广东省东莞市重点中学2023-2024学年高一上学期12月段考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省东莞市重点中学2023-2024学年高一上学期12月段考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 527.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-10 12:49:59 | ||
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文档简介
东莞市重点中学2023-2024学年高一上学期12月段考
数学试题
一、选择题：本题共88小题，每小题55分，共040分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若命题“，”为真命题，则的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. 或 D.
3.函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
4.“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
5.已知，，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
6.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7.函数（且）的图像恒过定点，若对任意正数x，y，都有，则的最小值为（ ）
A.4 B.2 C. D.1
8.已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的0分.
9.下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
10.已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A. B.
C. D.不等式的解集为
11.已知表示a，b，c中的最小值，设函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.函数为偶函数
C.函数的最小值为0
D.当时，，则的取值范围为
12.若定义在上的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数x都成立，则称是一个“~特征函数”。下列结论正确的是（ ）
A. 是常数函数中唯一的“~特征函数”
B. 是“~特征函数”
C. 不是“~特征函数”
D.“~特征函数”至少有一个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数，则____________.
14.计算____________.
15.若函数是上的单调函数，则的取值范围是____________.
16.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则的取值范围是_____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知集合，集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知幂函数在上单调递增，函数.
（1）求的值；
（2）记，在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求实数k的取值范围.
19.（本小题满分12分）
设（，且）其图象经过点，又的图象与的图象关于直线对称.
（1）若在区间上的值域为，且，求的值；
（2）若，，求的值.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若的定义域和值域均是，求实数的值；
（2）若，且对任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.
21.（本小题满分12分）
某企业生产大型空气净化设备，年固定成本500万元，每生产台设备，另需投入成本万元，若年产量不足150台，则；若年产量不小于150台，则，每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完.
（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（台）的关系式；
（2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？
22.（本小题满分12分）
已知函数是奇函数，且过点.
（1）求实数m和a的值；
（2）设，是否存在正实数t，使关于x的不等式对恒成立，若存在，求出t的范围；若不存在，请说明理由.
参考答案
1-4.BBCD；5-8.AADC；9.BD；10.BCD；11.BC；12.BCD；
13.-3；14.2；15. ；16. .
17.（1）由，解得：，所以.
当时，，
所以.
（2）因为，所以.
当时，，解得：；
当时，则，解得：.
综上：实数的取值范围为.
18.（1）由已知得，
解得或3，
当，不符合题意
当时，
所以
（2）由（1）得在上单调递增，
当时，的值域为，即.
在为单调递减，所以的值域.
∵是的必要条件，∴，
∴，∴，∴的取值范围是.
19.（1）因为（，且）的图象经过点，
所以，所以，所以，所以，
因为在区间上单调递增，则，
因为，所以，所以，
即，解得.
（2）的图象与的图象关于直线对称，
若，，则，，
所以，所以.
20.（1）∵
∴在上单调递减，又，
∴在上单调递减，
∴，即，解得；
（2）∵，明显其在上单调递增，
当时，
又在上单调递减，
∵对任意的，都存在，使得成立
∴
∴∴
即
21.（1）依题意，若年产量不足150台，即，，
另外投本，固定投本500万，总收入万元，
故利润；
若年产量不小于150台，即，，
另外投本，固定投本500万，总收入万元，
故利润，
综上所述：，.
（2）若，时，则，
可知当时，；
若，时，则，
当且仅当，即时，等号成立，
可知当时，；
又因为，所以当年产量为200台时，该企业所获利润最大.
22、（1）因为是定义域为的奇函数，
∴
即
∵∴
∴.
（由，得，未检验，扣1分.）
又因为过点，∴，
∴
（2）由（1）得，
因为，令，∴，
记，
∵函数在上恒成立，
（ⅰ）若时，函数在上为增函数，
所以为减函数，
则需函数恒成立，即恒成立.
∴恒成立，∴恒成立，则恒成立，
故合题意.
