新课程人教A版必修1（第二章全部教案）(浙江省杭州市)
文档属性
| 名称 | 新课程人教A版必修1（第二章全部教案）(浙江省杭州市) |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 364.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2008-09-26 14:18:00 | ||
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文档简介
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第二章 基本初等函数（Ⅰ）
§2．1指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时）
教学时间：2007年9月20日——9月22日
教学目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；
2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；
3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质
教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解
教学方法：学导式
教学过程：
第一课时：9月20日 （I）复习回顾
引例：填空
（1）； a0=1（a； (2) (m,n∈Z)； (m,n∈Z)； (n∈Z)（3）； -； （4）；
（II）讲授新课
1.引入：
（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为可看作,所以可以归入性质；又因为可看作，所以可以归入性质(n∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n次根式（）的概念。
（2）填空（3），（4）复方根、立方根这两个概念。如：
22=4 ，（-2）2=4 2，-2叫4的平方根23=8 2叫8的立方根； （-2）3=-8-2叫-8的立方根25=32 2叫32的5次方根 … 2n=a 2叫a的n次方根
分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n=a，则2叫a的n次方根。由此，可有：
2.n次方根的定义：（板书）
一般地，如果，那么x叫做a的n次方根（ th root）,其中，且。
问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？是否正确？
分析过程：
例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a6的3次方根。（要求完整地叙述求解过程）
解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为=-32，所以-2是-32的5次方根；
因为，所以a2是a6的3次方根。
结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为。
从而有：，，
例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。
解：因为，，所以2和-2是16的4次方根；
因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。
结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：
其中表示a的正的n次方根，表示a的负的n次方根。
例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。
解：因为不论n为奇数，还是偶数，都有0n=0，所以0的3次方根，0的4次方根均为0。
结论3：0的n次方根是0，记作当a=0时也有意义。
这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质：
3.n次方根的性质：（板书）
其中 叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。
注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。
4.根式运算性质：（板书）
①，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。
问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？
例4：求 ， ， ，
由所得结果，可有：（板书）
②
性质的推导如下：
性质①推导过程：当n为奇数时，当n为偶数时，综上所述，可知：性质②推导过程： 当n为奇数时，由n次方根定义得：当n为偶数时，由n次方根定义得：则综上所述：
注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。
（III）例题讲解
例1．求下列各式的值： （4）（a>b）
注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。
（III）课堂练习：求下列各式的值
(1) (2) (3) (4)
（IV）课时小结
通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。
（V）课后作业
1、书面作业：
a.求下列各式的值
b.书P69习题2.1 A组题第1题。
2、预习作业：
a.预习内容：课本P59—P62。
b.预习提纲：
（1）根式与分数指数幂有何关系？
（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？
第二课时：9月21日 （I）复习回顾
1.填空
（1） （2）；（3） (4)（5）； （6）
（II）讲授新课
分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n次方根的概念来解：；
也可根据n次方根的性质来解：。
问题1：观察，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？
，即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式。
问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：是否可行？
分析：假设幂的运算性质对于分数指数幂也适用，那么，这说明也是的3次方根，而也是a2的3次方根（由于这里n=3，a2的3次方根唯一），于是。这说明可行。
由此可有：
1.正数的正分数指数幂的意义：<板书>
)
注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。
问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，行不行？
分析：正例：等等；
反例：；又如：
。这样就产生了混乱，因此“a>0”这个限制不可少。至于，这是正确的，但此时不能理解为分数指数幂，不能代表有理数（因为不能改写为），这只表示一种上标。而，那是因为，负号内部消化了。
问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂？
分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0的分数指数幂与0的非0整数幂的意义相仿。
2.负分数指数幂：<板书>
3.0的分数指数幂：（板书）
0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义（为什么？）。
说明：（1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性；
（2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数；
（3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即（板书）
；
(4) 根式与分数指数幂可以进行互化:分式指数幂可以直接化成根式计算，也可利用来计算；反过来，根式也可化成分数指数幂来计算。
（5）同样可规定
1 ap表示一个确定的实数；
2 上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关念和证明从略；
3 指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫）。
（III）例题讲解（投影2）
例2．求值：
分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。
解：
例3．用分数指数幂的形式表示下列各式：
分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。
解：
（IV）课堂练习
课本P63练习：1、2、3、4
（V）课时小结
通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质。
（V）课后作业
1、书面作业：课本P69习题2.1A组题第2,3,4.
2、预习作业
（1）预习内容：课本P61例题5。
（2）预习提纲：
a.根式的运算如何进行？
b.利用理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧？
第三课时：9月22日
教学目标
1.掌握根式与分数指数幂的互化；
2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值；
3.培养学生的数学应用意识。
教学重点：有理指数幂运算性质运用。
教学难点：化简、求值的技巧
教学方法：启发引导式
教学过程
（I）复习回顾
1.分数指数幂的概念，以及有理指数幂的运算性质
分数指数幂概念 有理指数幂运算性质 ；
2.用分数指数幂表示下列各式（a>0,x>0）
（II）讲授新课
例1．计算下列各式（式中字母都是正数）
分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但：
1 结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数；
③ 根式需化成最简根式。
解：
例2．计算下列各式：
分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。
（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。
解：
例3．求值：
分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；
解：
要求：例3学生先练习，后讲评，讲评时需向学生强调求值过程中的变形技巧。
（III）课堂练习
计算下列各式：
要求：学生板演练习，做完后老师讲评。
（IV）课时小结
通过本节学习，要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值，并掌握一定的解题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法。
（V）课后作业
第二教材有关题目
2.1.2 指数函数及其性质（第一课时）
教学时间：2007年9月23日
教学目标：1、理解指数函数的概念
2、根据图象分析指数函数的性质
3、应用指数函数的单调性比较幂的大小
教学重点：指数函数的图象和性质
教学难点：底数a对函数值变化的影响
教学方法：学导式
（一）复习：（提问）
引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂次后，得到的细胞个数与的函数关系式是：．
这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量。
（二）新课讲解：
1．指数函数定义：
一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是．
练习：判断下列函数是否为指数函数。
① ② ③（且）④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧．
2.指数函数（且）的图象：
例1．画的图象（图（1））．
解：列出的对应表，用描点法画出图象
… -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 …
… 0.13 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.4 2 2.8 4 8 …
例2．画的图象（图（1））．
… -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 …
… 8 4 2.8 2 1.4 1 0.71 0.5 0.35 0.25 0.13 …
指出函数与图象间的关系？
说明：一般地， 函数与的图象关于轴对称。
3．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：
图象
性质 （1）定义域：
（2）值域：
（3）过点，即时
（4）在上是增函数 （4）在上是减函数
例3．已知指数函数的图象经过点，求的值（教材第66页例6）。
例4．比较下列各题中两个值的大小：
；
（教材第66页例7）
小结：学习了指数函数的概念及图象和性质；
练习：教材第68页练习1、3题。
作业：教材第69页习题2。1A组题 第6、7、8题
2.1.2 指数函数及其性质（第二课时）
教学时间：2007年9月24日
教学目标：1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质；
2.能求由指数函数复合而成的函数定义域、值域；
3.掌握比较同底数幂大小的方法；
4. 培养学生数学应用意识。
教学重点：指数函数性质的运用
教学难点：指数函数性质的运用
教学方法：学导式
（一）复习：（提问）
1．指数函数的概念、图象、性质
2．练习：
（1）说明函数图象与函数图象的关系；
（2）将函数图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式是 ；
（3）画出函数的草图。
（二）新课讲解：
例1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）。
分析：通过恰当假设，将剩留量表示成经过年数的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。
解：设这种物质量初的质量是1，经过年，剩留量是.
