人教版初中数学七年级上册 3.4 实际问题与一元一次方程 教学设计

教学设计
使用教材版本：人教版七年级数学上册
课题：3.4实际问题与一元一次方程——分段计费、方案选择问题
课型：新授课
教学目标
【知识与技能】
正确理解图表中所给信息的含义，并能合理利用信息列方程。体会分类思想和方程思想在解决问题中的作用，能够根据已知条件选择分类关键点对“电话计费问题”进行整体分析，从而得出整体选择方案。
【过程与方法】
能结合实际问题情景发现并提出数学问题，在解决问题的过程中，能够有条理的思考，分析实际问题中的相等关系，设恰当的未知数，把实际问题转化为数学问题，经历计费问题的解答过程，学习方案选择问题，体会最优化思想。
【情感态度与价值观】
进一步深化对数学建模方法的体验，增强应用方程模型解决问题的意识和能力。培养学生勤于思考、乐于探究、敢于发表自己观点的学习习惯，从实际问题中体验数学的价值．
课时
1课时
教学重难点
【教学重点】
能够理解题目信息，建立方程模型解决电话计费问题，探究解决实际问题的方法和途径
【教学难点】
关键点的选择，整体方案的确定，将实际问题转化为数学问题
课前准备
教师：教案、课件、计费表格等。
学生：学案、练习本、铅笔、橡皮、圆珠笔或钢笔等。
教学过程
导入新课
教师：同学们之前我们已完成了对于实际问题与一元一次方程五个专题的学习，你们还记得吗？（出示课件2）
学生：它们分别是配套问题、工程问题、销售中的盈亏问题、行程问题以及图表信息问题。
教师：那以上几个专题都帮助我们形成了寻找等量关系的意识，并掌握了用一元一次方程解决实际问题的基本过程，一般包括：设、列、解、检、答等步骤，即设未知数，列方程，解方程，检验所得结果，确定答案。正确分析问题中的相等关系是列方程的基础。那么今天我们便一起来学习实际问题与一元一次方程中的另一个专题分段计费、方程选择问题。（出示课件3）
探究新知
教师：现如今手机非常普及，你有手机吗？
你给手机交过话费吗？或者你见过父母交过话费吗？
你知道手机的收费标准吗？（出示课件4）
师生互动，探究计费问题
教师：下表给出的是两种移动电话计费方式：（出示课件5）
月使用费/元 主叫限定时间/分 主叫超时费/（元/分） 被叫
方式一 58 150 0.25 免费
方式二 88 350 0.19 免费
你理解这些名词的意思吗？
师生共同讨论后解答如下：计费时首先要看主叫是否超过限定时间，若主叫不超过限定时间，则月使用费一定；若主叫超过限定时间，则需在月使用费的基础上，加收超时费。即：总费用=月使用费+主叫超时费。并填写表格如下。
主叫时间(分) 100 250 350 450
方式一计费（元） 58 83 108 133
方式二计费（元） 88 88 88 107
教师：通过填上面的表格，你有什么发现？
学生回答：主叫超时费随着主叫时间的增加而增加；选择哪种计费方式更省钱与主叫时间有关。
教师：接着考虑下列问题：
（1）设一个月内用移动电话主叫为t 分(t是正整数)，根据上表，列表说明：当 t 在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．（出示课件6）
师生共同解答如下：（出示课件7）
考虑t的取值时，两个主叫限定时间150分和350分是不同时间范围的划分点。
当t在不同时间范围内取值时，方式一和方式二的计费如下表：
主叫时间t/分 方式一计费/元 方式二计费/元
t<150 58 88
t=150 58 88
150t=350 58+0.25(350-150)=108 88
t>350 58+0.25(t-150) 88+0.19(t-350)
（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．（出示课件8）
师生共同解答如下：
当t小于150时，比较两种计费方式，因为58元小于88元，所以选择方式一省钱。
当t等于150时，比较两种计费方式，因为58元小于88元，所以选择方式一省钱。
当t等于350时，比较两种计费方式，因为108元大于88元，所以选择方式二省钱。
教师：当t大于150且小于350时，两种收费方式应该如何比较？
学生：由于主叫超时费随着主叫时间的增加而增加，所以方式一计费由58元增加到108元，中间必然存在某一个值，使得两种计费方式相等，依题意，列方程得：58+0.25（t-150）=88，解得t=270。故当t小于270时，选择方式一省钱；当t>270时，选择方式二省钱；当t等于270时，选择两种方式均可。
教师：当t>350时，此时两个费用表达式应该如何比较？
师生共同解答如下：
方式一的计费其实可以看作是在108元的基础上，加上超过350分钟的超时费[0.25(t-350)].