（ⅱ）若时，则需在恒成立，则：
①，
②
③
综上所述：故存在正数，使函数在上恒成立.
数学试题
一、选择题：本题共88小题，每小题55分，共040分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若命题“，”为真命题，则的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. 或 D.
3.函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
4.“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
5.已知，，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
6.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7.函数（且）的图像恒过定点，若对任意正数x，y，都有，则的最小值为（ ）
A.4 B.2 C. D.1
8.已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的0分.
9.下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
10.已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A. B.
C. D.不等式的解集为
11.已知表示a，b，c中的最小值，设函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.函数为偶函数
C.函数的最小值为0
D.当时，，则的取值范围为
12.若定义在上的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数x都成立，则称是一个“~特征函数”。下列结论正确的是（ ）
A. 是常数函数中唯一的“~特征函数”
B. 是“~特征函数”
C. 不是“~特征函数”
D.“~特征函数”至少有一个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数，则____________.
14.计算____________.
15.若函数是上的单调函数，则的取值范围是____________.
16.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则的取值范围是_____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知集合，集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知幂函数在上单调递增，函数.
（1）求的值；
（2）记，在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求实数k的取值范围.
19.（本小题满分12分）
设（，且）其图象经过点，又的图象与的图象关于直线对称.
（1）若在区间上的值域为，且，求的值；
（2）若，，求的值.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若的定义域和值域均是，求实数的值；
（2）若，且对任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.
21.（本小题满分12分）
某企业生产大型空气净化设备，年固定成本500万元，每生产台设备，另需投入成本万元，若年产量不足150台，则；若年产量不小于150台，则，每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完.
（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（台）的关系式；
（2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？
22.（本小题满分12分）
已知函数是奇函数，且过点.
（1）求实数m和a的值；
（2）设，是否存在正实数t，使关于x的不等式对恒成立，若存在，求出t的范围；若不存在，请说明理由.
参考答案
1-4.BBCD；5-8.AADC；9.BD；10.BCD；11.BC；12.BCD；
13.-3；14.2；15. ；16. .
17.（1）由，解得：，所以.
当时，，
所以.
（2）因为，所以.
当时，，解得：；
当时，则，解得：.
综上：实数的取值范围为.
18.（1）由已知得，
解得或3，
当，不符合题意
当时，
所以
（2）由（1）得在上单调递增，
当时，的值域为，即.
在为单调递减，所以的值域.
∵是的必要条件，∴，
∴，∴，∴的取值范围是.
19.（1）因为（，且）的图象经过点，
所以，所以，所以，所以，
因为在区间上单调递增，则，
因为，所以，所以，
即，解得.
（2）的图象与的图象关于直线对称，
若，，则，，
所以，所以.
20.（1）∵
∴在上单调递减，又，
∴在上单调递减，
∴，即，解得；
（2）∵，明显其在上单调递增，
当时，
又在上单调递减，
∵对任意的，都存在，使得成立
∴
∴∴
即
21.（1）依题意，若年产量不足150台，即，，
另外投本，固定投本500万，总收入万元，
故利润；
若年产量不小于150台，即，，
另外投本，固定投本500万，总收入万元，
故利润，
综上所述：，.
（2）若，时，则，
可知当时，；
若，时，则，
当且仅当，即时，等号成立，
可知当时，；
又因为，所以当年产量为200台时，该企业所获利润最大.
22、（1）因为是定义域为的奇函数，
∴
即
∵∴
∴.
（由，得，未检验，扣1分.）
又因为过点，∴，
∴
（2）由（1）得，
因为，令，∴，
记，
∵函数在上恒成立，
（ⅰ）若时，函数在上为增函数，
所以为减函数，
则需函数恒成立，即恒成立.
∴恒成立，∴恒成立，则恒成立，
故合题意.
（ⅱ）若时，则需在恒成立，则：
①，
②
③
综上所述：故存在正数，使函数在上恒成立.
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