经过1年，剩留量=1×84%=0.841；
经过2年，剩留量=1×84%=0.842；
……
一般地，经过x年，剩留量，
根据这个函数关系式可以列表如下：
0 1 2 3 4 5 6
1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35
用描点法画出指数函数的图象。从图上看出，只需.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半。
例2． 说明下列函数的图象与指数函数的图象的关系，并画出它们的示意图：
（1）； （2）．
解：（1）比较函数与的关系：
与相等，
与相等，
与相等 ，
……
由此可以知道，将指数函数的图象向左平移1个单位长度，就得到函数的图象。
（2）比较函数与的关系：
与相等，
与相等，
与相等 ， ……
由此可以知道，将指数函数的图象向右平移2个单位长度，就得到函数的图象。
说明：一般地，当时，将函数的图象向左平移个单位得到的图象；当时，将函数的图象向右平移个单位，得到的图象。
练习：说出下列函数图象之间的关系：
（1）与； （2）与；（3）与．
例3．求下列函数的定义域、值域：
（1） （2） （3） （4）．
解：（1） ∴ 原函数的定义域是，
令 则
∴得，
所以，原函数的值域是．
（2） ∴ 原函数的定义域是，
令 则， 在是增函数 ∴，
所以，原函数的值域是．
（3）原函数的定义域是，
令 则， 在是增函数， ∴，
所以，原函数的值域是．
（4）原函数的定义域是，
由得，
∴， ∴，所以，原函数的值域是．
说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。
小结：1．学会怎样将应用问题转化为数学问题及利用图象求方程的解；
2．学会灵活地应用指数函数的性质比较幂的大小及求复合函数的值域。
3．了解函数与及函数与图象间的关系。
作业：习题2.1 第3，5，6题
2.1.2 指数函数及其性质（第三课时）
教学时间：2007年9月29日
教学目标：1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法；
2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法；
3.培养学生的数学应用意识。
教学重点：函数单调性、奇偶性的证明通法
教学难点：指数函数性质的运用
教学方法：学导式
（一）复习：（提问）
1.指数函数的图象及性质
2.判断及证明函数单调性的基本步骤：假设→作差→变形→判断
3.判断及证明函数奇偶性的基本步骤：
（1）考查函数定义域是否关于原点对称；
（2）比较与或者的关系；
（3）根据函数奇偶性定义得出结论。
（二）新课讲解：
例1．当时，证明函数 是奇函数。
证明：由得，，故函数定义域关于原点对称。
∴，所以，函数 是奇函数。
评析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运算性质。
例2．设是实数，，
（1）试证明：对于任意在为增函数；
（2）试确定的值，使为奇函数。
分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。
（1）证明：设，则
，
由于指数函数在上是增函数，且，所以即，
又由，得，，所以，即．
因为此结论与取值无关，所以对于取任意实数，在为增函数。
评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。
（2）解：若为奇函数，则，
即，变形得：，
解得：，所以，当时, 为奇函数。
评述：此题并非直接确定值，而是由已知条件逐步推导值。应要求学生适应这种题型。
练习：（1）已知函数为偶函数，当时，,求当时，的解析式。
（2）判断的单调区间。
小结：灵活运用指数函数的性质，并掌握函数单调性，奇偶性证明的通法。
作业：（补充）
1．已知函数，
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求证函数在上是增函数。
2．函数的单调递减区间是 ．
3.已知函数定义域为，当时有，求的解析式。
§2．2对数函数
2.2.1 对数与对数运算（三课时）
教学时间：2007年10月8日——10月10日
教学目标：1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质．
2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程．
3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题．
4．对数的初步应用.
教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则
教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导
教学方法：学导式
教学过程设计
第一课时
师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？
生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2％）20=1.07220，所以20年后国民生产总值是原来的1.07220倍．
师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题．
师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？
师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程得:1.072x=4．
我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题．
师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的x次幂等于N，就是，那么数x就叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式．
对数这个定义的认识及相关例子:
(1)对数式logaN实际上就是指数式中的指数x的一种新的记法．
(2)对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算．
实际上这个式子涉及到了三个量a，x，N，由方程的观点可得“知二求一”．知道a，x可求N，即前面学过的指数运算；知道x（为自然数时）、N可求a，即初中学过的开根号运算，记作；知道a,N可以求x，即今天要学习的对数运算，记作logaN= x．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为logaN，读作：以a为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法．
师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数．
师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数(common logarithm)，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数(natural logarithm)，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……．
师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆对数这个概念，请同学们填写下列表格．
式子 名称
a x N
指数式对数式 ax=NlogaN=x
练习1 把下列指数式写成对数形式：
练习2 把下列对数形式写成指数形式：
练习3 求下列各式的值：
（两名学生板演练习1，2题（过程略），一生板演练习三．）
因为22=4，所以以2为底4的对数等于2．
因为53=125，所以以5为底125的对数等于3．
（注意纠正学生的错误读法和写法．）
例题（教材第73页例题2）
师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？
生：a＞0且a≠1；x∈R；N∈R．
师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．）
生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ax=N中N总是正数．
师：要特别强调的是：零和负数没有对数．
师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？
（根据本班情况决定是否设置此问．）
生：因为若a＜0，则N取某些值时，x可能不存在，如x=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，x不存在，如log02不存在；当N为0时，x可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N不为1时，x不存在，如log13不存在，N为1时，x可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1．
（此回答能培养学生分类讨论的数学思想．这个问题从ax=N出发回答较为简单．）
练习4 计算下列对数：
lg10000，lg0.01，，，，．
师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想．
生：=4．这是因为log24=2，而22=4．
生：=27．这是因为log327=3，而33=27．
生：=105．
生：我猜想，所以=1125．
师：非常好．这就是我们下面要学习的对数恒等式．
师：（板书）
（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线）
（再次鼓励学生，并提出更高要求，给出严格证明．）（学生讨论，并口答．）
生：（板书）
证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=
师：你是根据什么证明对数恒等式的？
生：根据对数定义．
师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明．
师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件．
生：a＞0，a≠1，N＞0．
师：接下来观察式子结构特点并加以记忆．
（给学生一分钟时间．）
师：（板书）2log28=？2log42=？
生：2log28=8；2log42=2．
师：第2题对吗？错在哪儿？
师：（继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么？
（经历上面的错误，使学生更牢固地记住对数恒等式．）
生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式．
（师用红笔在两处a上重重地描写．）
师：最后说说对数恒等式的作用是什么？
生：化简！
师：请打开书74页，做练习4．（生口答．略）
师：对对数的定义我们已经有了一定认识，现在，我们根据定义来进一步研究对数的性质．
师：负数和零有没有对数？并说明理由．
生：负数和零没有对数．因为定义中规定a＞0，所以不论x是什么数，都有ax＞0，这就是说，不论x是什么数，N=ax永远是正数．因此，由等式x=logaN可以看到，负数和零没有对数．
师：非常好．由于对数定义是建立在指数定义的基础之上，所以我们要充分利用指数的知识来研究对数．
师：（板书）性质1：负数和零没有对数．
师：1的对数是多少？
生：因为a0=1（a＞0，a≠1），所以根据对数定义可得1的对数是零．
师：（板书）1的对数是零．
师；底数的对数等于多少？
生：因为a1=a，所以根据对数的定义可得底数的对数等于1．
师：（板书）底数的对数等于1．
师：给一分钟时间，请牢记这三条性质．
练习：课本第74页练习1、2、3、4题。
作业：课本第86页习题2.2A组题第1、2题。
