第十四章 整式的乘法与因式分解习题课 活用乘法公式进行计算（含答案）
文档属性
| 名称 | 第十四章 整式的乘法与因式分解习题课 活用乘法公式进行计算（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 972.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-10 13:39:27 | ||
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文档简介
第十四章 整式的乘法与因式分解 习题课
活用乘法公式进行计算
【知识解读】
乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公式可以正用，也可以逆用．在使用公式时，要注意以下几点：1.公式中的字母a，b可以是任意一个式子；2.公式可以连续使用；3.要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特点；4.在运用公式时要学会运用一些变形技巧，如：
(1)a2＋b2的变形：
①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；
②a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；
③a2＋b2＝[(a＋b)2＋(a－b)2]．
(2)ab的变形：
①ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]；
②ab＝[(a2＋b2)－(a－b)2]；
③ab＝[(a＋b)2－(a－b)2]．
(3)a±b的变式：
①a＋b＝(a2－b2)÷(a－b)；
②a－b＝(a2－b2)÷(a＋b)；
③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.
【同步练习】
类型1 巧用乘法公式的变形求式子的值
1．已知a＋b＝－3，a－b＝1，则a2－b2的值是( )
A．8 B．3 C．－3 D．10
2．(中考·德阳)已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，则xy＝___.
3．已知：x2－y2＝12，x＋y＝3，求2x2－2xy的值．
4．已知a＋b＝6，ab＝2，求下列各式的值．
(1)a2＋b2； (2)(a－b)2； (3)a2－ab＋b2.
5．已知(x＋y)2＝49，(x－y)2＝1，求下列各式的值：
(1)x2＋y2; (2)xy.
6．阅读下面解题过程：
若x满足(9－x)(x－4)＝4，求(9－x)2＋(x－4)2的值．
解：设9－x＝a，x－4＝b，则(9－x)(x－4)＝ab＝4，a＋b＝(9－x)＋(x－4)＝5，
∴(9－x)2＋(x－4)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×4＝17.
请仿照上面的方法解答下列问题：
(1)若x满足(5－x)(x－2)＝2，求(5－x)2＋(x－2)2的值；
(2)若n满足(n－2 022)2＋(2 023－n)2＝1，求(n－2 022)(2 023－n)的值．
类型2 运用乘法公式进行简算
7．利用乘法公式进行计算：
(1)2023×2025－20242；
(2)3.6722＋6.3282＋6.328×7.344；
(3)(5＋1)(52＋1)(54＋1)(58＋1).
类型3 应用乘法公式巧定个位数字
8．试求(2＋1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1的个位数字．
类型4 运用乘法公式解决代数问题
9．对于任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)能不能被10整除？为什么？
10．296－1可以被60至70之间的哪两个整数整除？
11．求证：(m3＋2n)(m3－2n)＋(2n－4)(4＋2n)的值与n无关．
类型5 巧用完全平分公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2进行解题
12．若a＋b＝5，ab＝3，则a2＋b2＝ _____，(a－b)2＝____．
13．若a－b＝1，ab＝2，则a＋b＝______．
14．若a＋b＝3，a2＋b2＝7，则(a－b)2＝ ____．
15．a2＋b2＝13，(a－b)2＝1, 则ab＝____．
16．已知(m－53)(m－47)＝24，求(m－53)2＋(m－47)2的值．
类型6 巧用乘法公式解决复杂问题(换元法)
17．计算的值．
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参考答案
【同步练习】
类型1 巧用乘法公式的变形求式子的值
1．已知a＋b＝－3，a－b＝1，则a2－b2的值是( C )
A．8 B．3 C．－3 D．10
2．(中考·德阳)已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，则xy＝___.
【答案】4
3．已知：x2－y2＝12，x＋y＝3，求2x2－2xy的值．
解：∵x2－y2＝12，∴(x＋y)(x－y)＝12，∵x＋y＝3①，∴x－y＝4②，①＋②得2x＝7，∴2x2－2xy＝2x(x－y)＝7×4＝28
4．已知a＋b＝6，ab＝2，求下列各式的值．
(1)a2＋b2； (2)(a－b)2； (3)a2－ab＋b2.
