11.2.1 三角形的内角
【教学任务分析】学
情
分
析
三角形的内角和为1800，这个知识点在小学时学生已经学过，但对这个结论并没有给出严格证明，八年级学生的特点是模仿力强，喜欢动手、思维活跃，但思维往往依赖于直观具体的形象，在这里要让学生运用已经学过的知识进行说理证明，让学生体会数学的严谨性。同时，还要注意指导学生准确、规范地运用辅助线解决问题。
学习与三角形有关的角，是为后面学习多边形及其角的性质和平面图形的镶嵌打基础，所以对于这一部分的知识，教师要让学生在猜想、探究、实验、证明的过程中掌握并运用知识，注意培养学生的推理能力，为以后用符号语言证明几何命题打下坚实基础。
教
学
目
标
知识技能
1．掌握三角形内角和定理及其推理过程；
2．能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题．
数学思考
1．掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题；
2．培养学生观察、实验和进行简单逻辑推理的能力．
解决问题
正确运用三角形的内角和定理,并会用方程思想去解决一些图形中求角的问题．
情感态度
1．通过三角形内角和定理的证明，提高学生的逻辑思维能力，同时培养学生严谨的科学态；
2．通过对定理及推论的分析与讨论，发展学生的求同和求异的思维能力，培养学生联系与转化的辩证思想．
重点
三角形内角和定理．
难点
三角形内角和定理的证明．
教
学
方
法
本节课教学我采用了“探究式”的教学方法，通过问题引入创设情境，将新旧知识相结合，发现问题，并能利用所学知识解决问题，感受数学思维的严谨性，在具体探究中让学生经历分析猜想——动手实践——归纳证明等一系列过程。使学生体会知识的生成过程，同时，利用多媒体辅助教学，有效地利用有限时间，注重运用现代媒体手段辅助教学。
教具及信息技术设备
课件、三角板、三角形纸片若干
【教学流程安排】
活动流程图
活动内容和目的
活动1 动手操作，发现结论
活动2 数学证明，验证结论
活动3 方法赏析，巩固结论
活动4 新知应用, 跟踪小练
活动5 自学指导，例题解析
活动6 课堂小结，布置作业
把问题作为教学的出发点，创设问题情境，激发学生学习兴趣和求知欲。同时让学生体会从特殊到一般的思考问题方法．
培养学生观察、实验和进行简单逻辑推理的能力，初步学会利用辅助线证题，通过三角形内角和定理的证明，提高学生的逻辑思维能力，同时培养学生严谨的科学态．
能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题．
从学生已有的知识出发，结合本节课的学习内容，给学生提供有针对性、有创意的练习题，激发学生的学习兴趣，引导他们在做练习的过程中，自主探索来巩固知识和获得技能，掌握基本的数学思想方法，感受数学研究的思想．
学会总结反思，通过课后作业，及时了解学生对本节知识的掌握情况．
【教学过程设计】
问题与情景
师生行为
设计意图
活动1
问题
（1）以前在小学,我们就已接触了与三角形有关的知识，那三角形的内角和为多少度呢？同学们想知道为什么吗?
（2）在纸片上画任意的三角形⊿ABC（把表示三角形三个顶点的字母标在三角形的内部）动手操作剪下内角拼一拼，你能得到什么结论？
教师提出问题．
学生思考并回答．
教师板书课题．
教师请同学们观看幻灯片，提出问题．
学生各小组按要求亲自动手实验，小组之间互相交流，请学生展示小组拼成的图形，充分讨论得到结论：三角形的三个内角等于180度．
教师板书学生得到的结论．
在活动1中教师应重点关注：
（1）发展学生的观察、动手实践能力；
（2）学生能否在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论．
新课引入的好坏在某种程度上关系到课堂教学的成败，本节课从旧知识切入，特别是从知识体系考虑引入，使学生感觉本节课学习的内容自然合理．
由图中的关系，启发我们画一条什么样的线，作为解决问题的桥梁．
活动2
问题
（1）这是一个文字命题，如何转化为几何命题，结合图形，你能写出已知和求证吗？
（2）请同学们结合幻灯片，交流讨论说明结论为什么成立？
教师指出同学们观察和总结的非常棒，但这只是实验，而观察与实验得到的结论不一定正确，可靠，这样就需要通进数学证明来验正结论是否正确．
学生思考并回答．
教师将图画在黑板上，并巡视指导．
学生总结汇报，说明结论成立的理由．
教师指出同学们表达的十分准确，理由也很充分，但数学还需要书写规范的过程，接下师板演过程（渗透辅助线做法）．
通过引导学生写出题目的条件和结论，提高学生的逻辑思维能力，同时培养学生严谨的科学态．
要让学生知道“辅助线”是以后解决几何问题有力的工具。它的作用在于充分利用条件；恰当转化条件；恰当转化结论；充分提示题目中各元素间的一些不明显的关系，达到化难为易解决问题的目的．
问题与情景
师生行为
设计意图
证明：延长BC，过点C做CD∥AB
有：∠1=∠A ∠B=∠2
因为：
∠1+∠2+∠ACB=1800
所以：
∠A+∠B+∠ACB=1800
在活动2中教师应重点关注：
（1）学生交流合作意识；
（2）学生对辅助线的理解；
（3）学生的推理是否严密．
通过教师的板书，培养学生观察、实验和进行简单逻辑推理的能力．
活动3
问题
同学们还有其他的方法吗？
教师提出问题．
学生在所给卡片上结合自己的能力仿照板书，选择完成证明过程．
教师有选择的展示汇报．
在活动3中教师应重点关注：
（1）学生逻辑思维能力；
（2）学生的求同和求异的思维能力；
（3）联系与转化的辩证思想．
通过对定理及推论的分析与讨论，发展学生的求同和求异的思维能力，培养学生联系与转化的辩证思想．
活动4
问题
（1）下列各组角是同一个三角形的内角吗？为什么？
① 3°， 150°， 27°
② 60°， 40°， 90°
③ 30°， 60°， 50°
（2）填空：
①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= .