第二课时
师：在初中，我们学习了指数的运算法则，请大家回忆一下．
生： (m,n∈Z)； (m,n∈Z)； (n∈Z)，
师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则．（板书）
（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和，即
loga（MN）=logaM+logaN．
（请两个同学读法则（1），并给时间让学生讨论证明．）
师：我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义和性质，显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明．而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算法则加以证明，因此，我们首先要把对数等式转化为指数等式．
师：（板书）设logaM=p，logaN=q，由对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以
M·N=ap·aq=ap+q，
所以 loga（M·N）=p+q=logaM+logaN．
即 loga（MN）=logaM+logaN．
师：这个法则的适用条件是什么？
生：每个对数都有意义，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．
师：观察法则（1）的结构特点并加以记忆．
生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．
师：非常好．例如，（板书）log2（32×64）=？
生：log2（32×64）=log232+log264=5+6=11．
师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用——降级运算．它使计算简化．
师：（板书）log62+log63=？
生：log62+log63=log6（2×3）=1．
师：正确．由此例我们又得到什么启示？
生：这是法则从右往左的使用．是升级运算．
师：对．对于运算法则（公式），我们不仅要会从左往右使用，还要会从右往左使用．真正领会法则的作用！
师：（板书）（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．
师：仿照研究法则（1）的四个步骤，自己学习．
（给学生三分钟讨论时间．）
生：（板书）设logaM=p，logaN=q．根据对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以
师：非常好．他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的．大家再想一想，在证明法则（2）时，我们不仅有对数的定义和性质，还有法则（1）这个结论．那么，我们是否还有其它证明方法？
生：（板书）
师：非常漂亮．他是运用转化归结的思想，借助于刚刚证明的法则（1）去证明法则（2）．他的证法要比书上的更简单．这说明，转化归结的思想，在化难为易、化复杂为简单上的重要作用．事实上，这种思想不但在学习新概念、新公式时常常用到，而且在解题中的应用更加广泛．
师：法则（2）的适用条件是什么？
生：M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．
师：观察法则（2）的结构特点并加以记忆．
生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．
师：（板书）lg20-lg2=？
师：可见法则（2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法．
师：（板书）
例1 计算：
（学生上黑板解，由学生判对错，并说明理由．）：
（1）log93+log927=log93×27=log981=2；
（3）log2（4+4）=log24+log24=4；
生：第（2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则．（板书）
生：第（3）题错！法则（1）的内容是：
生：第（4）题错！法则（2）的内容是：
师：通过前面同学出现的错误，我们在运用对数运算法则时要特别注意什么？
生：首先，在同底的情况下才能从右往左运用法则（1）、（2）；其次，只有在正因数的积或两个正数的商的对数的情况下，才能从左往右运用运算法则（1）、（2）．
师：（板书）（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即
loga（N）n=n·logaN．
师：请同学们自己证明（给几分钟时间）
师：法则（3）的适用条件是什么？
生：a＞0，a≠1；N＞0．
师：观察式子结构特点并加以记忆．
生：从左往右仍然是降级运算．
师：例如，（板书）log332=log525=5log52．练习计算（log232）3．
（找一好一差两名学生板书．）
错解：（log232）3=log2（25）3=log2215=15．
正确解：（log232）3=（log225）3=（5log22）3=53=125．
（师再次提醒学生注意要准确记忆公式．）
师：（板书）（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即
师：法则（4）的适用条件是什么？
生：a＞0，a≠1；N＞0．
师：法则（3）和法则（4）可以合在一起加以记忆．即logaNα=αlogaN（α∈R）．（师板书）
例2 用logax，logay，logaz表示下列各式：
解：
（注意（3）的第二步不要丢掉小括号．）
例3 计算：
解：（生板书）
（1）log2（47×25）=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19．
师：请大家在笔记本上小结这节课的主要内容．
小结：通过本节课，应使学生明确如何学习一种运算（从定义、记法、性质、法则等方面来研究）；如何学习公式或法则（从公式推导，适用条件，结构特点和记忆以及公式作用四方面来研究）．针对高中数学内容多、密度大、进度快的特点，应使学生尽早地掌握适应高中数学的学习方法．
练习：课本第79页练习第1、2、3题。
作业：课本第86页习题2.2A组题第3、4、5题。
第三课时
简略教案设计说明：
（1）对数换底公式（教材第76页“探究性问题”）
解决课本第79页练习第4题和第87页第11题，另外补充公式：及应用。
（2）对数及对数运算性质的初步应用，解决课本第77页例5和例6，使学生体会数学来源于生活而又应用于生活的实际意义，并培养学生学习数学的兴趣。
2.2.1 对数函数（三课时）
第一课时
教学时间：2007年10月12日
教学任务：（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；
（2）能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
（3）通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法．
教学重点：掌握对数函数的图象和性质．
教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用．
教学过程：
1、 引入课题
1．（知识方法准备）
学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？
设计意图：结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法——借助图象研究性质．
对数的定义及其对底数的限制．
设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备．
2．（引例）
教材P81引例
处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表：
碳14的含量P 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001
生物死亡年数t
然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数” ．（进而引入对数函数的概念）
2、 新课教学
（一）对数函数的概念
1．定义：函数，且叫做对数函数（logarithmic function）
其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
对数函数对底数的限制：，且．
巩固练习：（教材P68例2、3）
（二）对数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
探索研究：
在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）
（1）
（2）
（3）
（4）
类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格：
图象特征 函数性质
函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞）
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R
函数图象都过定点（1，1）
自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0
第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0
思考底数是如何影响函数的．（学生独立思考，师生共同总结）
规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．
（三）典型例题
例1．（教材P83例7）．
解：（略）
说明：本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对对数函数的理解．
巩固练习：（教材P85练习2）．
例2．（教材P83例8）
解：（略）
说明：本例主要考察学生利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法，熟悉对数函数的性质，渗透应用函数的观点解决问题的思想方法．
注意：本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法，规范解题格式．
巩固练习：（教材P85练习3）．
例2．（教材P83例9）
解：（略）
说明：本例主要考察学生对实际问题题意的理解，把具体的实际问题化归为数学问题．
注意：本例在教学中，还应特别启发学生用所获得的结果去解释实际现象．
巩固练习：（教材P86习题2．2 A组第6题）．
3、 归纳小结，强化思想
本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质．在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点．
4、 作业布置
1． 必做题：教材P86习题2．2（A组） 第7、8、9、12题．
2． 选做题：教材P86习题2．2（B组） 第5题．
第二课时
教学时间：2007年10月13日
教学目标：1．掌握对数函数单调性
2．掌握比较同底数对数大小的方法
3．培养学生数学应用意识
教学重点：利用对数函数单调性比较对数大小
教学难点：不同底数的对数比较大小
教学方法：学导式
教学过程
（I）复习回顾
师：上一节，大家学习了对数函数的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即
当时，在（0，+∞）上是增函数；
当时, 在（0，+∞） 是减函数。
这一节，我们主要学习对数函数单调性的应用。
（Ⅱ）讲授新课
1． 例题讲解：
例2．比较下列各组数中两个值的大小：
（1）；
（2）；
（3）
分析：此题主要利用对数函数的单调性比较两个同底数的对数值大小。