当t>350时，方式一：58+0.25（t-150）=108+0.25(t-350)；方式二：88+0.19（t-350),此时比较108+0.25(t-350)与88+0.19（t-350)的大小。可以看出108+0.25(t-350)>88+0.19（t-350)，所以当t>350时，选择方式二省钱。
教师：请同学们自己总结一下如何根据主叫时间选择省钱的计费方式
学生：综上，当一个月内移动电话主叫时间小于270时，选择方式一省钱；当一个月内移动电话主叫时间大于270时，选择方式二省钱；当一个月内移动电话主叫时间等于270时，选择两种方式均可。
方法总结：（出示课件9）
解决此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分类讨论，从而得出整体选择方案。具体步骤一般包括：审题、设未知数、用未知数表示费用、列方程、考虑费用相同情况、选择更优惠方案。电话计费同类型问题：用燃气问题、用电问题、用水问题、打车问题、商场促销问题……
巩固练习
教师：某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下表：
第一档电量及价格 第二档电量及价格 第三档电量及价格
月用电量小于或等于210度，每度价格为0.52元 月用电量大于210度且小于或等于350度，每度比第一档提价0.05元 月用电量大于350度，每度比第一档提价0.30元
同学们，让我们借助数轴来理解上述表格的意思吧，根据不同的用电量，你能得出相应的价格吗？请填写下面的表格（出示课件10）
学生：
用电量（度） 价格（元）
200 2000.52=104
300 210×0.52＋(300－210)×(0.52＋0.05)=160.5
400 210×0.52＋(350－210)×(0.52＋0.05)＋(400－350)×(0.52＋0.30)＝230
教师：通过填上面的表格，你有什么发现？
学生回答：价格随着用电量的增加而增加。
教师：接着考虑下列问题：
（1）设某户月用电量为x度，根据上表，列表说明：当x在不同用电量范围内取值时，则需交电费如何计算。（出示课件11）
学生：考虑x的取值时，210度和350度是不同用电量范围的划分点。（出示课件12）
当x在不同用电量范围内取值时，需交电费如下表：
用电阶梯 用电量x/度 电费/元
第一档 x<210 0.52x
x=210 0.52210=109.2
第二档 210x=350 0.52210+(0.52+0.05)(350-210)=189
第三档 x>350 210×0.52＋(350－210)×(0.52＋0.05)＋(0.52＋0.30)(x-350)=189+0.82(x-350)
教师：（2）如果按此方案计算，小华家5月份的电费为138.84元，请你求出小华家5月份的用电量。(出示课件13)
学生：因为109.2元<138.84元<189元，由上述分析可知，价格随着用电量的增加而增加，所以小华家5月份的用电量属于大于210度且小于350度情况。依题意，列方程得：109.2+0.57（x-210）=138.84，解得x=262。
教师：（3）依此方案请你回答：若小华家某月的电费为a元，则小华家该月用电量属于第几档？
学生：当时，则该月的用电量属于第一档；当时，则该月的用电量属于第二档；当时，则该月的用电量属于第三档。
课堂小结（出示课件14）
教师：回顾问题的解决过程，谈谈你的收获。
学生：用未知数表示费用时可以选择通过列表分析，这样会更加直观，清晰。
教师：解决本题的过程中你觉得最难突破的步骤是哪些？本题中运用了哪些方法突破这些难点？
学生：如何比较两个代数式的大小是最难突破的步骤，本题可以采用作差法，也可以采用转换法。
教师：电话计费问题的解决过程中运用一元一次方程解决了什么问题？
学生：解决电话计费问题时，若要找不等关系，需先找等量关系，依题意列方程求解后再分类讨论。
布置作业（出示课件15）
全班同学需完成质量监测中应用一元一次方程解决“电话计费”问题的A组题；
有能力的同学完成质量监测中应用一元一次方程解决“电话计费”问题的B组题。
板书设计
3.4 实际问题与一元一次方程——分段计费、方案选择问题
解决分段计费、方案选择问题的一般步骤如下：
1、审题
2、设未知数
3、用未知数表示费用（列表分析）
4、列方程
5、考虑费用相同情况
6、选择更优惠方案（分类讨论、要找不等关系，先找等量关系、如何比较两个代数式的大小）