2．1 整式
教学任务分析
教学目标 知识技能 理解并掌握整式的有关概念，能够对一些整式进行分析．
数学思考 能从具体情景中抽象出数量关系和变化规律，使学生经历对具体问题的探索过程，培养符号感．
解决问题 能够正确判断单项式、多项式以及单项式的系数和次数、多项式的项和次数等．
情感态度 通过丰富有趣的现实情景，使学生经历从具体问题中抽象出数量关系，在解决问题中了解数学的价值，发展“用数学”的信心．
重点 单项式的系数、次数，多项式的项数、次数等概念．
难点 对整式有关概念的理解．
教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的
一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容． 二、问题引申、探索多项式的有关概念 三、应用提高、拓展创新 四、归纳小结、布置作业． 通过对问题的解决使学生对单项式有个初步的理解，并归纳总结出单项式的次数和系数等概念． 通过对问题的解决，使学生归纳总结多项式、多项式的项以及多项式的次数等概念． 通过对相关问题的探究，使学生应用新的知识解决相关问题，巩固新知． 培养学生的归纳总结能力，通过作业巩固新知．
教学过程设计
一、 创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容
活动1：填空，观察所填式子的特点
（1） 边长为x的长方形的周长是__________；
（2） 一辆汽车的速度是v千米/小时，行驶t小时所走的路程是_______千米；
（3） 若正方体的的边长是a，则它的表面积是_______,体积是________；
（4） 设n是一个数，则它的相反数是________．
学生活动设计：
学生自己解决上述问题，然后观察所填 ( http: / / www.21cnjy.com )式子，归纳其特点，进而初步理解单项式的概念．所填式子是4x、vt、6a2、a3、－n，特点是都是数字或字母的乘积．
教师活动设计：
引导学生在观察的基础上归纳单项式的定义：
单项式：由数字或字母乘积组成的式子是单项式．
分析式子4x、vt、6a2、a3、－n得出：
单项式中的数字因数叫作单项式的系数（4x ( http: / / www.21cnjy.com )、vt、6a2、a3、－n的系数分别是4、1、6、1、－1）；单项式中所有字母的指数和是这个单项式的次数（4x、vt、6a2、a3、－n的次数分别是1、2、2、3、1）．
活动2：根据对单项式的理解，解决下列问题．
（1）小明房间的窗户如图（1）所示，其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成（它们的半径相同）．
图（1）
装饰物所占的面积是______．
（2）某校学生总数为x，其中男生人数占总数的，男生人数为 ；
（3）一个长方体的底面是边长为a的正方形，高是h，体积是 ．
学生活动设计：
学生独立思考，分析第（1）个问题中装饰物是由两个四分之一圆和一个半圆组成，它们的半径相同，由图中的已知条件可知半径为，所以装饰物所占的面积恰好是半径为的一个圆的面积即；（2）中男生人数为x；（3）中这个长方体的体积是a2h．
教师活动设计：
引导学生在解决问题后，分析各个单项式的系数和次数，并进行交流，在交流中纠正一些不正确的想法．
二、 问题引申、探索多项式的有关概念
活动3：
填空，然后分析所填式子的特点：
1. 温度由t°C下降5°C后是________°C；
2. 买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个足球需要z元，买3个篮球、5个排球、2个足球共需要________元；
3. 如图（2），三角尺的面积是________；
图（2） 图（3）
4. 如图（3）是一所住宅的建筑面积的平面图，这所住宅的建筑面积是_______平方米．
学生活动设计：
学生自己解决上述问题，然后观察所填式子，归纳其特点，进而初步理解多项式的概念．所填式子是t－5、3x＋5y＋2z、、，特点是都可以看做是单项式的和组成的式子．
教师活动设计：
引导学生在观察的基础上归纳多项式的定义及相关概念．
多项式：几个单项式的和叫作多项式．
在多项式中每一个单项式叫作多项式的项，其中不字母的项叫作常数项，多项式里次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数．
单项式和多项式统称为整式．
让学生分析上述多项式中的项、次数等．
t－5的项是t和－5，次数是1；3x＋5y＋2z的项是3x、5y、2z，次数是1次；的项是和，次数是2；项是x2、2x、38，次数是2．
同时让学生辨别多项式是单项式的和，因此多项式的项包含它前面的符号比如多项式3x－4y的第二项是－4y，而不是4y．
三、 应用提高、拓展创新
问题1： 用单项式填空，并指出它们的系数和次数：
（1）每包书有12册，n包书有___________册；
（2）底边长为a，高为h的三角形的面积是_________；
（3）一个长方体的长、宽都是a，高是h，它的体积是________；
（4）一台电视机原价是a元，现按原价的9折出售，那么这台电视机现在的售价为______元；
（5）一个长方形的长是0.9，宽是a，这个长方形的面积是_________．
解：（1）12n，它的系数为12，次数是1；
（2），它的系数是，次数是2；
（3），它的系数是1，次数是3；
（4）0.9a，它的系数是0.9，次数是1；
（5）0.9a，它的系数是0.9，次数是1．
问题2： 用多项式填空，并指出它们的项和次数：
（1）温度由t°C下降5°C后是____________；
（2）甲数x的与乙数y的的差可以表示为____________；
（3）如下图，圆环的面积为____________．
解：（1）t－5，它的项是5和－5，次数是1；
（2），它的项是，次数是1；
（3），它的项是，次数是2．
