第十四章 整式的乘法与因式分解习题课 因式分解及其应用（含答案）

第十四章 整式的乘法与因式分解 习题课
因式分解及其应用
类型1 十字相乘法分解因式
【方法归纳】
(1)若遇形如x2＋px＋q的式子，可利用分式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)(其中p＝a＋b，q＝ab)分解因式；
(2)若遇形如ax2＋bx＋c的式子，可利用分式a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)(其中a1a2＝a，c1c2＝c，a1c2＋a2c1＝b)分解因式．
1．分解因式：x2－3x－10＝　 　.
2．分解因式：x2－11xy＋28y2＝　 　.
3．分解因式：
(1)x2＋3x＋2；
(2)x2－5x＋6；
(3)y2＋7y－18.
4．分解因式：(1)x2＋7x＋12；
(2)x2＋x－12；
(3)x2－6x－7；
(4)x2－9x＋8.
5．分解因式：
(1)2x2＋3x＋1；
(2)3x2－5x＋2；
(3)4x2－4x－15；
(4)6x2＋5x＋1.
类型2 分组分解因式
6．将下列各式分解因式：
(1)a2－b2＋am－bm； (2)a2－2ab＋b2－1；
(3)x2＋2xy＋y2－2x－2y； (4)9a2－6ab＋b2＋3a－b.
(5)m2－mn＋mx－nx;
7．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.
类型3 利用因式分解简便计算
8．简便计算：
(1)1.992＋1.99×0.01；
(2)152－4×2.52；
(3)2042＋204×192＋962.
类型4 利用因式分解求值
9．已知(19x－31)(13x－17)－(13x－17)(11x－24)可分解因式为(ax＋b)(8x＋c)，其中a、b、c均为整数，则a＋b＋c的值为( )
A．－11　　B．－32　　C．38　　D．72
10．(南通中考)已知x＝m时，多项式x2＋2x＋n2的值为－1，则x＝－m时，该多项式的值为　 　.
11．先分解因式，再求值．
(1)(2x＋3y)2－(2x－3y)2，其中x＝，y＝；
(2)a4 －4a3 b＋4a2 b2 ，其中a＝3，b＝－2.
12．已知 ,求 的值.
类型5 用因式分解助解三角形问题
13．已知不等边△ABC的三边长为正整数a、b、c，且满足a2＋b2－4a－6b＋13＝0，求边长c.
14．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2－12b2－c2＋4ab＋8bc＝0.
求证：a＋c＝2b.
15．【2023江门新会区期末】阅读材料：利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.
例如： .
根据以上材料，解答下列问题：
（1）分解因式： .
（2）求多项式 的最小值.
（3）已知 ， ， 是 的三边长，且满足 ，求 的周长.
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参考答案
类型1 十字相乘法分解因式
【方法归纳】
(1)若遇形如x2＋px＋q的式子，可利用分式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)(其中p＝a＋b，q＝ab)分解因式；
(2)若遇形如ax2＋bx＋c的式子，可利用分式a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)(其中a1a2＝a，c1c2＝c，a1c2＋a2c1＝b)分解因式．
1．分解因式：x2－3x－10＝　 　.
【答案】(x－5)(x＋2)
2．分解因式：x2－11xy＋28y2＝　 　.
【答案】(x－4y)(x－7y)
3．分解因式：
(1)x2＋3x＋2；
解：原式＝(x＋1)(x＋2)
(2)x2－5x＋6；
解：原式＝(x－2)(x－3)
(3)y2＋7y－18.
解：原式＝(x－2)(x＋9)
4．分解因式：(1)x2＋7x＋12；
解：原式＝x2＋(3＋4)x＋3×4
＝(x＋3)(x＋4)．
(2)x2＋x－12；
解：原式＝x2＋(－3＋4)x＋(－3)×4
＝(x－3)(x＋4)．
(3)x2－6x－7；
解：原式＝x2＋(－7＋1)x＋(－7)×1
＝(x－7)(x＋1)．
(4)x2－9x＋8.