②在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=1:2:3，则该三角形是
教师出示多媒体．
学生口答．
教师出示多媒体．
学生回答，互相补充．
能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题．
（1）三角形的内角和等于1800
（2）知道两个角，求第三个角
（3）知道三个角的关系求三个内角
问题与情景
师生行为
设计意图
（3）求出图中x的值
教师出示多媒体．
学生回答，互相补充，并简要说明理由．
在活动5中教师应重点关注：
（1）学生对所学知识的掌握和运用；
（2）学生是否会运用方程思想求解．
通过运用三角形的内角和等于1800，使学生会使用方程思想进行转化．
活动5
问题
例题：如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
教师表扬学生对“三角形内角和为1800”掌握已经非常牢固了，下面请同学们结合所学知识，按照自学指导完成例题的自学任务，比一比，谁理解的最好，并出示课件．
学生依据自学指导独立完成学习．
学生结合图形，语言汇报．
在活动5中教师应重点关注：
（1）学生对所学知识的掌握和运用；
（2）学生与他人交流、合作的意识．
从学生已有的知识出发，结合本节课的学习内容，给学生提供有针对性、有创意的练习题，激发学生的学习兴趣，引导他们在做练习的过程中，自主探索来巩固知识和获得技能，掌握基本的数学思想方法，感受数学研究的思想．
活动6
（1）小结
（2）布置作业
学生思考，试着独立完成本节知识．
教师启发学生进行总结．
在活动6中教师应重点关注：
（1）学生对知识的掌握情况；
（2）几何语言的运用是否准确；
（3）学生能否把数学知识同生活实际紧密联系起来．
总结回顾学习内容，初步学会反思．
鼓励学生在独立思考的基础上，积极地参与到对数学问题的讨论中来，敢于发表自己的观点，尊重理解他人的见解，在交流中获益．
教学评价
本课从定理的发现到定理的应用都有意识地营造一个较为自由的空间，让学生能主动地去观察、猜测、发现、验证，积极地动手、动口、动脑，使学生在学知识的同时形成方法。本节课教学中，授课教师应处处体现以学生为主体的教育教学方式，?主要体现：1、体现“以学生发展为本”的观点2、开放课堂张扬学生的自主能力。
教学反思
还应加强学生对所学知识的综合运用，有利于拓展学生思维，渗透转化与化归思想，这是一个难点，教师要加以引导
课件25张PPT。11.2.1 三角形的内角三角形两边的夹角叫做三角形的内角三角形的内角在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷。同学们，你们知道其中的道理吗？内角三兄弟之争如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度?想一想:任意三角形的三个内角之和也为180度吗?思考与探索三角形的三个内角和是多少?把三个角拼在一起试试看？你有什么办法可以验证呢?从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?180°实践操作21EDCBA三角形的内角和等于1800.延长BC到D，于是CE∥BA (内错角相等，两直线平行).∴∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等).∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°在△ABC的外部，以CA为一边，CE为另一边作∠1=∠A，证法一21EDCBA三角形的内角和等于1800.延长BC到D，过C作CE∥BA，∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等)∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°证法二F21ECBA三角形的内角和等于1800.过A作EF∥BC，∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等) ∠C=∠1(两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°证法三CBEA三角形的内角和等于1800.过A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE(两直线平行,内错角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°证法四 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。 为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.思路总结(口答)下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?（2）60°， 40°， 90°（3）30°， 60°， 50°（1）3°， 150°， 27° （是 ）（ 不是）（ 不是）巩固练习（1）在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °
则∠ C= .