解：（1）考查对数函数，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是。
（2）考查对数函数，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是。
师：通过例2（1）、（2）的解答，大家可以试着总结两个同底数的对数比较大小的一般步骤：
（1） 确定所要考查的对数函数；
（2） 根据对数底数判断对数函数增减性；
（3） 比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小
解：（3）当时，在（0，+∞）上是增函数，于是
当时，在（0，+∞）上是减函数，于是
评述：对数函数的增减性决定于对数的底数是大于是还是小于是。而已知条件并未指明，因此需要对底数进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握。
例3．比较下列各组中两个值的大小：
（1）； （2）
分析：由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对数的大小。
解：（1），
（2）；；
评述：例3仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小，例3（2）题也可与1比较。
（Ⅲ）课堂练习
课本P 练习
补充：比较与两个值的大小
要求：学生板演，教师讲评
（Ⅳ）课时小结
师：通过本节学习，大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并要能逐步掌握分类讨论的思想方法。
（V）课后作业
一、课本P 习题2.
二、1．预习内容：函数单调性、奇偶性证明
2． 预习提纲：
（1） 判断、证明函数单调性的通法；
（2） 判断、证明函数奇偶性的通法。
第三课时
教学时间：2007年10月14日
教学目标：1．掌握对数函数单调性
2．掌握比较同底数对数大小的方法
3．培养学生数学应用意识
教学重点：函数单调性、奇偶性的证明通法
教学难点：对数运算性质、对数函数性质的应用
教学方法：学导式
教学过程
（I）复习回顾
师：上一节，我要求大家预习函数单调性、奇偶性的证明方法，现在，我们进行一下回顾。
1．判断及证明函数单调性的基本步骤：
假设—作差—变形—判断
说明：变形目的是为了易于判断；判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的判断。
2．判断及证明函数奇偶性的基本步骤：
1 考查函数定义域是否关于原点对称；
2 比较与或者的关系；
3 根据函数奇偶性定义得出结论。
说明：考查函数定义域容易被学生忽视，应强调学生注意。
师：接下来，我们一起来看例题
（Ⅱ）讲授新课
例4．判断下列函数的奇偶性：
（1）；（2）
分析：首先要注意定义域的考查，然后严格按照奇偶性证明基本步骤进行
解：（1）由可得，所以函数的定义域为：（）关于原点对称，
又，即，所以函数奇函数。
评述：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质。说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形。
解：（2）由可得，所以函数的定义域为R关于原点对称，又
即，所以函数是奇函数。
评述：此题定义域的确定可能稍有困难，可以讲解此点，而函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，应要求学生掌握。
例5．（1）证明函数在上是增函数。（2）问：函数在上是减函数还是增函数？
分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉上一节利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法。
证明：设，且，则
，又在上是增函数，
∴，即
∴函数在上是增函数
（2）题证明可以依照上述证明过程给出
评述：此题可引导学生总结函数的增减性与函数的增减性的关系，并可在课堂练习之后得出一般性的结论。
（Ⅲ）课堂练习
（1）证明函数在上是减函数；
（2）判断函数在上的增减性。
（Ⅳ）课时小结
师：通过本节学习，大家能进一步熟悉对数函数的性质应用，并掌握证明函数单调性、奇偶性的通法，提高数学应用的能力。
（V）课后作业
1．求的单调递减区间；
2．求的单调递增区间；
2.2.1 幂函数（两课时）
教学目标：
知识与技能 通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．
过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．
情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．
教学重点：
重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．
难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节 教学内容设计 师生双边互动
创设情境 阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题：1．它们的对应法则分别是什么？2．以上问题中的函数有什么共同特征？（答案）1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4）开方；（5）取倒数（或求－1次方）．2．上述问题中涉及到的函数，都是形如的函数，其中是自变量，是常数． 生：独立思考完成引例．师：引导学生分析归纳概括得出结论．师生：共同辨析这种新函数与指数函数的异同．
组织探究 材料一：幂函数定义及其图象．一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．下面我们举例学习这类函数的一些性质．作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）． [解] 列表（略） 图象 师：说明：幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．生：利用所学知识和方法尝试作出五个具体幂函数的图象，观察所图象，体会幂函数的变化规律．师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．师生共同分析，强调画图象易犯的错误．
环节 教学内容设计 师生双边互动
组织探究 材料二：幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律．生：观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填表．
材料三：观察与思考观察图象，总结填写下表：定义域值域奇偶性单调性定点
材料五：例题[例1]（教材P92例题）[例2] 比较下列两个代数值的大小：（1），（2），[例3] 讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性． 师：引导学生回顾讨论函数性质的方法，规范解题格式与步骤．并指出函数单调性是判别大小的重要工具，幂函数的图象可以在单调性、奇偶性基础上较快描出．生：独立思考，给出解答，共同讨论、评析．
环节 呈现教学材料 师生互动设计
尝试练习 1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1），；（2），；（3），；（4），．2．作出函数的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明．3．作出函数和函数的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．4．用图象法解方程：（1）； （2）．
探究与发现 1．如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，则相应图象依次为： ．2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？（1）和；（2）和． 规律1：在第一象限，作直线，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线对称．
作业回馈 1．在函数中，幂函数的个数为：A．0 B．1 C．2 D．3
环节 呈现教学材料 师生互动设计
2．已知幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式．3．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比．（1）写出函数解析式；（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率．4．1992年底世界人口达到54．8亿，若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿），写出：（1）1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数；（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式．
课外活动 利用图形计算器探索一般幂函数的图象随的变化规律．
收获与体会 1．谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？2．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面？
图（1）
创设情境
组织探究
尝试练习
巩固反思
作业回馈
课外活动
问题引入．
幂函数的图象和性质．
幂函数性质的初步应用．
复述幂函数的图象规律及性质．
幂函数性质的初步应用．
利用图形计算器或计算机探索一般幂函数的图象规律．
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第二章 基本初等函数（Ⅰ）
§2．1指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时）
教学时间：2007年9月20日——9月22日
教学目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；
2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；
3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质
教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解
教学方法：学导式
教学过程：
第一课时：9月20日 （I）复习回顾
引例：填空
（1）； a0=1（a； (2) (m,n∈Z)； (m,n∈Z)； (n∈Z)（3）； -； （4）；
（II）讲授新课
1.引入：
（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为可看作,所以可以归入性质；又因为可看作，所以可以归入性质(n∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n次根式（）的概念。
（2）填空（3），（4）复方根、立方根这两个概念。如：
22=4 ，（-2）2=4 2，-2叫4的平方根23=8 2叫8的立方根； （-2）3=-8-2叫-8的立方根25=32 2叫32的5次方根 … 2n=a 2叫a的n次方根
分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n=a，则2叫a的n次方根。由此，可有：
2.n次方根的定义：（板书）
一般地，如果，那么x叫做a的n次方根（ th root）,其中，且。
问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？是否正确？
分析过程：