解：原式＝(x－8)(x－1)．
5．分解因式：
(1)2x2＋3x＋1；
解：原式＝(2x＋1)(x＋1)．
(2)3x2－5x＋2；
解：原式＝(3x－2)(x－1)．
(3)4x2－4x－15；
解：原式＝(2x－5)(2x＋3)．
(4)6x2＋5x＋1.
解：原式＝(3x＋1)(2x＋1)．
类型2 分组分解因式
6．将下列各式分解因式：
(1)a2－b2＋am－bm； (2)a2－2ab＋b2－1；
(3)x2＋2xy＋y2－2x－2y； (4)9a2－6ab＋b2＋3a－b.
(5)m2－mn＋mx－nx;
解：(1)原式＝(a－b)(a＋b＋m)；(2)原式＝(a－b＋1)(a－b－1)；　
(3)原式＝(x＋y－2)(x＋y)；(4)原式＝(3a－b)(3a－b＋1)．
(5)m2－mn＋mx－nx＝(m2－mn)＋(mx－nx)
＝m(m－n)＋x(m－n)＝(m－n)(m＋x)；
7．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.
解：原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)＝(x－2)2－(y－3)2
＝[(x－2)＋(y－3)]·[(x－2)－(y－3)]＝(x＋y－5)(x－y＋1)．
类型3 利用因式分解简便计算
8．简便计算：
(1)1.992＋1.99×0.01；
(2)152－4×2.52；
(3)2042＋204×192＋962.
解：(1)原式＝3.98；　(2)原式＝200；　(3)原式＝90000.
类型4 利用因式分解求值
9．已知(19x－31)(13x－17)－(13x－17)(11x－24)可分解因式为(ax＋b)(8x＋c)，其中a、b、c均为整数，则a＋b＋c的值为( A )
A．－11　　B．－32　　C．38　　D．72
10．(南通中考)已知x＝m时，多项式x2＋2x＋n2的值为－1，则x＝－m时，该多项式的值为　 　.
【答案】3
11．先分解因式，再求值．
(1)(2x＋3y)2－(2x－3y)2，其中x＝，y＝；
(2)a4 －4a3 b＋4a2 b2 ，其中a＝3，b＝－2.
解：原式＝(2x＋3y＋2x－3y)(2x＋3y－2x＋3y)＝(4x)·(6y)＝24xy.当x＝，y＝时，原式＝24××＝；
(2)原式＝a2 (a2 －4ab＋4b2 )＝a2 (a－2b)2 .当a＝3，b＝－2时，原式＝32 ×(3＋4)2 ＝441.
12．已知 ,求 的值.
解：因为 ，
所以 ，所以 .
,
当 时， .
类型5 用因式分解助解三角形问题
13．已知不等边△ABC的三边长为正整数a、b、c，且满足a2＋b2－4a－6b＋13＝0，求边长c.
解：因为a2＋b2－4a－6b＋13＝0，所以(a－2)2＋(b－3)2＝0，所以a＝2，b＝3.由三角形三边关系，得1＜c＜5，又c为正整数，所以c只能取2,3,4.而△ABC的三边都不相等，所以c＝4.
14．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2－12b2－c2＋4ab＋8bc＝0.
求证：a＋c＝2b.
证明：a2－12b2－c2＋4ab＋8bc＝(a2＋4ab＋4b2)－(16b2－8bc＋c2)＝(a＋2b)2－(4b－c)2＝(a＋2b＋4b－c)(a＋2b－4b＋c)＝(a＋6b－c)(a－2b＋c)＝0.因为a、b、c是△ABC的三边，所以b＞0，a＋b－c＞0，所以a＋6b－c＞0.所以a－2b＋c＝0，即a＋c＝2b.
15．【2023江门新会区期末】阅读材料：利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.
例如： .
根据以上材料，解答下列问题：
（1）分解因式： .
解
.
（2）求多项式 的最小值.
，
， ，
多项式 的最小值为 .
（3）已知 ， ， 是 的三边长，且满足 ，求 的周长.
，
，
，
，
， ， ，
的周长为 .