（2）在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4
则∠A = ∠ B= ∠ C= . （3）一个三角形中最多有 个直角？为什么？
（4）一个三角形中最多有 个钝角？为什么？
（5）一个三角形中至少有 个锐角？为什么？
（6）任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少为 .102 °80 °60 °40 °60°211应用新知ABC在直角三角形ABC中,∠C＝90°，由三角形内角和定力，得,
∠A +∠B+ ∠C=180°
即
∠A +∠B+ 90°=180°，
所以
∠A +∠B= 90°.例题讲解1也就是说，
直角三角形的两个锐角互余.由三角形内角和定理可得：
有两个角互余的三角形是直角三角形。 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC也可以写成Rt△ABC.ABC已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A ,
BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。解：设∠A＝x0，则∠ABC＝∠C＝2x0∴x＋2x＋2x＝180（三角形内角和定理）解得x＝36∴∠C＝2×360＝720∴∠DBC＝1800－900－720（三角形内角和定理）在△BDC中，∵∠BDC＝900
(三角形高的定义）∴∠DBC＝180?例题讲解2如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。求下面各题.（1）∠DAC＝_____ ∠DAB＝______ ∠EBC＝_______ ∠CAB ＝ ______ A(2)从C岛看A 、B两岛的视角∠C是多少?50°80°40°北解：∵ AD∥BE
∴ ∠DAB﹢∠ABE＝180° ∴ ∠ABE ＝ 180°－∠DAB ＝ 180° － 80° ＝100° 在△ABC中,∠C ＝ 180° － ∠CAB － ∠ABC＝ 180°－30 °－60 °＝90°∴ ∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE30 °＝100°﹣40°＝60°例题讲解3DCE北A50°∟B40 °北MN在△AMC中 ∠AMC=90°, ∠MAC=50°解：过点C画MN⊥AD分别交AD、BE于点M、N12例:如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。∴∠1=180 °-90°-50° =40°∵ AD∥BE∴ ∠AMC+ ∠BNC =180 °∴ ∠BNC =90°同理得∠2 =50°∴ ∠ACB =180 ° -∠1 -∠2=180 °-40°-50° =90°例题讲解3B 你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？1250°40°解： 过点C画CF∥AD ∴ ∠1＝∠DAC＝50 °, F∵ CF∥AD, 又AD ∥BE∴ CF∥ BE∴∠2＝∠CBE ＝40 °∴ ∠ACB＝∠1﹢∠2 ＝50 °﹢ 40 ° ＝90 °例题讲解3解：在△ACD中 ∠CAD ＝30 ° ∠D ＝90 °∴ ∠ACD =180 ° -30 ° -90 °=6 0 °在△BCD中 ∠CBD = 45 ° ∠D ＝90 ° ∴ ∠BCD = 180 °- 90°-45 °=45 °∴ ∠ACB = ∠ACD - ∠BCD = 6 0 °- 45 °=15°巩固练习1.如图,从A处观测C处时仰角∠CAD＝30°,从B处观测C处时仰角∠CBD＝45°.从C处观测A、B两处时视角∠ACB是多少?2.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ( )(A)带①去 (B)带②去 (C)带③去 (D)带①和②去C巩固练习3.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,则△ABC是( )
A、锐角三角形 B、直角三角形
C、钝角三角形 D、等腰三角形4. 一个三角形至少有（ ）
A、一个锐角 B、两个锐角
C、一个钝角 D、一个直角BB巩固练习5. 如图△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,
∠A＝70°,∠ADE＝50°, 求∠BDC的度数.解:∵∠A＝70° ∴∠ACB=180 °-∠A-∠B=180°-70°-50°=60°∵DE//BC∴∠B=∠ADE＝50°∵ CD平分∠ACB巩固练习甲楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12点,太阳光线与水平面夹角为450,如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应是多少？甲乙450？45016米解:由题意知ABC∴BC=AB=16答:两楼的距离是16米.拓展与思考12、在△ＡＢＣ中，如果 ∠Ａ= ∠B= ∠ C，那么△ＡＢＣ是什么三角形？解:设∠A=x°,那么∠B=2x°,∠C=3x°根据题意得:解得∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°所以△ＡＢＣ是直角三角形拓展与思考2小结1、三角形的内角和：三角形三个内角之和为180°2、由三角形内角和等于180°，可得出(1)直角三角形两锐角互余；(2)一个三角形最多有一个直角或钝角；(3)任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；(4)一个三角形中至少有一个角小于或等于60°