例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a6的3次方根。（要求完整地叙述求解过程）
解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为=-32，所以-2是-32的5次方根；
因为，所以a2是a6的3次方根。
结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为。
从而有：，，
例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。
解：因为，，所以2和-2是16的4次方根；
因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。
结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：
其中表示a的正的n次方根，表示a的负的n次方根。
例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。
解：因为不论n为奇数，还是偶数，都有0n=0，所以0的3次方根，0的4次方根均为0。
结论3：0的n次方根是0，记作当a=0时也有意义。
这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质：
3.n次方根的性质：（板书）
其中 叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。
注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。
4.根式运算性质：（板书）
①，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。
问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？
例4：求 ， ， ，
由所得结果，可有：（板书）
②
性质的推导如下：
性质①推导过程：当n为奇数时，当n为偶数时，综上所述，可知：性质②推导过程： 当n为奇数时，由n次方根定义得：当n为偶数时，由n次方根定义得：则综上所述：
注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。
（III）例题讲解
例1．求下列各式的值： （4）（a>b）
注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。
（III）课堂练习：求下列各式的值
(1) (2) (3) (4)
（IV）课时小结
通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。
（V）课后作业
1、书面作业：
a.求下列各式的值
b.书P69习题2.1 A组题第1题。
2、预习作业：
a.预习内容：课本P59—P62。
b.预习提纲：
（1）根式与分数指数幂有何关系？
（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？
第二课时：9月21日 （I）复习回顾
1.填空
（1） （2）；（3） (4)（5）； （6）
（II）讲授新课
分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n次方根的概念来解：；
也可根据n次方根的性质来解：。
问题1：观察，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？
，即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式。
问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：是否可行？
分析：假设幂的运算性质对于分数指数幂也适用，那么，这说明也是的3次方根，而也是a2的3次方根（由于这里n=3，a2的3次方根唯一），于是。这说明可行。
由此可有：
1.正数的正分数指数幂的意义：<板书>
)
注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。
问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，行不行？
分析：正例：等等；
反例：；又如：
。这样就产生了混乱，因此“a>0”这个限制不可少。至于，这是正确的，但此时不能理解为分数指数幂，不能代表有理数（因为不能改写为），这只表示一种上标。而，那是因为，负号内部消化了。
问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂？
分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0的分数指数幂与0的非0整数幂的意义相仿。
2.负分数指数幂：<板书>
3.0的分数指数幂：（板书）
0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义（为什么？）。
说明：（1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性；
（2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数；
（3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即（板书）
；
(4) 根式与分数指数幂可以进行互化:分式指数幂可以直接化成根式计算，也可利用来计算；反过来，根式也可化成分数指数幂来计算。
（5）同样可规定
1 ap表示一个确定的实数；
2 上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关念和证明从略；
3 指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫）。
（III）例题讲解（投影2）
例2．求值：
分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。
解：
例3．用分数指数幂的形式表示下列各式：
分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。
解：
（IV）课堂练习
课本P63练习：1、2、3、4
（V）课时小结
通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质。
（V）课后作业
1、书面作业：课本P69习题2.1A组题第2,3,4.
2、预习作业
（1）预习内容：课本P61例题5。
（2）预习提纲：
a.根式的运算如何进行？
b.利用理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧？
第三课时：9月22日
教学目标
1.掌握根式与分数指数幂的互化；
2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值；
3.培养学生的数学应用意识。
教学重点：有理指数幂运算性质运用。
教学难点：化简、求值的技巧
教学方法：启发引导式
教学过程
（I）复习回顾
1.分数指数幂的概念，以及有理指数幂的运算性质
分数指数幂概念 有理指数幂运算性质 ；
2.用分数指数幂表示下列各式（a>0,x>0）
（II）讲授新课
例1．计算下列各式（式中字母都是正数）
分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但：
1 结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数；
③ 根式需化成最简根式。
解：
例2．计算下列各式：
分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。
（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。
解：
例3．求值：
分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；
解：
要求：例3学生先练习，后讲评，讲评时需向学生强调求值过程中的变形技巧。
（III）课堂练习
计算下列各式：
要求：学生板演练习，做完后老师讲评。
（IV）课时小结
通过本节学习，要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值，并掌握一定的解题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法。
（V）课后作业
第二教材有关题目
2.1.2 指数函数及其性质（第一课时）
教学时间：2007年9月23日
教学目标：1、理解指数函数的概念
2、根据图象分析指数函数的性质
3、应用指数函数的单调性比较幂的大小
教学重点：指数函数的图象和性质
教学难点：底数a对函数值变化的影响
教学方法：学导式
（一）复习：（提问）
引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂次后，得到的细胞个数与的函数关系式是：．
这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量。
（二）新课讲解：
1．指数函数定义：
一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是．
练习：判断下列函数是否为指数函数。
① ② ③（且）④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧．
2.指数函数（且）的图象：
例1．画的图象（图（1））．
解：列出的对应表，用描点法画出图象
… -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 …
… 0.13 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.4 2 2.8 4 8 …
例2．画的图象（图（1））．
… -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 …
… 8 4 2.8 2 1.4 1 0.71 0.5 0.35 0.25 0.13 …
指出函数与图象间的关系？
说明：一般地， 函数与的图象关于轴对称。
3．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：
图象
性质 （1）定义域：
（2）值域：
（3）过点，即时
（4）在上是增函数 （4）在上是减函数
例3．已知指数函数的图象经过点，求的值（教材第66页例6）。
例4．比较下列各题中两个值的大小：
；
（教材第66页例7）
小结：学习了指数函数的概念及图象和性质；
练习：教材第68页练习1、3题。
作业：教材第69页习题2。1A组题 第6、7、8题
2.1.2 指数函数及其性质（第二课时）
教学时间：2007年9月24日
教学目标：1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质；
2.能求由指数函数复合而成的函数定义域、值域；
3.掌握比较同底数幂大小的方法；
4. 培养学生数学应用意识。
教学重点：指数函数性质的运用
教学难点：指数函数性质的运用
教学方法：学导式
（一）复习：（提问）
1．指数函数的概念、图象、性质
2．练习：
（1）说明函数图象与函数图象的关系；
（2）将函数图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式是 ；
（3）画出函数的草图。
（二）新课讲解：
例1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）。
分析：通过恰当假设，将剩留量表示成经过年数的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。
解：设这种物质量初的质量是1，经过年，剩留量是.
