24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共16张PPT) 2023-—2024学年人教版数学九年级上册

(共16张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形；
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单
的计算、证明和作图问题；（重点）
3. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
问题引入：
如图，剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？你能证明你的结论吗？
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
（一）圆的对称性
问题 1：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？有多少条对称轴.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
圆是轴对称图形
O
圆的对称轴是经过圆心的直线
圆的对称轴有无数条
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
归纳：圆的任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
O
O
O
（二）垂径定理
问题 1：如图，AB 是 ⊙ O 的一条弦，作直径 CD，使 CD ⊥ AB，垂足为 E．
（1）所作的图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧？为什么？
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
（2）线段： AE = BE
解：（1）是；直径CD所在的直线是它的对称轴
·
O
A
B
C
D
E
弧: AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
直径 CD 平分弦 AB ，并且平分 和
AB
(
ACB
(
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
·
O
A
B
C
D
E
思考：你能尝试叙述这个结论吗？
发现： AE = BE，
理由：把圆沿着直径 CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合，AE 与 BE 重合， 、 分别与 、 重合．
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB
符号语言：
∴ AE = BE，
归纳总结
推论：平分这条弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
1. “不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
·
O
A
B
C
D
① CD是直径，② CD⊥AB，③ AE = BE；
⌒
⌒
④ AC = BC，⑤ AD = BD.
⌒
⌒
2. 如果具备下面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？
思考
·
O
A
B
C
D
E
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
试一试：
1.下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是， 因为CD没有过圆心
注意：垂径定理的本质：
（1）过圆心 ；（2）垂直于弦；（3）平分弦；
（4）平分弦所对的优弧；（4）平分弦所对的劣弧.
满足其中任两条，
必定同时满足另三条
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
能运用垂径定理的几个基本图形:
归纳总结
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
例 1：赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
（一）垂径定理
37.4
7.2
R
D
分析：如图，用弧AB表示主桥拱，则弦AB即是跨度，设 所在圆的圆心为O，半径为R；
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弦AB相交于点C；
根据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高．
AB
(
AB
(
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
已知：弦 AB = 37.4m，拱高 CD 为 7.2 m，求赵州桥主桥拱的半径 R.
18.7
R–7.2
37.4
7.2
R
D
R
解得：R ≈ 27.9 ；
在 Rt△OAD中，由勾股定理，得：
即：R2 = 18.72 + (R – 7.2)2，
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m.
OA2 = AD2 + OD2
OD = OC – CD = R – 7.2
弦 AB = 37.4 m，CD = 7.2 m，
解：如图，设半径为 R，
则： （m），
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
2. 如图，在 ⊙ O 中，弦 AB 的长为 8 cm，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3 cm，求 ⊙ O 的半径．
·
O
A
B
E
解：连接AO，作 OE ⊥ AB 于点 E，
答：⊙O的半径为5 cm.
在 Rt△AOE 中，
得：
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
在圆中有关弦长 a，半径 r， 弦心距 d（圆心到弦的距离）的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
方法归纳
1. 涉及垂径定理的辅助线添加：
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
垂径定理：
（1）内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）推论：一条直线满足：① 过圆心；② 垂直于弦；
③ 平分弦（不是直径）；④ 平分弦所对的优弧；⑤ 平分弦所对的劣弧；
满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
（3）辅助线：两条辅助线：连半径，作弦心距；
（4）基本图形及变式图形：构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.