江西省部分学校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷（含答案）

高三数学试题卷
满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试题卷或草稿纸上无效。
3.考试结束后，将本试题卷、草稿纸与答题卡一并交回。
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合只有一个元素，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．—1
2．若直线，，则直线间的位置关系是（ ）
A．平行 B．异面或平行 C．相交 D．异面
3．若k∈R则“k>5”是“方程 表示双曲线”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
4．若复数z满足，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
5．已知函数y＝f(x)的表达式为f(x)＝|log2x|，若0＜m＜n且f(m)＝f(n)，则2m+n的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．双曲线：的左，右焦点分别为，，，两点在双曲线上，且，，线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
7．已知无穷正整数数列满足，则的可能值有（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．9
8．已知，当时，恒成立，则b的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知直线，直线，则（ ）
A．当时，与的交点为 B．直线恒过点
C．若，则 D．存在，使
10．在中，，，，是边上的一点，则（ ）
A． B．外接圆的半径是
C．若，则 D．若是的平分线，则
11．设向量满足，则（ ）
A． B．
C． D．
12．定义数列，则下列说法正确的是（ ）
A．是单调递减数列 B．
C． D．
三、填空题（共20分）
13．已知函数，若，则 .
14．飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们在酒吧日常休闲的必备活动.某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四边形拼成.在四边形中，，，，，点是八边形内（不含边界）一点，则的取值范围是 .
15．已知点在函数的图象上，且在上单调递减，则的最大值为 .
16．已知，，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，直线为曲线在点P处的切线，若三角形的内心为点M，直线与直线交于N点，则点横坐标之差为 .
四、解答题（共70分）
17．（10分）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求；
(2)为边上一点，，且，求．
18．（12分）今年9月第19届亚运会在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目.为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件 “了解亚运会项目”， “学生为女生”，据统计，.
附：，.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
(1)根据已知条件，填写下列表格，并依据的独立性检验，能否认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关
了解 不了解 合计
男生
女生
合计
(2)现从该校了解亚运会项目的学生中，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，再从这9名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为，求的分布列和数学期望.
19．（12分）已知数列中，，，数列中，，.
（1）求和的通项公式；
（2）若数列求数列的前项和，并求使得恒成立的最大正整数的值.
20．（12分）如图，在四棱台中，底面是中点．底面为直角梯形，且．
(1)证明：直线平面；
(2)求二面角的正弦值．
21．（12分）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为．椭圆的中心为，左焦点为，上顶点为，右顶点为，且．
(1)求抛物线和椭圆的标准方程．
(2)设直线经过点，与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点．记和的面积分别为和，是否存在直线，使得？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
(3)设实数a使得对恒成立，求a的最大整数值.
高三数学科参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8
C B A C D D C A
9 10 11 12 13 14 15 16
ABC ACD ACD ABD 2
17．解：（1）已知，
由，有，
所以，
两边同乘以abc得：．
由正弦定理得：．
由，，所以，．
（2）取、为平面向量的基底．
因为D在BC边上，且，
所以．
因为，所以，则
即，得，
所以，．
不妨设，．
在中，由余弦定理：，所以．
由余弦定理：．
18．解：（1）因为，，
所以对杭州亚运会项目了解的女生为，了解亚运会项目的学生为，
结合男生和女生各50名，填写表格为：
了解 不了解 合计
男生 15 35 50
女生 30 20 50
合计 45 55 100
零假设：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关，
根据列联表中的数据，
依据的独立性检验，可以推断成立，
即该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关.
（2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，
其中男生人数为（人）；
女生人数为（人），
由题意可得，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3.
，，
，.
随机变量的分布列如下：
0 1 2 3
则.
19．解：（1）由题意知，∴当时，，
两式相减得，∴，
当时，，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，∴.
数列中，，，
∴是常数列且
∴.
（2）由（1）知，则数列的前项和为
，
，
两式相减可得，
∴，显然单调递增，
∴，
故恒成立，即恒成立，解得，
所以最大正整数.
20．解：（1）因为底面，底面，则，
由题意可知：，且平面，
所以平面，且平面，可得，
不妨设，由题意可得：，
可知：，即，
且，平面，
所以直线平面.
（2）如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，不妨设，
则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
可得，
设二面角为，则，
所以二面角的正弦值.
21．解：（1）由抛物线的焦点为，
可知，所以，
所以抛物线的方程为；
设椭圆的标准方程为，则，，
所以，，
由，可得，
又，
所以，解得或（舍），
则，
所以椭圆方程为；
（2）
由题意可知，直线的斜率一定不为，
则设直线的方程为，，，，，
联立直线与抛物线，得，，
则，，
所以的面积，
联立直线与椭圆，得，
，
则，，
所以的面积，
又，
所以，解得，
所以存在满足条件的直线，且直线方程为或.
22．解：（1），，
，，所求切线方程为，即，
所以切线方程为.
（2）令，则，
当时，，在上单调递增.
又，，，使得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
又，，
所以函数在区间上的最大值为.
（3）不等式恒成立等价于恒成立,
令，当时，，恒成立,
当时，令，则,
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，，
当时，；当时，，的值域为,
，，
，
所以a的最大整数值为-2.