经过1年，剩留量=1×84%=0.841；
经过2年，剩留量=1×84%=0.842；
……
一般地，经过x年，剩留量，
根据这个函数关系式可以列表如下：
0 1 2 3 4 5 6
1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35
用描点法画出指数函数的图象。从图上看出，只需.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半。
例2． 说明下列函数的图象与指数函数的图象的关系，并画出它们的示意图：
（1）； （2）．
解：（1）比较函数与的关系：
与相等，
与相等，
与相等 ，
……
由此可以知道，将指数函数的图象向左平移1个单位长度，就得到函数的图象。
（2）比较函数与的关系：
与相等，
与相等，
与相等 ， ……
由此可以知道，将指数函数的图象向右平移2个单位长度，就得到函数的图象。
说明：一般地，当时，将函数的图象向左平移个单位得到的图象；当时，将函数的图象向右平移个单位，得到的图象。
练习：说出下列函数图象之间的关系：
（1）与； （2）与；（3）与．
例3．求下列函数的定义域、值域：
（1） （2） （3） （4）．
解：（1） ∴ 原函数的定义域是，
令 则
∴得，
所以，原函数的值域是．
（2） ∴ 原函数的定义域是，
令 则， 在是增函数 ∴，
所以，原函数的值域是．
（3）原函数的定义域是，
令 则， 在是增函数， ∴，
所以，原函数的值域是．
（4）原函数的定义域是，
由得，
∴， ∴，所以，原函数的值域是．
说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。
小结：1．学会怎样将应用问题转化为数学问题及利用图象求方程的解；
2．学会灵活地应用指数函数的性质比较幂的大小及求复合函数的值域。
3．了解函数与及函数与图象间的关系。
作业：习题2.1 第3，5，6题
2.1.2 指数函数及其性质（第三课时）
教学时间：2007年9月29日
教学目标：1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法；
2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法；
3.培养学生的数学应用意识。
教学重点：函数单调性、奇偶性的证明通法
教学难点：指数函数性质的运用
教学方法：学导式
（一）复习：（提问）
1.指数函数的图象及性质
2.判断及证明函数单调性的基本步骤：假设→作差→变形→判断
3.判断及证明函数奇偶性的基本步骤：
（1）考查函数定义域是否关于原点对称；
（2）比较与或者的关系；
（3）根据函数奇偶性定义得出结论。
（二）新课讲解：
例1．当时，证明函数 是奇函数。
证明：由得，，故函数定义域关于原点对称。
∴，所以，函数 是奇函数。
评析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运算性质。
例2．设是实数，，
（1）试证明：对于任意在为增函数；
（2）试确定的值，使为奇函数。
分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。
（1）证明：设，则
，
由于指数函数在上是增函数，且，所以即，
又由，得，，所以，即．
因为此结论与取值无关，所以对于取任意实数，在为增函数。
评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。
（2）解：若为奇函数，则，
即，变形得：，
解得：，所以，当时, 为奇函数。
评述：此题并非直接确定值，而是由已知条件逐步推导值。应要求学生适应这种题型。
练习：（1）已知函数为偶函数，当时，,求当时，的解析式。
（2）判断的单调区间。
小结：灵活运用指数函数的性质，并掌握函数单调性，奇偶性证明的通法。
作业：（补充）
1．已知函数，
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求证函数在上是增函数。
2．函数的单调递减区间是 ．
3.已知函数定义域为，当时有，求的解析式。
§2．2对数函数
2.2.1 对数与对数运算（三课时）
教学时间：2007年10月8日——10月10日
教学目标：1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质．
2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程．
3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题．
4．对数的初步应用.
教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则
教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导
教学方法：学导式
教学过程设计
第一课时
师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？
生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2％）20=1.07220，所以20年后国民生产总值是原来的1.07220倍．
师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题．
师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？
师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程得:1.072x=4．
我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题．
师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的x次幂等于N，就是，那么数x就叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式．
对数这个定义的认识及相关例子:
(1)对数式logaN实际上就是指数式中的指数x的一种新的记法．
(2)对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算．
实际上这个式子涉及到了三个量a，x，N，由方程的观点可得“知二求一”．知道a，x可求N，即前面学过的指数运算；知道x（为自然数时）、N可求a，即初中学过的开根号运算，记作；知道a,N可以求x，即今天要学习的对数运算，记作logaN= x．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为logaN，读作：以a为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法．
师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数．
师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数(common logarithm)，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数(natural logarithm)，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……．
师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆对数这个概念，请同学们填写下列表格．
式子 名称
a x N
指数式对数式 ax=NlogaN=x
练习1 把下列指数式写成对数形式：
练习2 把下列对数形式写成指数形式：
练习3 求下列各式的值：
（两名学生板演练习1，2题（过程略），一生板演练习三．）
因为22=4，所以以2为底4的对数等于2．
因为53=125，所以以5为底125的对数等于3．
（注意纠正学生的错误读法和写法．）
例题（教材第73页例题2）
师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？
生：a＞0且a≠1；x∈R；N∈R．
师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．）
生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ax=N中N总是正数．
师：要特别强调的是：零和负数没有对数．
师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？
（根据本班情况决定是否设置此问．）
生：因为若a＜0，则N取某些值时，x可能不存在，如x=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，x不存在，如log02不存在；当N为0时，x可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N不为1时，x不存在，如log13不存在，N为1时，x可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1．
（此回答能培养学生分类讨论的数学思想．这个问题从ax=N出发回答较为简单．）
练习4 计算下列对数：
lg10000，lg0.01，，，，．
师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想．
生：=4．这是因为log24=2，而22=4．
生：=27．这是因为log327=3，而33=27．
生：=105．
生：我猜想，所以=1125．
师：非常好．这就是我们下面要学习的对数恒等式．
师：（板书）
（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线）
（再次鼓励学生，并提出更高要求，给出严格证明．）（学生讨论，并口答．）
生：（板书）
证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=
师：你是根据什么证明对数恒等式的？
生：根据对数定义．
师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明．
师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件．
生：a＞0，a≠1，N＞0．
师：接下来观察式子结构特点并加以记忆．
（给学生一分钟时间．）
师：（板书）2log28=？2log42=？
生：2log28=8；2log42=2．
师：第2题对吗？错在哪儿？
师：（继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么？
（经历上面的错误，使学生更牢固地记住对数恒等式．）
生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式．
（师用红笔在两处a上重重地描写．）
师：最后说说对数恒等式的作用是什么？
生：化简！
师：请打开书74页，做练习4．（生口答．略）
师：对对数的定义我们已经有了一定认识，现在，我们根据定义来进一步研究对数的性质．
师：负数和零有没有对数？并说明理由．
