21.2.2 公式法课件(共19张PPT)2023-2024学年人教版九年级数学上册

(共19张PPT)
第二十一章 一元二次方程
21.2.2 公式法
21.2 解一元二次方程
1.知道一元二次方程根的判别式和求根公式的推导过程.
2.会用根的判别式判断方程根的情况,能熟练地运用公式法求解一元二次方程.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
一元二次方程的一般形式是什么呢？
ax2+bx+c=0（a≠0）
如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
我们可以根据用配方法解一元二次方程的经验来解决这个问题.
移项，得 ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得
配方，得
即
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
因为a≠0，4a2>0，式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（2）当 时，一元二次方程 有实数根．
（1）当 时，一元二次方程 有实数根．
（3）当 时，一元二次方程 没有实数根．
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
一般地，式子 b2-4ac 叫做方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 根的判别式.通常用希腊字母△表示它，即△= b2-4ac.
由上可知
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△=0时，方程有两个相等的实数根；
当△＜0时，方程无实数根.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
当△≥0时，方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的实数根可写为：
这个式子叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式.求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的结果.
解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
例1．用公式法解方程：
（1） 3x2-6x+1=2
解：(1) 方程化为3x2-6x-1=0
a=3，b=-6，c=-1，
△= b2-4ac=（-6）2-4·3·（-1）=48>0
方程有两个不等的实数根
即x1= ，x2=
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
（2）x2+5x+18=3（x+4）
解：(2) 方程化为x2+2x+6=0
a=1，b=2，c=6，
△= b2-4ac=22-4·1·6=-20<0
∴原方程无实数根．
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
归纳总结
利用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将一元二次方程整理成一般形式；
（2）确定公式中a、b、c的值；
（3）求出△= b2-4ac的值；
（4）当△≥0时，将a、b、c的值及b2-4ac的值代入求根公式即可；
当△＜0时，方程无实数根.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
1.解方程
（1）x2+2 x-10=0
解：(1) a=1，b=2 ，c=-10，
△= b2-4ac=（2 ）2-4·1·（-10）=60>0
方程有两个不等的实数根
即x1= ，x2=
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
（2）2x（x-3）=x2-1．
解：(1) 方程化为x2-6x+1=0
a= 1，b= -6，c= 1，
△= b2-4ac=（-6）2-4·1·1=32>0
方程有两个不等的实数根
即x1= ，x2=
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
归纳总结
运用公式法解一元二次方程时要注意：
(1)方程要化为一般形式；
(2)确定系数时要包含各项前面的符号；
(3)先确定判别式的符号再将其代入求根公式．
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
例2．解下列关于x的方程: x2-（m+1）x+m=0．
解：当m=0时，-x+0=0，解得，x=0；
当m≠0时，a= ，b= -（m+1），c= m，
△= b2-4ac=[-（m+1）]2-4· ·m
=m2＋2m＋1-m2＝2m＋1
当2m＋1>0时，方程有两个不等的实数根
当2m＋1=0时，x1=x2
当2m＋1<0时，原方程无解.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
解：将原方程化为一般形式:x2-3mx+（2m2-mn-n2）=0,
a= 1，b= -3m，c= 2m2-mn-n2，
△= b2-4ac=（-3m）2-4·1·（2m2-mn-n2）
=m2＋4mn＋4n2＝（m＋2n）2>0
方程有两个不等的实数根
即x1= ，x2=
2.解下列关于x的方程:x2-m(3x-2m+n)-n2=0 (其中m、n＞0) .
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
例3.在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，
所以Δ=b2－4ac=（b+2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0.
（b+4）2=36，b+4=±6，所以b=-10(舍去)或b=2.
因为b=2，a=5，等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c；
当b=c=2，a=5，三边不能构成三角形；
当a=c=5，b=2，三边可以构成三角形.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
△ABC 的周长为5+5+2=12.
归纳总结
方程有两个实数根 Δ≥0
方程有两个不相等的实数根 Δ>0
方程有两个相等的实数根 Δ=0
方程没有实数根 Δ<0
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
3.已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值.
解：（1）Δ=b2-4ac=4-4(2k-4)=20-8k.
∵方程有两个不相等的实根,∴20-8k > 0，∴ k<
（2）∵k为正整数,∴0∴x1=-1+ ，x2=-1-
∵方程的根为整数，∴5-2k为完全平方数.
当k=1时，5-2k=3，当k=2时，5-2k=1；∴k=2.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
公式法
求根公式的推导过程
公式法解一元二次方程的一般步骤
判别式判定一元二次方程根的情况
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析