解：(1)∵a＋b＝6，∴(a＋b)2＝36.即a2＋b2＋2ab＝36，又∵ab＝2，∴a2＋b2＋2×2＝36，∴a2＋b2＝32
(2)∵a2＋b2＝32，ab＝2，∴(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝32－2×2＝28
(3)∵a2＋b2＝32，ab＝2，∴a2－ab＋b2＝a2＋b2－ab＝32－2＝30
5．已知(x＋y)2＝49，(x－y)2＝1，求下列各式的值：
(1)x2＋y2; (2)xy.
解：(1)(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝49①，(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝1②，①＋②，得2(x2＋y2)＝50，∴x2＋y2＝25
(2)①－②，得4xy＝48，∴xy＝12
6．阅读下面解题过程：
若x满足(9－x)(x－4)＝4，求(9－x)2＋(x－4)2的值．
解：设9－x＝a，x－4＝b，则(9－x)(x－4)＝ab＝4，a＋b＝(9－x)＋(x－4)＝5，
∴(9－x)2＋(x－4)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×4＝17.
请仿照上面的方法解答下列问题：
(1)若x满足(5－x)(x－2)＝2，求(5－x)2＋(x－2)2的值；
(2)若n满足(n－2 022)2＋(2 023－n)2＝1，求(n－2 022)(2 023－n)的值．
解：(1)设5－x＝a，x－2＝b，
则(5－x)(x－2)＝ab＝2，
a＋b＝5－x＋x－2＝3，
∴(5－x)2＋(x－2)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝32－2×2＝5.
(2)设n－2 022＝a,2 023－n＝b，
则(n－2 022)2＋(2 023－n)2＝a2＋b2＝1，
a＋b＝n－2 022＋2 023－n＝1，
∴(n－2 022)(2 023－n)＝ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]＝×(12－1)＝0.
类型2 运用乘法公式进行简算
7．利用乘法公式进行计算：
(1)2023×2025－20242；
解：原式＝(2024－1)(2024＋1)－20242＝20242－1－20242＝－1
(2)3.6722＋6.3282＋6.328×7.344；
解：原式＝3.6722＋2×3.672×6.328＋6.3282＝(3.672＋6.328)2＝102＝100
(3)(5＋1)(52＋1)(54＋1)(58＋1).
解：原式＝(5－1)(5＋1)(52＋1)(54＋1)(58＋1)
＝(52－1)(52＋1)(54＋1)(58＋1)
＝(54－1)(54＋1)(58＋1)＝(58－1)(58＋1)＝(516－1)
类型3 应用乘法公式巧定个位数字
8．试求(2＋1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1的个位数字．
解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1＝(22－1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1
＝(264－1)＋1＝264.
∵2n的个位数字依次按2,4,8,6四个一组循环，而64÷4＝16，
∴个位数字是6.
类型4 运用乘法公式解决代数问题
9．对于任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)能不能被10整除？为什么？
解：对任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)能被10整除，理由：(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)＝(3n)2－1－(32－n2)＝9n2－1－9＋n2＝10n2－10＝10(n2－1)，∵对任意正整数n，10(n2－1)能被10整除，∴(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)能被10整除
10．296－1可以被60至70之间的哪两个整数整除？
解：296－1＝(248＋1)(248－1)＝(248＋1)(224＋1)(224－1)
＝(248＋1)(224＋1)(212＋1)(212－1)
＝(248＋1)(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．
∵26＋1＝65，26－1＝63，65和63都在60至70之间，
∴296－1可以被60至70之间的65和63整除．
11．求证：(m3＋2n)(m3－2n)＋(2n－4)(4＋2n)的值与n无关．
证明：(m3＋2n)(m3－2n)＋(2n－4)(4＋2n)
＝m6－4n2＋4n2－16，
＝m6－16，∴结果与n无关．
类型5 巧用完全平分公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2进行解题
12．若a＋b＝5，ab＝3，则a2＋b2＝ _____，(a－b)2＝____．
13．若a－b＝1，ab＝2，则a＋b＝______．
14．若a＋b＝3，a2＋b2＝7，则(a－b)2＝ ____．
15．a2＋b2＝13，(a－b)2＝1, 则ab＝____．
【答案】19 13 ±3 5 6
16．已知(m－53)(m－47)＝24，求(m－53)2＋(m－47)2的值．
解：(m－53)2＋(m－47)2＝[(m－53)－(m－47)]2＋2(m－53)(m－47)＝(－6)2＋48＝84
类型6 巧用乘法公式解决复杂问题(换元法)
17．计算的值．
解：设20 242 023＝m，
则原式＝
＝
＝＝.
