】原式 ．
故答案为：
14.【答案】 ， ， ，
【解析】【分析】先求出集合 ，再列出它的子集即可．
【详解】 ，
所以集合 的子集有： ， ， ， ．
故答案为： ， ， ，
15.【答案】 ，
【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式写出即可．
【详解】命题 的否定为 ．
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】【分析】根据分式和偶次根式有意义的基本要求可构造不等式求得结果．
【详解】由题意知： ，解得： ， 的定义域为 ．
故答案为： ．
17.【答案】
【解析】【分析】由分段函数解析式，将自变量代入求值．
【详解】由解析式 ，则 ．
故答案为：
18.【答案】
【解析】
【分析】根据条件先算出幂函数解析式，然后再求 ．
【详解】由题意， ，解得 ，故 ，则 ．
故答案为：
19.【答案】
【解析】【分析】应用基本不等式求函数最小值，并确定取值条件即可得答案．
【详解】由题设 ，则 ，
当且仅当 时等号成立，函数最小值为．
故答案为：，
20.【答案】
【解析】【分析】先判断出 为减函数，列不等式组，解出的范围．
【详解】因为对任意 都有 成立，
不妨设 ，则有 ，所以 为减函数，
所以需满足： ，解得： ．
则的取值范围 ．
故答案为：
【点睛】由分段函数数列单调性求参数的取值范围的方法：
分段函数的每一段都单调；
根据单调性比较端点函数值的大小．
21.【答案】 ；
或 ，
因为 ，且 ，则实数 的取值范围

【解析】应用集合的交集并集运算即可；
先求集合的补集，再应用交集的运算即可；
根据集合间的包含关系即可求解．
22.【答案】当 时， 即 ，
，解得 或 ，
所以不等式的解集为 或 ；
因为 对任意的 恒成立，
所以 即 得 ．
所以实数的取值范围为 ；
因为二次函数 在区间 上单调递增，
又因为对称轴为
所以 ，得 ，
所以实数的取值范围为 ．

【解析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可；
由题意可得 ，从而可求出实数 的取值范围；
求出抛物线的对称轴 ，则由题意结合二次函数的性质可得 ，从而可求出实数 的取值范围．
23.【答案】因为函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，
所以 ； ；
设 ，则 ，
因为当 时， ，
所以 ，
因为 是偶函数，
所以 ；
因为 是偶函数，所以 的图象关于 轴对称，
所以将 在 轴左侧的图象关于 轴对称，可得函数 在 轴右侧的图象，
由图象可知 的单调增区间 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 值域为 ．

【解析】根据偶函数的性质和已知的函数解析式直接求解即可；
由偶函数的性质结合已知条件求解；
根据偶函数的对称性作出函数的另一部分图象，结合图象可求出函数的单调增区间和值域．
24.【答案】 为奇函数，理由如下：
时， ，
故 为奇函数；
令 ，则
，
，则 ， ， ， ，
，即 ，
所以 ，
在 上单调递增．
因为 对任意 恒成立，
由知，因为 在 上单调递增，
故 ，
所以 ，则 ，可得 或 ，
所以 ．

【解析】应用奇偶性定义证明 的奇偶性；
由单调性定义证明区间单调性；
问题化为在给定区间内 ，利用单调性求函数最值，再解不等式求参数范围．
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