24.1.4 第1课时 圆周角定理 课件(共16张PPT) 2023-2024学年人教版九年级数学上册

(共16张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角 第1课时
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系，并能运用圆周角定理解决简单
的几何问题.（重点）
3.理解并掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
回顾：
1. 你能简述圆心角的定义吗
顶点在圆心的角叫圆心角.
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 ．
2. 同圆或等圆中圆心角、弦、弧三者的关系是什么
O
B
C
思考：圆心角顶点发生变化时，我们能得到几种情况
说一说：图中的变化后的 ∠BAC 的顶点 A 各在圆的什么位置？角的两边和圆是什么关系？
B
C
A
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
（一）圆周角的定义及性质
圆周角定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫圆周角；如图 ∠BAC.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
圆周角的特点：
（1）角的顶点在圆上；
（2）角的两边都与圆相交.
O
B
A
C
注意：BC 所对的圆心角只有一个，但圆周角有无数个.
(
圆周角性质：
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
O
A
B
C
解：∵ ∠AOC是△ABO的外角，∴ ∠AOC = ∠B + ∠A；∵ OA = OB，∴ ∠A = ∠B；
∴ ∠AOC = 2∠B.
即∠ABC = ∠AOC.
（1）特殊情况： 当圆心 O 在圆周角 ∠ABC 的一边BC上时，
圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
思考：如果圆心不在圆周角的一边上，结果会怎样
分析：可将右图转化为（1）的情况；
D
（2）当圆心 O 在圆周角 ∠ABC 的内部时，
圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
过点 B 作直径 BD .
由（1）可得：
∠ABD = ∠AOD，∠CBD = ∠COD，
∴ ∠ABC = ∠AOC.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
O
A
B
C
分析：可将右图转化为（1）的情况；
D
（3）当圆心 O 在圆周角 ∠ABC 的外部时，
圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
过点 B 作直径 BD .
由（1）可得：
∠ABD = ∠AOD，∠CBD = ∠COD，
∴ ∠ABC = ∠AOC.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
O
A
B
C
思考：通过上述 3 种情况的探索，你有什么发现吗？
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
归纳总结：
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
O
B
A
C
O
B
A
C
O
B
A
C
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
例 1：如图所示，点 A，B，C 均在☉O上，∠OAB = 46°. 求∠ACB的度数.
（一）圆周角的定义及性质
O
A
C
B
解：如图所示，连接OB；
∵ OA = OB，
∴ ∠OAB = ∠OBA；
∵ ∠OAB = 46°，
∴ ∠AOB = 180°– 2∠OAB = 88°.
∴ ∠ACB = ∠AOB = 44°.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
1. 如图所示，点 A，B，C 都在☉O上，若∠C = 35°，求 ∠AOB 的度数.
解：∵ ∠C与 ∠AOB是 AB 所对的圆周角和圆心角，
∴ 由圆周角定理可得：∠AOB = 2∠C = 70°.
O
A
C
B
（二）圆周角定理的推论
推论 1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
应用：
∵ ∠FAE = ∠CDB，
E
A
B
O
F
C
D
BC
(
EF
(
=
∴
推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
∵ AB 是直径
∴ ∠AC1B = 90°
∵ ∠AC1B = 90°
∴ AB 是直径.
用于判断某个圆周角是否是直角；
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
应用：
·
A
B
C1
O
C2
C3
用于判断某条弦是否是直径.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
例 2：如图所示，AB 是 ☉O 的直径，BD 是 ☉O 的弦，延长 BD 到 C，使 AC = AB，BD 与 CD 的大小有什么关系 为什么
（二）圆周角定理的推论
证明：BD = CD；
理由如下：连接AD，∵ AB 是 ☉O 的直径，
∴ ∠ADB = 90°，即 AD ⊥ BC；
又∵ AC = AB，
∴ △ABC是等腰三角形，∴ BD = CD.
A
B
C
O
D
方法归纳：在圆中，常作直径所对的圆周角，构造直角后利用三角形的性质求解.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
2. 如图，已知 BD 是 ⊙O 的直径，⊙O 的弦 AC ⊥ BD 于点 E，若 ∠AOD = 60°，则 ∠DBC 的度数为（ ）
A. 30° B. 40° C.50° D.60°
A
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
1. 圆周角的定义：
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角；
2. 圆周角定理及推论：
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等；
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.