活用乘法公式进行计算
【知识解读】
乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公式可以正用，也可以逆用．在使用公式时，要注意以下几点：1.公式中的字母a，b可以是任意一个式子；2.公式可以连续使用；3.要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特点；4.在运用公式时要学会运用一些变形技巧，如：
(1)a2＋b2的变形：
①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；
②a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；
③a2＋b2＝[(a＋b)2＋(a－b)2]．
(2)ab的变形：
①ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]；
②ab＝[(a2＋b2)－(a－b)2]；
③ab＝[(a＋b)2－(a－b)2]．
(3)a±b的变式：
①a＋b＝(a2－b2)÷(a－b)；
②a－b＝(a2－b2)÷(a＋b)；
③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.
【同步练习】
类型1 巧用乘法公式的变形求式子的值
1．已知a＋b＝－3，a－b＝1，则a2－b2的值是( )
A．8 B．3 C．－3 D．10
2．(中考·德阳)已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，则xy＝___.
3．已知：x2－y2＝12，x＋y＝3，求2x2－2xy的值．
4．已知a＋b＝6，ab＝2，求下列各式的值．
(1)a2＋b2； (2)(a－b)2； (3)a2－ab＋b2.
5．已知(x＋y)2＝49，(x－y)2＝1，求下列各式的值：
(1)x2＋y2; (2)xy.
6．阅读下面解题过程：
若x满足(9－x)(x－4)＝4，求(9－x)2＋(x－4)2的值．
解：设9－x＝a，x－4＝b，则(9－x)(x－4)＝ab＝4，a＋b＝(9－x)＋(x－4)＝5，
∴(9－x)2＋(x－4)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×4＝17.
请仿照上面的方法解答下列问题：
(1)若x满足(5－x)(x－2)＝2，求(5－x)2＋(x－2)2的值；
(2)若n满足(n－2 022)2＋(2 023－n)2＝1，求(n－2 022)(2 023－n)的值．
类型2 运用乘法公式进行简算
7．利用乘法公式进行计算：
(1)2023×2025－20242；
(2)3.6722＋6.3282＋6.328×7.344；
(3)(5＋1)(52＋1)(54＋1)(58＋1).
类型3 应用乘法公式巧定个位数字
8．试求(2＋1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1的个位数字．
类型4 运用乘法公式解决代数问题
9．对于任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)能不能被10整除？为什么？
10．296－1可以被60至70之间的哪两个整数整除？
11．求证：(m3＋2n)(m3－2n)＋(2n－4)(4＋2n)的值与n无关．
类型5 巧用完全平分公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2进行解题
12．若a＋b＝5，ab＝3，则a2＋b2＝ _____，(a－b)2＝____．
13．若a－b＝1，ab＝2，则a＋b＝______．
14．若a＋b＝3，a2＋b2＝7，则(a－b)2＝ ____．
15．a2＋b2＝13，(a－b)2＝1, 则ab＝____．
16．已知(m－53)(m－47)＝24，求(m－53)2＋(m－47)2的值．
类型6 巧用乘法公式解决复杂问题(换元法)
17．计算的值．
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参考答案
【同步练习】
类型1 巧用乘法公式的变形求式子的值
1．已知a＋b＝－3，a－b＝1，则a2－b2的值是( C )
A．8 B．3 C．－3 D．10
2．(中考·德阳)已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，则xy＝___.
【答案】4
3．已知：x2－y2＝12，x＋y＝3，求2x2－2xy的值．
解：∵x2－y2＝12，∴(x＋y)(x－y)＝12，∵x＋y＝3①，∴x－y＝4②，①＋②得2x＝7，∴2x2－2xy＝2x(x－y)＝7×4＝28
4．已知a＋b＝6，ab＝2，求下列各式的值．
(1)a2＋b2； (2)(a－b)2； (3)a2－ab＋b2.
解：(1)∵a＋b＝6，∴(a＋b)2＝36.即a2＋b2＋2ab＝36，又∵ab＝2，∴a2＋b2＋2×2＝36，∴a2＋b2＝32
(2)∵a2＋b2＝32，ab＝2，∴(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝32－2×2＝28
(3)∵a2＋b2＝32，ab＝2，∴a2－ab＋b2＝a2＋b2－ab＝32－2＝30
5．已知(x＋y)2＝49，(x－y)2＝1，求下列各式的值：
(1)x2＋y2; (2)xy.
