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浙教版2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟卷（1）
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若抛物线的开口向下，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】抛物线 的开口向下，
a<0，
A,B,C不符合题意，故D符合题意，
故答案为：D.
2．从1~9这几个自然数中任取一个，是2的倍数或是3的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 1~9这几个自然数中任取一个 共有9种等可能结果，
∴是2的倍数或是3的倍数有2，4，6，8，9，共6个，
∴是2的倍数或是3的倍数的概率是，
故答案为：C.
3．如图，在⊙O中，∠BOC＝50°，则∠A的度数是（ ）
A．50° B．25° C．40° D．35°
【答案】B
【解析】∠BOC与∠A为同弧所对的圆心角与圆周角
∵∠BOC=50°，∴∠A=25°
故答案为：B
4．已知x：y=5：2，则下列各式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 x：y=5：2 ，可设x=5k，y=2k，
A、 ，正确，故不符合题意；
B、 ， 正确，故不符合题意；
C、 ， 正确，故不符合题意；
D、 ，错误，故符合题意；
故答案为：D.
5．在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵cos∠B=，∠B=35°，AB=7，
∴BC=AB·cos∠B=7cos35°.
故答案为：B.
6．新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．﹣2 B． C．﹣2或2 D．2
【答案】C
【解析】由题意可得：二次函数的解析式为：，
∴，
解得：，，
综上所述：m的值为：-2或2，
故答案为：C.
7．如图，AB为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长DE交于点F．若，，则的直径长为（ ）
A． B．8 C．10 D．
【答案】B
【解析】如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE=EF，，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
设OA=OF=x,
在Rt△OEF中，，
解得，x=4，
AB=2x=8.
故答案为：B.
8．如图，在△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC．若AG=3，GC=4，则BG的长为（ ）．
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【解析】延长BG，交AC于点D，
∵AG⊥GC，∴∠AGC=90°，
∵AG=3，GC=4，∴AC==5，
∵G是三角形ABC的重心，∴点D是线段AC的中点，
∴GD=AC=，
∴BG=2CG=2×=5．
故答案为：A.
9．已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】二次函数对称轴为，
由题意得，二次函数经过点，，，
结合图象可知：①当时，最小值为时y的值，最大值为5；
②当时，最小值为，最大值为5；
③当时，最小值为，最大值为时y的值；
∴m的取值范围是.
故答案为：D.
10．晚上，小亮走在大街上时发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为，左边的影子长为，又知自己身高，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为，则路灯的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示：
设小亮离右边的路灯为ym，则离左边的路灯为（12-y）m，路灯高为xm，
∵AB⊥BC，GH⊥BC，EC⊥BC，
∴△FHG∽△FCE，△KHG∽△KBA，
∴，
∴，
∴，
解得：y=4，
∴，
解得：x=6.6，
∴路灯的高为6.6m，
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．二次函数图象与轴的交点坐标为 .
【答案】（-1，0），（1，0）
【解析】令，得，
解得：，
∴二次函数图象与轴的交点坐标为（-1，0），（1，0），
故答案为：（-1，0），（1，0）.
12．在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为 .
【答案】10
【解析】根据题意得
，
解得：，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
故答案为：10.
13．已知点C是线段的黄金分割点，且，，则的长度是
【答案】
【解析】∵点C是线段的黄金分制点，且，，
∴.
故答案为：.
14．如图，已知大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，那么 .
【答案】
【解析】∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴大正方形的边长是5，小正方形的边长是1，
设三角形的长直角边为a，短直角边为b，
由题意得： ，，
解得：，， （负根舍去）
∴，
故答案为：.
15．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率，方法如图：作正六边形ABCDEF内接于，取的中点G，与交于点H；连接、；依次对剩余五段弧取中点可得一个圆内接正十二边形，记正十二边形的面积为，正六边形的面积为，则 .
【答案】
【解析】设半径为，
由条件可得：为等边三角形，且面积为正六边形的，
易求得：，
.
由条件可得：中为底，为高，且面积为正十二边形的，
，，
，
，
.
故答案为：.
16．如图，线段是的直径，弦于点H，点是弧上任意一点（不与B，C重合），，.延长线段交的延长线于点E，直线交于点N，连结交于点F，则 ， .
【答案】2.5；4
【解析】连接.
∵，
∴，
设，则，
在中，
∵，
∴，
∴，即；
连接.
∵是直径，
∴，
，
，
，
，
故答案为：2.5，4.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．
（1）计算：.
（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标.
【答案】（1）解：原式
（2）解：当时，，
∴，，
∴与x轴的交点为和.
18．甲、乙、丙三名同学玩石头剪刀布游戏，规则如下：若其中两人出的手势相同，另一人不同，则按以下方式分胜负：石头赢剪刀、剪刀赢布、布赢石头；其他情况则为平局.
（1）甲同学决定随机出一个手势，则他出的手势为剪刀的概率为 .
（2）若甲同学出的是剪刀，请用画树状图或列表的方法，求甲同学获胜的概率.
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知总共有9种情况，其中甲获胜的有3种情况，故概率为.
【解析】（1）解：由题意得：他出的手势为剪刀的概率为；
故答案为；
19．图1，图2分别是某超市购物车的实物图与示意图，小江获得了如下信息：，，，，，，，.请根据以上信息，解决下列问题.（结果精确到，参考数据：，，）
（1）求点D到所在直线的距离.
（2）求的长度.
【答案】（1）解：如图，过点D作于点N，交AE的延长线于点M，交BC的延长线于点P，过点C作于点H.
在中，
，，
.
在中，
，，
.
