第二十一章 一元二次方程复习课课件(共22张PPT)2023-2024学年人教版九年级数学上册

(共22张PPT)
复习课
第二十一章 一元二次方程
1.掌握一元二次方程的定义、一般形式.
2.能熟练选择直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程.
3.能利用根的判别式判断方程根的情况,能根据方程的根的情况确定方程中字母的取值.
4.能利用一元二次方程的根与系数的关系解决与方程的根有关的问题.
5.会列一元二次方程解决实际问题.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
知识梳理
解
方
程
配方法
因式分解法
公式法
方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根
降
次
检验
实际问题
一元二次方程ax2+bx+c=0
实际问题的答案
设未知数，列方程
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
知识梳理
知识点一 一元二次方程的基本概念
1.定义：
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
等号两边都是整式，只含有一个未知数的方程，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．
2.一般形式：
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
知识梳理
4.注意事项：
(1)含有一个未知数；
(2)未知数的最高次数为2；
(3)二次项系数不为0；
(4)整式方程．
3.项数和系数：
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
二次项： 二次项系数：
一次项： 一次项系数：
常数项：
ax2
a
bx
b
c
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
知识梳理
知识点二 解一元二次方程的方法
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 (p2 - 4q ≥0)
(x+m)2＝n（n ≥ 0）
ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m)(x + n)＝0
各种一元二次方程的解法及使用类型
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
知识梳理
知识点三 一元二次方程在生活中的应用
列方程解应用题的一般步骤：
审
设
列
解
检
答
（6）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．
（2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法．
（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．
（4）解方程：正确求出方程的解．
（5）检查：即注意检验解的合理性，检查其是否符合实际情况．
典型例题
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学习目标
课堂总结
知识梳理
例1 若方程 是关于x的一元二次方程，求m的值.
解：
∵ 是关于x的一元二次方程
∴
m2-7=2，
且m-3≠0，
由m2-7=2，
注意： 因为所给方程是关于x的一元二次方程，所以既要保证未知数的最高次数是2，又要保证二次项系数不等于 0 .
（一）一元二次方程的定义
∴m=-3.
可得m2=9，
解得m=±3，
又∵m-3≠0，
即m≠3，
典型例题
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课堂总结
知识梳理
2.若关于x的方程xm-1+mx-1=0是一元二次方程，则m的值是多少？
故m的值为3.
解：因为方程xm-1+mx-1=0是关于x的一元二次方程，
所以方程中必须有含x的二次项，
因此m-1=2,
即m=3,
1.判断下列方程中，哪些是关于x的一元二次方程？
(1)
(2) 4x2+3x-2=(2x-1)2
(3) x3-x+4=0
(4) x2-2y-3=0
(5) (m+1)x2+3x+1=0
(6) 2x2=0
×
×
×
×
×
√
典型例题
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学习目标
课堂总结
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（二） 一元二次方程的根的应用
温馨提醒 求出m值有两个2和-2,由于原方程是一元二次方程，所以2不符合，应引起注意.
总结：这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.
例2 已知关于x的一元二次方程 (m-2)x2+3x+m2-4=0 有一个根是 0，求m的值.
∵ 0是方程(m-2)x2+3x+m2-4=0的一个根
解：
得到 m2-4=0
解得
m=±2
又∵ 方程 (m-2)x2+3x+m2-4=0 是关于x的一元二次方程
∴ m-2≠0，
即 m≠2
∴ m的值为-2.
∴ 将0代入方程(m-2)x2+3x+m2-4=0
典型例题
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学习目标
课堂总结
知识梳理
3.已知实数a是一元二次方程 x2-2020x+1=0的一个根，求代数式
的值.
