21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(共19张PPT)2023-2024学年人教版九年级数学上册

(共19张PPT)
第二十一章 一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
21.2 解一元二次方程
1.会求一元二次方程的两根之和与两根之积.
2.能利用根与系数的关系求代数式的值,增强综合应用知识解决问题的能力.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是什么？
求根公式不仅表示可以由方程的系数a、b、c决定根的值.而且反映了根与
系数之间的联系.一元二次方程根与系数之间的关系还有其他的表现方式吗？
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
从因式分解法可知，方程（x-x1）（x-x2）=0（x1、x2为已知数）的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1、x2与p、q之间的关系吗？
把方程（x-x1）（x-x2）=0的左边展开，化为一般形式，得方程
x2-（x1+x2）x+x1x2=0
这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-（x1+x2），常数项q=x1x2.
于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：
x1+x2=-p，x1x2=q
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，二次项的系数a未必是1，它的两个根的和、积又有怎样的关系呢？
由此可得
根据求根公式可知,
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
因此，方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系:
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
注意：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
把 ax2+bx+c=0（a≠0）的两边同除以a，能否得出该结论？
想一想
∵ ax2+bx+c=0（a≠0）的两边同除以a
得
又∵x2-（x1+x2）x+x1x2=0
∴-（x1+x2）= ，x1x2=
可得 x1+x2= ，x1x2=
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
例1．根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根x1、x2的和与积.
（1） x2-4x-5=0 （2）2x2+6x-1=0
解：(1) = -（-4）=4； = -5
（2） = = -3 ； =
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
归纳总结
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
⑵在使用x1+x2=－ 时，注意“－ ”不要漏写.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
1.关于方程x2+2x-4=0的根的情况，下列结论错误的是（　　）
A.有两个不相等的实数根
B.两实数根的和为-2
C.没有实数根
D.两实数根的积为-4
C
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
2.若x1+x2=3，x12+x22=5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A.x2-3x+2=0 B.x2+3x-2=0
C.x2+3x+2=0 D.x2-3x-2=0
解：∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2-2x1x2=5，
而x1+x2=3，∴9-2x1x2=5，
∴x1x2=2，∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2-3x+2=0．
A
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
例2．已知a、b是方程x2+2x-5=0的两根，不解方程求：
(1) 的值
(2)a2+3a+b的值．
解：（1）
（2）a2+3a+b=(a2+2a)+(a+b)=5-2=3
注意：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
典型例题
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学习目标
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概念剖析
归纳总结
用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值
典型例题
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概念剖析
3.已知a、b（a＞b）是方程x2-5x+4=0的两个不相等的实数根，求 的值．
解：
∵a、b（a＞b）是方程x2-5x+4=0的两个不相等的实数根，
∴a+b=5，
∴原式=a+b=5．
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
例3.已知关于x的方程kx2-3x+1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
解：（1）当k=0时，原方程为-3x+1=0，解得：x
∴k=0符合题意；
当k≠0时，原方程为一元二次方程，
∵该一元二次方程有实数根，
∴△=（-3）2-4×k×1≥0，解得：k≤
综上所述，k的取值范围为k≤
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
（2）∵x1和x2是方程kx2-3x+1=0的两个根，
∴x1+x2= ，x1x2=
∵x1+x2+x1x2=4，
∴ + =4
解得：k=1，
经检验，k=1是分式方程的解，且符合题意．
∴k的值为1．
典型例题
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概念剖析
例3.已知关于x的方程kx2-3x+1=0有实数根．
（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2=4时，求k的值．
4.已知关于x的一元二次方程x2-2（a-1）x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根x1，x2
（1）若a为正整数，求a的值；
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-2（a-1）x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，
∴△=[-2（a-1）]2-4（a2-a-2）＞0，
解得：a＜3，
∵a为正整数，
∴a=1，2；
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
（2）若x1，x2满足x12+x22-x1x2=16，求a的值．
解：（2）∵x1+x2=2（a-1），x1x2=a2-a-2，
∵x12+x22-x1x2=16，
∴（x1+x2）2-3x1x2=16，
∴[-2（a-1）]2-3（a2-a-2）=16，
解得：a1=-1，a2=6，
∵a＜3，∴a=-1．
典型例题
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概念剖析
一元二次方程的根与系数的关系
方程ax2+bx+c=0（a≠0）：
方程x2+px+q=0： x1+x2=-p，x1x2=q
方程（x-x1）（x-x2）=0： x2-（x1+x2）x+x1x2=0
典型例题
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