数学人教A版（2019）必修第一册5.4.1正弦函数和余弦函数的图象（共21张ppt）

(共21张PPT)
5.4三角函数的图象和性质
5.4.1正弦函数、余弦函数的图象
三角函数是我们学习的一类新函数，按照我们研究幂、指、对函数的思路和方法，我们接下来该研究什么问题呢？
先画出正、余弦函数的图象，再研究它的性质.
而绘制一个新函数图象最基本的方法又是什么呢？
描点法.
我们知道，正、余弦函数的定义域都是R，若需要绘制它们函数的图象，需要画出在R上的图象吗？若不需要，选择一个什么样的区间比较好呢？
根据正余弦函数的定义和诱导公式一可知，单位圆上的任意一点旋转一周又回到了原来的位置，即
公式sin(x+2kπ)=sinx，cos(x+2kπ)=cosx说明自变量x每增减2π，正余弦函数值将会重复出现。
利用这一特性，可以大大简化对正余弦函数图象和性质的研究.
接下来，我们就首先来研究y=sinx在区间[0,2π]的图象。
复习与引入
知识探究(一)
思考1：要用描点法绘制一个函数的图象，首先要解决的就是取值(列表)，描点，那么对于函数y=sinx，如何在区间[0,2π]准确地画出其图象上的一个点(比如T(x0, sinx0) ，x0∈[0,2π])呢？
由此，我们就可精确地作出点T(x0,sinx0)
在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，设 ⊙O与x轴正半轴的交点为A(1,0)．
在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，由弧度制的规定和正弦函数的定义知
这种方法一般称为“手工细线缠绕法”.
此外，我们还可以用“信息技术法”进行绘制.
思考2：既然我们已经能够准确地画出正弦函数图象上的一个点，那么，接下来又将如何绘制y=sinx在区间[0,2π]上的图象呢？
让x在区间[0,2π]内任取一些值，然后用前面的方法绘制出对应的若干点，最后用平滑的曲线连接起来。
在区间[0,2π]内取等分点(如12等分点)，再用前面的方法绘制出对应的点，最后用平滑的曲线连接起来。
方案1：
方案2：
思考3：这两种方案的异同是什么，哪种更宜手式绘制？
这两种方案的本质都是用描点法作图是相同，在信息技术条件下，两种方案都容易实现，但方案2更宜手式绘制 .
事实上，若利用信息技术，绘制出更多的点，然后用平滑的曲线连接起来，我们能得到函数y=sinx在区间[0,2π]上更精确的图象。
思考4：前面我们已经绘制出正弦函数y=sinx在区间[0,2π]上的图象，你能想象出正弦函数y=sinx在定义域R上的图象
由公式一知，函数y=sinx，x∈[2kπ,2(k+1)π]，k∈Z且k≠0的图象与y=sin，x∈[0,2π]的图象形状完全一样。因此，只要将y=sin，x∈[0,2π]的图象不断地向左右平移2π个单位长度，就可以得到y=sinx，x∈R的图象。
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

y=sinx , x R
正弦函数 y=sinx，x∈R 的图象
x
y
1
-1
O
y=sinx，x∈R
正弦函数y=sinx，x∈R 的图象也称“正弦曲线”，它是一条连续光滑的波浪线，每隔2π图象的形状重复。
知识探究(二)
思考1：对于余弦函数y=cosx，x∈R图象的绘制，你又有哪一些想法呢？
一是用前面绘制正弦函数图象的方法来进行绘制；
二是利用诱导公式中正余弦可以互化看能否进行图象变换。
思考2: 公式五、六中的四个公式都实现正余弦的互化，你认为选择哪个公式比较好呢？又如进行图象变换呢？
x
y
1
-1
O
y=sinx，x∈R
y=cosx，x∈R
余弦函数 y=cosx，x∈R 的图象
x
y
1
-1
O
y=cosx，x∈R
同理，余弦函数y=cosx，x∈R 的图象也称“正余弦曲线”，它是一条连续光滑的波浪线，每隔2π图象的形状重复。
返回
y
x
o
1
-1
五点法
五个关键点：
知识探究（三）
思考： 在用描点法作出正弦函数和余弦函数区间[0,2π]上的图像时，应抓住哪些关键点？
最低点
最高点
与x轴的交点
1.对于正弦函数 y=sinx,
x∈[0,2π]
2.对于余弦函数 y=cosx,
x∈[0,2π]
最高点
与x轴的交点
最低点
五个关键点：
五点法作正、余弦函数图象
例1.画出下列函数的简图：
(1)y=1+sinx，x [0, 2 ]； (2)y= - cosx，x [0, 2 ].