∵ 实数a是方程 x2-2020x+1=0 的一个根
解：
∴ a2-2020a+1=0
∴ a2+1=2020a，
∴
a2-2020a=-1
= a2-2019a-a
= a2-2020a
= -1
典型例题
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学习目标
课堂总结
知识梳理
5(2x-1)=(1-2x)(x+3)
例3 用因式分解法解下列方程：
把方程左边因式分解，得
(2x-1)[5+(x+3)]＝0
∴
2x-1=0
或
x+8=0
解：
移项，得
5(2x-1)-(1-2x)(x+3)=0
即
(2x-1)(x+8)＝0
∴
x1= ，
x2=-8
（三） 一元二次方程的解法
同学们，你还有其它方法进行求解吗？
典型例题
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学习目标
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4.用公式法解方程：
解：
将原方程化成标准形式，得
∵ a=2，
c=-1
b=2，
∴ b2 - 4ac=
22 - 4×2×(-1)=
12
＞0
∴
∴
典型例题
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课堂总结
知识梳理
（四 ） 一元二次方程的根的判别式的应用
例4 关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根，求m的取值范围？
解：
∵ 关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根
∴ ≥0，
且m-2≠0
即
m-2≠0，
且 22-4(m-2)≥0
且 m≠2
解得
m≤3
有两个相等的实数根；
当 ＝0时，
没有实数根.
当 ＜0时，
有两个不相等的实数根；
当 ＞0时，
温馨提示：
典型例题
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课堂总结
知识梳理
5.已知关于 x 的一元二次方程 x2+(4m+1)x+2m-1=0.
求证：不论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根.
证明：
∵
△=b2-4ac=
不论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根.
∴
(4m+1)2
-
4(2m-1)
=16m2+8m+1
- 8m+4
=16m2+5
＞0
典型例题
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（五） 一元二次方程的根与系数的关系
例5 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2的值是多少？
常用的变形公式：
①
②
③
解：根据根与系数的关系可知，
m+n=4,mn=-3.
m2－mn＋n2
＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn
将m+n=4,mn=-3代入(m+n)2-3mn
得到42-3×(-3)=25.
典型例题
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课堂总结
知识梳理
解：∵ 方程 x2-(k+1)x+3k=0 的一个根是2
答：方程的另一个根是-3，k的值是-2.
6.已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
∴
22-2(k+1)+3k=0
解得
k= -2
∴ 原方程为
x2+x-6=0
解得
x1=2，
x2=-3
∴ 方程的另一个根是－3
你还有其它的解题方法吗？
典型例题
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（六）一元二次方程的应用
例6 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元. 为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施. 经调查发现：如果这种衬衫的售价每降低1元，商场平均每天可多售出2件.
(1) 若商场要想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元
分析：设每件衬衫应降价x元，
则把题中信息整理成下表:
盈利/件 数量 总盈利
原 来
现 在
40
40-x
20
20+2x
800
1200
典型例题
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（六）一元二次方程的应用
例6 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元. 为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施. 经调查发现：如果这种衬衫的售价每降低1元，商场平均每天可多售出2件.
(1) 若商场要想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元
解：设每件衬衫应降价x元.
根据题意，得
(40-x)(20+2x)=1200
解方程，得
x1=10，
x2=20
∵ 要尽快减少库存.
答：商场要想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价20元.
∴ 每件衬衫应降价20元.
典型例题
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（六）一元二次方程的应用
例6 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元. 为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施. 经调查发现：如果这种衬衫的售价每降低1元，商场平均每天可多售出2件.
(2) 每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？最多盈利多少元？
解：设每件衬衫应降价x元，
商场每天盈利为W元，
W=(40-x)(20+2x)
根据题意，得
=-2x2+60x+800
=-2(x-15)2+1250
∴ 当x=15时，
W有最大值，
最大值为1250.
答：每件衬衫降价15元时，商场每天盈利最多,最多盈利1250元.
典型例题
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学习目标
课堂总结
知识梳理
7.某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
由题意x≤28, ∴x=25,即售价应当为25元.
温馨提醒 销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根.
则由题意可得(x-20)[32-(x-24)×2]=150.
则可得(x-20)(80-2x)=150.
解得 x1=25, x2=35.
解：根据题意可知每上涨1元平均每天就少售出2件，
典型例题
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学习目标
课堂总结
知识梳理
一元二次方程
一元二次方
程的定义
概念：①整式方程； ②一元； ③二次.
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
一元二次方程的解法
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
根的判别式及
根与系数的关系
根的判别式： Δ=b2-4ac
根与系数的关系
一元二次方程的应用
典型例题
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学习目标
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