，，
四边形和四边形为矩形，
（2）解：在中，
，，
.
，
在中， ，，
.
.
20．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点.
（1）求的值.
（2）若二次函数的顶点为，求的最大值.
【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴
（2）解：∵二次函数的顶点为，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值为-3
21．如图，在中，于点D，点E在上（不与点A，B重合），连接交于点F，.
（1）求证：.
（2）若，，，求的长.
【答案】（1）证明：，，
，
，
，
，
，，
；
（2）解：，，
，
∵，，
，
由（1）得，
，
，
∴.
22．2022年中国成功举办了冬奥会和残奥会，吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品.某商家以每套30元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件.若该产品每套的售价是40元时，每天可售出120套；若每套售价提高1元，则每天少卖2套.
（1）设每套售价定为x元，则该商品当天的销售量为 件；
（2）设每天销售该套件所获利润为W元，求每套售价定为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）(-2x+200)
（2）解：由题意，得
，
∵，
∴当时，W最大，最大值为，
故每套售价定为元时，利润最大，最大利润是元.
【解析】（1）由题意得：设每套售价定为x元，
则该商品当天的销售量为件，
故答案为：；
23．如图
（1）【基础巩固】如图1，和都是等边三形，点B、D、E在同条直线上，与交于点F.求证：.
（2）【尝试应用】
如图2，在（1）的条件下，若，求的长度.
（3）【拓展提高】
如图3，在平行四边形ABCD中，，，，求的值.
【答案】（1）证明：和都是等边三角形，
，
A，B，C，E四点共圆，，
，
，
（2）解：是等边三角形，
，
，
，，
，
，，
，
，
在和中，，，
，
，，
，
设，，
，，解得，
.
（3）解：如图添加辅助线，构造以为边的等边，连接，过点B作交的延长线于点M，
，是正三角形，
，
，
在和中， ，，
，，，
，，，
设，，
则，
解得，
，
在中，，
，，
.
24．如图1，C、D是以为直径的上的点，且满足，点P在上，交于点M，交于点G，交于点N，交于点H.
（1）求的度数.
（2）如图2，当点P是的中点时，
①求证：是等腰三角形.
②求的值.
（3）如图1，设，与的面积差为y，求y关于x的函数表达式.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴.
（2）解：①∵P是的中点，是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形.
②∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴.
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴.
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴.
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浙教版2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟卷（1）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若抛物线的开口向下，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
2．从1~9这几个自然数中任取一个，是2的倍数或是3的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在⊙O中，∠BOC＝50°，则∠A的度数是（ ）
A．50° B．25° C．40° D．35°
（第3题） （第7题） （第8题） （第10题）
4．已知x：y=5：2，则下列各式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．﹣2 B． C．﹣2或2 D．2
7．如图，AB为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长DE交于点F．若，，则的直径长为（ ）
A． B．8 C．10 D．
8．如图，在△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC．若AG=3，GC=4，则BG的长为（ ）．
A．5 B．6 C．8 D．10
9．已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．晚上，小亮走在大街上时发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为，左边的影子长为，又知自己身高，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为，则路灯的高为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．二次函数图象与轴的交点坐标为 .
12．在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为 .
13．已知点C是线段的黄金分割点，且，，则的长度是
14．如图，已知大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，那么 .
（第14题） （第15题） （第16题）
15．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率，方法如图：作正六边形ABCDEF内接于，取的中点G，与交于点H；连接、；依次对剩余五段弧取中点可得一个圆内接正十二边形，记正十二边形的面积为，正六边形的面积为，则 .
16．如图，线段是的直径，弦于点H，点是弧上任意一点（不与B，C重合），，.延长线段交的延长线于点E，直线交于点N，连结交于点F，则 ， .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．（1）计算：.
（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标.
18．甲、乙、丙三名同学玩石头剪刀布游戏，规则如下：若其中两人出的手势相同，另一人不同，则按以下方式分胜负：石头赢剪刀、剪刀赢布、布赢石头；其他情况则为平局.
（1）甲同学决定随机出一个手势，则他出的手势为剪刀的概率为 .
（2）若甲同学出的是剪刀，请用画树状图或列表的方法，求甲同学获胜的概率.
19．图1，图2分别是某超市购物车的实物图与示意图，小江获得了如下信息：，，，，，，，.请根据以上信息，解决下列问题.（结果精确到，参考数据：，，）
（1）求点D到所在直线的距离.
（2）求的长度.
20．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点.
（1）求的值.
（2）若二次函数的顶点为，求的最大值.
21．如图，在中，于点D，点E在上（不与点A，B重合），连接交于点F，.
（1）求证：.
（2）若，，，求的长.
22．2022年中国成功举办了冬奥会和残奥会，吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品.某商家以每套30元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件.若该产品每套的售价是40元时，每天可售出120套；若每套售价提高1元，则每天少卖2套.
（1）设每套售价定为x元，则该商品当天的销售量为 件；
（2）设每天销售该套件所获利润为W元，求每套售价定为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？
23．如图
（1）【基础巩固】如图1，和都是等边三形，点B、D、E在同条直线上，与交于点F.求证：.
（2）【尝试应用】
如图2，在（1）的条件下，若，求的长度.
（3）【拓展提高】
如图3，在平行四边形ABCD中，，，，求的值.
24．如图1，C、D是以为直径的上的点，且满足，点P在上，交于点M，交于点G，交于点N，交于点H.
（1）求的度数.
（2）如图2，当点P是的中点时，
①求证：是等腰三角形.
②求的值.
（3）如图1，设，与的面积差为y，求y关于x的函数表达式.
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