y=1+sinx，x [0, 2 ]
解：(1)
2)描出各点；
3)用平滑的曲线将以上各点连接起来连线.
例析
1)列表得：
x
sinx
y=1+sinx
-1
1
0
0
0
0
2
1
1
1
y
x
O
1
-1
例1.画出下列函数的简图：
(1)y=1+sinx，x [0, 2 ]； (2)y= - cosx，x [0, 2 ].
y= - cosx，x [0, 2 ]
解：(1)
2)描出各点；
3)用平滑的曲线将以上各点连接起来连线.
1)列表得：
x
cosx
y=- cosx
0
0
-1
1
1
0
0
1
-1
-1
思考：你能用图象变换的方法作出以上函数的图象吗？
例1.画出下列函数的简图：
(1)y=1+sinx，x [0, 2 ]； (2)y= - cosx，x [0, 2 ].
y=1+sinx，x [0, 2 ]
思考：你能用图象变换的方法作出以上函数的图象吗？
y=sinx，x [0, 2 ]
y=1+sinx，x [0, 2 ]
y=sinx，x [0, 2 ]
y=cosx，x [0, 2 ]
y=-cosx，x [0, 2 ]
y= cosx，x [0, 2 ]
y
x
O
1
-1
y=-cosx，x [0, 2 ]
返回
由图象可知两函数图象有3个公共点
解：
练习
1.在同一坐标系画出下列函数的图象. 通过观察两条曲线，说说它们的异同：
y
x
O
1
-1
简析：
( 教材P200练习第1, 2, 3, 4题 )
2.用五点法分别画出下列函数在[- , ]的图象：
(1)y= - sinx； (2)y=2 - cosx，x [0, 2 ].
解：(1)
2)描出各点；
3)用平滑的曲线将以上各点连接起来连线.
1)列表得：
x
sinx
y=-sinx
1
-1
0
0
0
-1
1
0
0
0
y
x
O
1
-1
y= - sinx，x [- , ]
2.用五点法分别画出下列函数在[- , ]的图象：
(1)y= - sinx； (2)y=2 - cosx，x [0, 2 ].
解：(2)
2)描出各点；
3)用平滑的曲线将以上各点连接起来连线.
1)列表得：
x
cosx
y=2-cosx
0
0
1
-1
-1
2
2
1
3
3
y= 2- cosx，x [- , ]
y
x
O
1
-1
2
3
y
x
O
1
-1
3.想一想，函数y= | sinx|与y= sinx图象间的关系，并进行验证。
简析：
y=sinx图象
y=|sinx|图象
x
y
1
-1
O
y=sinx
y=|sinx|
简析：
返回
1.正弦函数图象的是怎样作的？
课堂小结
2. 回忆一下正弦函数和余弦函数的图象的形状和位置？
3. 说说用“五点法”作正余弦函数的图象中的五个点有何特点？
余弦函数与正弦函数的图象是关系怎样的？
4. 本节课所涉及到的图象变换有哪些？
平移，
对称，
翻折.
1.教材P213习题5.4习题 第1题
作 业
y
x
o
1
-1
x
y
1
-1
O
f(x)=sinx