生：负数和零没有对数．因为定义中规定a＞0，所以不论x是什么数，都有ax＞0，这就是说，不论x是什么数，N=ax永远是正数．因此，由等式x=logaN可以看到，负数和零没有对数．
师：非常好．由于对数定义是建立在指数定义的基础之上，所以我们要充分利用指数的知识来研究对数．
师：（板书）性质1：负数和零没有对数．
师：1的对数是多少？
生：因为a0=1（a＞0，a≠1），所以根据对数定义可得1的对数是零．
师：（板书）1的对数是零．
师；底数的对数等于多少？
生：因为a1=a，所以根据对数的定义可得底数的对数等于1．
师：（板书）底数的对数等于1．
师：给一分钟时间，请牢记这三条性质．
练习：课本第74页练习1、2、3、4题。
作业：课本第86页习题2.2A组题第1、2题。
第二课时
师：在初中，我们学习了指数的运算法则，请大家回忆一下．
生： (m,n∈Z)； (m,n∈Z)； (n∈Z)，
师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则．（板书）
（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和，即
loga（MN）=logaM+logaN．
（请两个同学读法则（1），并给时间让学生讨论证明．）
师：我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义和性质，显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明．而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算法则加以证明，因此，我们首先要把对数等式转化为指数等式．
师：（板书）设logaM=p，logaN=q，由对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以
M·N=ap·aq=ap+q，
所以 loga（M·N）=p+q=logaM+logaN．
即 loga（MN）=logaM+logaN．
师：这个法则的适用条件是什么？
生：每个对数都有意义，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．
师：观察法则（1）的结构特点并加以记忆．
生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．
师：非常好．例如，（板书）log2（32×64）=？
生：log2（32×64）=log232+log264=5+6=11．
师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用——降级运算．它使计算简化．
师：（板书）log62+log63=？
生：log62+log63=log6（2×3）=1．
师：正确．由此例我们又得到什么启示？
生：这是法则从右往左的使用．是升级运算．
师：对．对于运算法则（公式），我们不仅要会从左往右使用，还要会从右往左使用．真正领会法则的作用！
师：（板书）（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．
师：仿照研究法则（1）的四个步骤，自己学习．
（给学生三分钟讨论时间．）
生：（板书）设logaM=p，logaN=q．根据对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以
师：非常好．他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的．大家再想一想，在证明法则（2）时，我们不仅有对数的定义和性质，还有法则（1）这个结论．那么，我们是否还有其它证明方法？
生：（板书）
师：非常漂亮．他是运用转化归结的思想，借助于刚刚证明的法则（1）去证明法则（2）．他的证法要比书上的更简单．这说明，转化归结的思想，在化难为易、化复杂为简单上的重要作用．事实上，这种思想不但在学习新概念、新公式时常常用到，而且在解题中的应用更加广泛．
师：法则（2）的适用条件是什么？
生：M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．
师：观察法则（2）的结构特点并加以记忆．
生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．
师：（板书）lg20-lg2=？
师：可见法则（2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法．
师：（板书）
例1 计算：
（学生上黑板解，由学生判对错，并说明理由．）：
（1）log93+log927=log93×27=log981=2；
（3）log2（4+4）=log24+log24=4；
生：第（2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则．（板书）
生：第（3）题错！法则（1）的内容是：
生：第（4）题错！法则（2）的内容是：
师：通过前面同学出现的错误，我们在运用对数运算法则时要特别注意什么？
生：首先，在同底的情况下才能从右往左运用法则（1）、（2）；其次，只有在正因数的积或两个正数的商的对数的情况下，才能从左往右运用运算法则（1）、（2）．
师：（板书）（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即
loga（N）n=n·logaN．
师：请同学们自己证明（给几分钟时间）
师：法则（3）的适用条件是什么？
生：a＞0，a≠1；N＞0．
师：观察式子结构特点并加以记忆．
生：从左往右仍然是降级运算．
师：例如，（板书）log332=log525=5log52．练习计算（log232）3．
（找一好一差两名学生板书．）
错解：（log232）3=log2（25）3=log2215=15．
正确解：（log232）3=（log225）3=（5log22）3=53=125．
（师再次提醒学生注意要准确记忆公式．）
师：（板书）（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即
师：法则（4）的适用条件是什么？
生：a＞0，a≠1；N＞0．
师：法则（3）和法则（4）可以合在一起加以记忆．即logaNα=αlogaN（α∈R）．（师板书）
例2 用logax，logay，logaz表示下列各式：
解：
（注意（3）的第二步不要丢掉小括号．）
例3 计算：
解：（生板书）
（1）log2（47×25）=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19．
师：请大家在笔记本上小结这节课的主要内容．
小结：通过本节课，应使学生明确如何学习一种运算（从定义、记法、性质、法则等方面来研究）；如何学习公式或法则（从公式推导，适用条件，结构特点和记忆以及公式作用四方面来研究）．针对高中数学内容多、密度大、进度快的特点，应使学生尽早地掌握适应高中数学的学习方法．
练习：课本第79页练习第1、2、3题。
作业：课本第86页习题2.2A组题第3、4、5题。
第三课时
简略教案设计说明：
（1）对数换底公式（教材第76页“探究性问题”）
解决课本第79页练习第4题和第87页第11题，另外补充公式：及应用。
（2）对数及对数运算性质的初步应用，解决课本第77页例5和例6，使学生体会数学来源于生活而又应用于生活的实际意义，并培养学生学习数学的兴趣。
2.2.1 对数函数（三课时）
第一课时
教学时间：2007年10月12日
教学任务：（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；
（2）能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
（3）通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法．
教学重点：掌握对数函数的图象和性质．
教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用．
教学过程：
1、 引入课题
1．（知识方法准备）
学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？
设计意图：结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法——借助图象研究性质．
对数的定义及其对底数的限制．
设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备．
2．（引例）
教材P81引例
处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表：
碳14的含量P 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001
生物死亡年数t
然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数” ．（进而引入对数函数的概念）
2、 新课教学
（一）对数函数的概念
1．定义：函数，且叫做对数函数（logarithmic function）
其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
对数函数对底数的限制：，且．
巩固练习：（教材P68例2、3）
（二）对数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
探索研究：
在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）
（1）
（2）
（3）
（4）
类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格：
图象特征 函数性质
函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞）
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R
函数图象都过定点（1，1）
自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0
第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0
思考底数是如何影响函数的．（学生独立思考，师生共同总结）
规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．
（三）典型例题
例1．（教材P83例7）．
解：（略）
说明：本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对对数函数的理解．
巩固练习：（教材P85练习2）．
例2．（教材P83例8）
解：（略）
说明：本例主要考察学生利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法，熟悉对数函数的性质，渗透应用函数的观点解决问题的思想方法．
注意：本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法，规范解题格式．
巩固练习：（教材P85练习3）．
例2．（教材P83例9）
解：（略）
说明：本例主要考察学生对实际问题题意的理解，把具体的实际问题化归为数学问题．