问题3：一条河流的水流速为2.5千米 ( http: / / www.21cnjy.com )/时，如果已知船在静水中的速度，那么船在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度分别怎样表示？如果甲、乙 两条船在静水中的速度分别是20千米/时和35千米/时，则它们在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度分别是多少？
分析：我们知道船在河流中行驶时，船的速度需要分两种情况讨论：
顺水行驶：船的速度＝船在静水中的速度＋水流速度；
逆水行驶：船的速度＝船在静水中的速度－水流速度．
在上面的两个关系式中，如果用字母表示船在静水中的速度，那么船的速度就可以用含有字母的式子表示出来．
解：设船在静水中的速度是v千米/小时，则
当船顺水行驶时，船的速度为（v＋2.5）千米/时；
当船逆水行驶时，船的速度为（v－2.5）千米/时．
若甲船在静水中的速度是20千米/时，即v＝20，则
v＋2.5＝20＋2.5＝22.5；
v－2.5＝20－2.5＝17.5；
若乙船在静水中的速度是35千米/时，即v＝35，则
v＋2.5＝35＋2.5＝37.5；
v－2.5＝35－2.5＝32.5．
由上可知，甲船顺水行驶的速度是22.5 ( http: / / www.21cnjy.com )千米/时，逆水行驶的速度是17.5千米/时；乙船顺水行驶的速度是37.5千米/时，逆水行驶的速度是32.5千米/时．
问题4：小红和小兰房间窗户的装饰物如图（4）、图（5）所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成（半径分别相同）．
图（４） 图（５）
（1）窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多少？（窗框面积忽略不计）
（2）你能指出其中的单项式或多项式吗？是它们的次数分别是多少？指出多项式中的各项．
学生活动设计：学生独立分析
图（４）小红房间的装饰物所占的面积相当于半径为的圆的面积的一半，即b2．窗户中能射进阳光的部分的面积为ab－b2．
图（５）小兰房间的装饰物所占面积是半径为的两个小圆的面积，即2×b2=b2．窗户中能射进阳光的部分的面积是ab－b2．
ab－b2和ab－b2它们都是多项式，且次数都是2次． ab－b2的项是ab和－b2；ab－b2的项是ab和－b2．
教师活动设计：
引导学生作以上分析，在寻找多项式中的项时进一步理解项的含义．
〔解答〕略．
四、 归纳小结、布置作业
小结：整式的概念；单项式、多项式以及相关概念．
作业：习题 2.1．《2.1整式》测试题
一、填空题
1．用代数式表示“的3倍与的差的平方”是___________.
考查说明：此题考查列代数式．
答案与解析：．
2. 单项式的系数是____________，次数是_______________．
考查说明：此题考查单项式的系数与次数的概念．
答案与解析：，三．单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
3. 多项式为____次_____项式，最高次项系数是__________，常数项是________.
考查说明：此题考查多项式的项与次数的概念．
答案与解析：五，四，-5,9．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数.
4.有a名男生和b名女生在社区做义工，他 ( http: / / www.21cnjy.com )们为建花坛搬砖．男生每人搬了40块，女生每人搬了30块．这a名男生和b名女生一共搬了 块砖（用含a．b的代数式表示）．
考查说明：此题主要考查了根据实际问题列代数式，关键是弄懂题意，表示出男女生各搬运的砖数．
答案与解析：40a+30b．首先表示出男生共搬运的砖数，再表示出女生共搬运的砖数，然后相加即可．
5.体育委员带了500元钱去买体育用品，已 ( http: / / www.21cnjy.com )知一个足球a元，一个篮球b元．则代数式500﹣3a﹣2b表示的数为 ．
考查说明：本题主要考查了列代数式，在解题时要根据题意表示出各项的意义是本题的关键．
答案与解析：体育委员买了3个足球、2个篮球 ( http: / / www.21cnjy.com )，剩余的经费．本题需先根据买一个足球a元，一个篮球b元的条件，表示出3a和2b的意义，最后得出正确答案即可．
6.用同样规格的黑白两种颜 ( http: / / www.21cnjy.com )色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n的代数式表示）.
考查说明：此题主要考查寻找规律列代数式．
答案与解析：10 , （3n+1）．第（1）个图形中有黑色瓷砖4块，而4=3×1+1；
第（2）个图形中有黑色瓷砖7块，而7=3×2+1；
第（3）个图形中有黑色瓷砖10块，而10=3×3+1；
……
因此第n个图形中需要黑色瓷砖（3n+1）块
二、解答题
7.学校礼堂第一排有a个座位，后面每排都比前一排多一个座位，
（1）第二排有_________个座位，第三排有_________个座位．若设第n排有m个座位，m=_______________.
（2）求出当a=20，n=30时，第n排有几个座位？
（3）求出当a=20，n=30时，整个礼堂能容纳多少个人？
考查说明:此题考查列代数式和求值.
答案与解析: （1）a+1, a+2， ( http: / / www.21cnjy.com )a+n-1；(2) 49 ；(3) 1035．（1）根据第一排有a个座位，后面每排都比前一排多一个座位，从而可得第二排，第三排以及第n排的座位．（2）代入a=20，n=30时，从而可求值．（3）总人数=30×20+其他各排比剩下的人数．
8．已知ABCD是长方形，以DC为直径的圆弧与AB只有一个交点，且AD=a．
（1）用含a的代数式表示阴影部分面积；
（2）当a＝10cm时，求阴影部分面积.
考查说明：此题考查把不规则图形面积转化成规则图形面积从而列出代数式．
答案与解析：（1）；（2）．由 AD=a，则DC=2a，左上角空白处的面积等于长方形面积的一半减去半圆面积的一半：，三角形ABD的面积等于，则阴影部分的面积等于.