解：(1)(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝49①，(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝1②，①＋②，得2(x2＋y2)＝50，∴x2＋y2＝25
(2)①－②，得4xy＝48，∴xy＝12
6．阅读下面解题过程：
若x满足(9－x)(x－4)＝4，求(9－x)2＋(x－4)2的值．
解：设9－x＝a，x－4＝b，则(9－x)(x－4)＝ab＝4，a＋b＝(9－x)＋(x－4)＝5，
∴(9－x)2＋(x－4)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×4＝17.
请仿照上面的方法解答下列问题：
(1)若x满足(5－x)(x－2)＝2，求(5－x)2＋(x－2)2的值；
(2)若n满足(n－2 022)2＋(2 023－n)2＝1，求(n－2 022)(2 023－n)的值．
解：(1)设5－x＝a，x－2＝b，
则(5－x)(x－2)＝ab＝2，
a＋b＝5－x＋x－2＝3，
∴(5－x)2＋(x－2)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝32－2×2＝5.
(2)设n－2 022＝a,2 023－n＝b，
则(n－2 022)2＋(2 023－n)2＝a2＋b2＝1，
a＋b＝n－2 022＋2 023－n＝1，
∴(n－2 022)(2 023－n)＝ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]＝×(12－1)＝0.
类型2 运用乘法公式进行简算
7．利用乘法公式进行计算：
(1)2023×2025－20242；
解：原式＝(2024－1)(2024＋1)－20242＝20242－1－20242＝－1
(2)3.6722＋6.3282＋6.328×7.344；
解：原式＝3.6722＋2×3.672×6.328＋6.3282＝(3.672＋6.328)2＝102＝100
(3)(5＋1)(52＋1)(54＋1)(58＋1).
解：原式＝(5－1)(5＋1)(52＋1)(54＋1)(58＋1)
＝(52－1)(52＋1)(54＋1)(58＋1)
＝(54－1)(54＋1)(58＋1)＝(58－1)(58＋1)＝(516－1)
类型3 应用乘法公式巧定个位数字
8．试求(2＋1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1的个位数字．
解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1＝(22－1)(22＋1)(24＋1)·…·(232＋1)＋1
＝(264－1)＋1＝264.
∵2n的个位数字依次按2,4,8,6四个一组循环，而64÷4＝16，
∴个位数字是6.
类型4 运用乘法公式解决代数问题
9．对于任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)能不能被10整除？为什么？
解：对任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)能被10整除，理由：(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)＝(3n)2－1－(32－n2)＝9n2－1－9＋n2＝10n2－10＝10(n2－1)，∵对任意正整数n，10(n2－1)能被10整除，∴(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)能被10整除
10．296－1可以被60至70之间的哪两个整数整除？
解：296－1＝(248＋1)(248－1)＝(248＋1)(224＋1)(224－1)
＝(248＋1)(224＋1)(212＋1)(212－1)
＝(248＋1)(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．
∵26＋1＝65，26－1＝63，65和63都在60至70之间，
∴296－1可以被60至70之间的65和63整除．
11．求证：(m3＋2n)(m3－2n)＋(2n－4)(4＋2n)的值与n无关．
证明：(m3＋2n)(m3－2n)＋(2n－4)(4＋2n)
＝m6－4n2＋4n2－16，
＝m6－16，∴结果与n无关．
类型5 巧用完全平分公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2进行解题
12．若a＋b＝5，ab＝3，则a2＋b2＝ _____，(a－b)2＝____．
13．若a－b＝1，ab＝2，则a＋b＝______．
14．若a＋b＝3，a2＋b2＝7，则(a－b)2＝ ____．
15．a2＋b2＝13，(a－b)2＝1, 则ab＝____．
【答案】19 13 ±3 5 6
16．已知(m－53)(m－47)＝24，求(m－53)2＋(m－47)2的值．
解：(m－53)2＋(m－47)2＝[(m－53)－(m－47)]2＋2(m－53)(m－47)＝(－6)2＋48＝84
类型6 巧用乘法公式解决复杂问题(换元法)
17．计算的值．
解：设20 242 023＝m，
则原式＝
＝
＝＝.