注意：本例在教学中，还应特别启发学生用所获得的结果去解释实际现象．
巩固练习：（教材P86习题2．2 A组第6题）．
3、 归纳小结，强化思想
本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质．在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点．
4、 作业布置
1． 必做题：教材P86习题2．2（A组） 第7、8、9、12题．
2． 选做题：教材P86习题2．2（B组） 第5题．
第二课时
教学时间：2007年10月13日
教学目标：1．掌握对数函数单调性
2．掌握比较同底数对数大小的方法
3．培养学生数学应用意识
教学重点：利用对数函数单调性比较对数大小
教学难点：不同底数的对数比较大小
教学方法：学导式
教学过程
（I）复习回顾
师：上一节，大家学习了对数函数的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即
当时，在（0，+∞）上是增函数；
当时, 在（0，+∞） 是减函数。
这一节，我们主要学习对数函数单调性的应用。
（Ⅱ）讲授新课
1． 例题讲解：
例2．比较下列各组数中两个值的大小：
（1）；
（2）；
（3）
分析：此题主要利用对数函数的单调性比较两个同底数的对数值大小。
解：（1）考查对数函数，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是。
（2）考查对数函数，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是。
师：通过例2（1）、（2）的解答，大家可以试着总结两个同底数的对数比较大小的一般步骤：
（1） 确定所要考查的对数函数；
（2） 根据对数底数判断对数函数增减性；
（3） 比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小
解：（3）当时，在（0，+∞）上是增函数，于是
当时，在（0，+∞）上是减函数，于是
评述：对数函数的增减性决定于对数的底数是大于是还是小于是。而已知条件并未指明，因此需要对底数进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握。
例3．比较下列各组中两个值的大小：
（1）； （2）
分析：由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对数的大小。
解：（1），
（2）；；
评述：例3仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小，例3（2）题也可与1比较。
（Ⅲ）课堂练习
课本P 练习
补充：比较与两个值的大小
要求：学生板演，教师讲评
（Ⅳ）课时小结
师：通过本节学习，大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并要能逐步掌握分类讨论的思想方法。
（V）课后作业
一、课本P 习题2.
二、1．预习内容：函数单调性、奇偶性证明
2． 预习提纲：
（1） 判断、证明函数单调性的通法；
（2） 判断、证明函数奇偶性的通法。
第三课时
教学时间：2007年10月14日
教学目标：1．掌握对数函数单调性
2．掌握比较同底数对数大小的方法
3．培养学生数学应用意识
教学重点：函数单调性、奇偶性的证明通法
教学难点：对数运算性质、对数函数性质的应用
教学方法：学导式
教学过程
（I）复习回顾
师：上一节，我要求大家预习函数单调性、奇偶性的证明方法，现在，我们进行一下回顾。
1．判断及证明函数单调性的基本步骤：
假设—作差—变形—判断
说明：变形目的是为了易于判断；判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的判断。
2．判断及证明函数奇偶性的基本步骤：
1 考查函数定义域是否关于原点对称；
2 比较与或者的关系；
3 根据函数奇偶性定义得出结论。
说明：考查函数定义域容易被学生忽视，应强调学生注意。
师：接下来，我们一起来看例题
（Ⅱ）讲授新课
例4．判断下列函数的奇偶性：
（1）；（2）
分析：首先要注意定义域的考查，然后严格按照奇偶性证明基本步骤进行
解：（1）由可得，所以函数的定义域为：（）关于原点对称，
又，即，所以函数奇函数。
评述：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质。说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形。
解：（2）由可得，所以函数的定义域为R关于原点对称，又
即，所以函数是奇函数。
评述：此题定义域的确定可能稍有困难，可以讲解此点，而函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，应要求学生掌握。
例5．（1）证明函数在上是增函数。（2）问：函数在上是减函数还是增函数？
分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉上一节利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法。
证明：设，且，则
，又在上是增函数，
∴，即
∴函数在上是增函数
（2）题证明可以依照上述证明过程给出
评述：此题可引导学生总结函数的增减性与函数的增减性的关系，并可在课堂练习之后得出一般性的结论。
（Ⅲ）课堂练习
（1）证明函数在上是减函数；
（2）判断函数在上的增减性。
（Ⅳ）课时小结
师：通过本节学习，大家能进一步熟悉对数函数的性质应用，并掌握证明函数单调性、奇偶性的通法，提高数学应用的能力。
（V）课后作业
1．求的单调递减区间；
2．求的单调递增区间；
2.2.1 幂函数（两课时）
教学目标：
知识与技能 通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．
过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．
情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．
教学重点：
重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．
难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节 教学内容设计 师生双边互动
创设情境 阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题：1．它们的对应法则分别是什么？2．以上问题中的函数有什么共同特征？（答案）1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4）开方；（5）取倒数（或求－1次方）．2．上述问题中涉及到的函数，都是形如的函数，其中是自变量，是常数． 生：独立思考完成引例．师：引导学生分析归纳概括得出结论．师生：共同辨析这种新函数与指数函数的异同．
组织探究 材料一：幂函数定义及其图象．一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．下面我们举例学习这类函数的一些性质．作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）． [解] 列表（略） 图象 师：说明：幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．生：利用所学知识和方法尝试作出五个具体幂函数的图象，观察所图象，体会幂函数的变化规律．师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．师生共同分析，强调画图象易犯的错误．
环节 教学内容设计 师生双边互动
组织探究 材料二：幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律．生：观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填表．
材料三：观察与思考观察图象，总结填写下表：定义域值域奇偶性单调性定点
材料五：例题[例1]（教材P92例题）[例2] 比较下列两个代数值的大小：（1），（2），[例3] 讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性． 师：引导学生回顾讨论函数性质的方法，规范解题格式与步骤．并指出函数单调性是判别大小的重要工具，幂函数的图象可以在单调性、奇偶性基础上较快描出．生：独立思考，给出解答，共同讨论、评析．
环节 呈现教学材料 师生互动设计
尝试练习 1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1），；（2），；（3），；（4），．2．作出函数的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明．3．作出函数和函数的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．4．用图象法解方程：（1）； （2）．
探究与发现 1．如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，则相应图象依次为： ．2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？（1）和；（2）和． 规律1：在第一象限，作直线，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线对称．
作业回馈 1．在函数中，幂函数的个数为：A．0 B．1 C．2 D．3
环节 呈现教学材料 师生互动设计
2．已知幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式．3．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比．（1）写出函数解析式；（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率．4．1992年底世界人口达到54．8亿，若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿），写出：（1）1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数；（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式．
课外活动 利用图形计算器探索一般幂函数的图象随的变化规律．
收获与体会 1．谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？2．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面？
图（1）
创设情境
组织探究
尝试练习
巩固反思
作业回馈
课外活动
问题引入．
幂函数的图象和性质．
幂函数性质的初步应用．
复述幂函数的图象规律及性质．
幂函数性质的初步应用．
利用图形计算器或计算机探索一般幂函数的图象规律．
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