21.2.1 配方法 第2课时课件(共19张PPT)2023-2024学年人教版九年级数学上册

(共19张PPT)
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 配方法
第2课时
1.知道配方法的概念,能运用配方法解一元二次方程.
2.通过用配方法将一元二次方程进行变形,进一步体会转化的思想方法.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
复习回顾
降次
直接开平方法
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
我们已经学会解形如 .因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程.那么，能否将x2+6x+4=0转化为可以直接降次的形式再求解呢？
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
解方程 x2+6x+4=0的过程可以用下面的框图表示：
x2+6x+4=0
x2+6x=-4
移项
两边加9（即 ）使左边配成x2+2bx+b2的形式
x2+6x+9=-4+9
左边写成完全平方形式
（x+3）2=5
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
降次
解一次方程
x+3=±
x+3= ，或x+3=
x1= -3 + ，x2=-3
（x+3）2=5
可以验证，x=-3± 是方程
x2+6x+4=0的两个根.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
以上解法中，为什么在方程x2+6x+4=0两边加9？加其他数可以吗？
想一想
根据完全平方公式：9是一次项系数6一半的平方，加9正好与x2+6x能够配成x2+6x+9=（x+3）2，加其他数不行.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
例1．解方程：
（1） x2+6x=-7 （2）2x2-4x-6=0
解：(1) 配方，得x2+6x+9=-7+9，
（x+3）2=2，
由此可得x+3=±
x1=-3+ ，x2=-3-
（2）移项，得2x2-4x=6，
二次项系数化为1，得 x2-2x=3，
配方，得（x-1）2=3+1
由此可得x-1=±2
x1=3，x2=-1；
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
移项
二次项系数化为1
配方
直接开平方
方程左边为二次项和一次项，右边为常数项
左右两边同时除以二次项系数
方程两边都加上一次项系数一半的平方
如果右边是非负数直接开平方求出方程的解
归纳总结
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
1.解方程
（1）2x2-4x-1=0
解：（1）移项，得2x2-4x=1，
二次项系数化为1，得x2-2x=
配方，得（x-1）2=
由此可得x-1=
x1= ，x2=
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
（2） x2-6x-7=0
（2）移项，得 x2-6x=7
二次项系数化为1，得x2-12x=14
配方，得（x-6）2=50
由此可得x-6=
x1= 6+ ，x2=6-
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
2.小明在解方程x2-2x-1=0时出现了错误，其解答过程如下：
x2-2x=-1　　　　　　　　　　　　（第一步）
x2-2x+1=-1+1　　　　　　　　　（第二步）
（x-1）2=0　　　　　　　　　　　（第三步）
x1=x2=1　　　　　　　　　　　 （第四步）
（1）小明解答过程是从第____步开始出错的，其错误原因是____________;
解：（1）一；不符合等式的性质1；
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
（2）请写出x2-2x-1=0正确的解答过程．
解：（2）移项，得 x2-2x=1
配方，得（x-1）2=1+1
由此可得x-1=
x1= 1+ ，x2=1-
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
例2．解方程：3x2﹣6x+4 =0.
解：移项，得3x2﹣6x =﹣4
二次项系数化为1,得x2﹣2x =﹣
配方，得,x2﹣2x+12 =﹣ +12
(x-1)2=﹣
4
3
4
3
1
3
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)2 都是非负数，该式都不成立，即原方程无实数根.
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成（x+n）2=p 的形式，
那么就有：
（1）当p>0时，方程有两个不等的实数根 x1=-n- ,x2=-n+ ；
（2）当p=0时，方程有两个相等的实数根：x1=x2=-n；
（3）当p<0时，因为对任意实数x，都有（x+n）2≥0，所以方程无实数根
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
3.已知关于x的方程3x2-6x+3p=0，其中p是常数．请用配方法解这个一元二次方程．
解：x2-2x=-p，
x2-2x+1=1-p，
（x-1）2=1-p，
当1-p＞0，即p＜1时，x-1=± ，所以x1=1+ ，x2=1-
当1-p = 0，即p=1时，x-1=0，所以x1=x2=1；
当1-p＜0，即p＜1时，方程无实数根．
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
例3.用配方法求证:代数式﹣10x2+7x﹣4的值恒小于0.
证明：原式=﹣10(x2﹣ x)﹣4
7
10
=﹣10［x2﹣ x+ ］﹣4+
7
10
7
20
( )2
49
40
=﹣10(x﹣ )2﹣
7
20
111
40
∵10(x﹣ )2 ≥0
7
20
∴﹣10(x﹣ )2 ≤0
7
20
即﹣10(x﹣ )2﹣ ＜0
7
20
111
40
故代数式﹣10x2+7x﹣4的值恒小于0.
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
4.证明:对于任意实数x,代数式-3x2-x+1的值都不大于 .
证明:∵-3x2-x+1=-3(x2+ x)+1=-3(x2+ x+ )+ =-3(x+ )2+
又∵(x+ )2≥ 0
∴-3(x+ )2≤ 0
∴-3(x+ )2+ ≤
∴对于任意实数x,代数式-3x2-x+1的值都不大于 .
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
配方法
配方法解一元二次方程的基本思路
配方法解一元二次方程的一般步骤
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析