高中数学人教A版（2019）必修 第一册 5.2.2同角 三角函数的基本关系式（共25页ppt）

(共25张PPT)
第5章 三角函数
5.2 三角函数的概念
5.2.2 同角三角函数的基本关系式
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式的推导及应用； 1.直观想象素养.
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 2.数学运算素养、逻辑推理素养.
温故知新
－32°
1. 三角函数的定义1.
设α是一个任意角，点P(x, y)是α的终边与单位圆的交点，则
2. 三角函数的定义2.
设α是一个任意角，在α的终边上任取(异于原点的)一点P(x, y)，P与原点的距离为
温故知新
3.三角函数值在各象限的符号
口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦
4.诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数值相等
其中k∈z.
新知探究
公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？
因为三个三角函数值都是由终边与单位交点所唯一确定，所终边相同的角三个三角函数值一定内在联系.
如图，设点是角的终边与单位圆的交点.过作轴的垂线，交轴于，则是直角三角形，而且由勾股定理有
因此，即
显然，当的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立.
新知探究
根据三角函数的定义，当时，有
同角三角函数的基本关系式
平方关系：
商数关系：
这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.
新知探究
同角三角函数的基本关系式
平方关系：
商数关系：
同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.
注意：(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立,sin23α＋cos22α＝1就不成立.
(2)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立.
新知探究
思考1.对于平方关系可作那些变形？
; ;
; ;
; .
思考2.对于商数关系可作那些变形？
= ; = .
新知形成
【例1】已知，求的值.
解：
∵
∴是第三或第四象限角
由得
如果是第三象限角，那么,于是
从而 .
如果是第三象限角，那么
.
变式1：已知，求，的值.
新知形成
变式2：已知，求，的值.
解：
∵
∴是第一或第三象限角
由，得
由，可得
即，
若是第一象限角，则，
若是第三象限角，则，
新知形成

知道其中一个值，就可以求出另外两个值.
方程(组)思想
“知一求二”问题
新知形成
求同角三角函数值的一般步骤：
1.根据已知三角函数值的符号，确定角所在象限；
2.对角所在象限进行分类讨论；
3.利用两个基本关系式求出其他三角函数值；
4.根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号，进而求出其三角函数值.
新知探求
【例2】求证：
证法1：
由，知,所以,于是
左式==
=
==右式
今后，除特殊注明外，我们假定三角恒等式是在使两边都有意义的情况下的恒等式.
所以，原式成立.
新知探求
【例2】求证：
证法2：
且
因为)
=
=
所以，.
新知探求
【例2】求证：
证法3：
=
=
=
所以，.
新知探求
恒等式证明的基本思路 ：
1.从一边开始证明它的另一边，一般由繁到简，通过恒等式变形得到另一个式子，例2证法1.
2.考虑选取与原式等价的式子，通过等价转化推出原式，例2证法2.
3.作差比较大小，例3证法3.
新知探求
【例3】已知,求下列各式的值:
⑴； ⑵.
解：
⑴由已知得
即
∴.
⑵
又因为,
所以,.
则.
拓展：在条件不变的情况下，求 的值.
初试身手
1.已知，且为第二象限角，则= .
2.已知 ，则= .
解：
则.
解：
∵，且为第二象限角，
∴
∵
∴
由得
即，.
又∵，
∴.
初试身手
3.已知,则= .
4.已知，,则= .
解：
∵, ∴为第四象限角，
即,
由，得，即.
解得.
解：
又∵
∴.
初试身手
5.求证：
∴.
左式==右式
证法1：
∵
∴原式成立.
证法2：
课堂小结
1.同角三角函数的基本关系式
平方关系：
商数关系：
同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.
2.同角三角函数的基本关系式的应用
①知一求二；
②恒等式证明.
3.数学思想方法
①分类讨论思想；
②方程（组）思想.
作业布置
作业：p185-186 习题5.2 第6⑵⑷，11，12，14⑴⑷，15题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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