人教版数学九年级下册 28.2.2应用举例学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学九年级下册 28.2.2应用举例学案（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 127.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-11 11:18:56 | ||
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文档简介
解直角三角形及其应用 应用举例
【知识点拨】
1．如下左图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。
2．如上右图，坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即：i＝。
坡面与水平面的夹角叫做坡角。用字母α表示，
即：i＝＝tanα。
【学法指导】
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决。
【学习过程】
疑难解析：
例1 甲、乙两楼相距80米，从乙楼楼底望甲楼楼顶的仰角为45°，从甲楼楼顶望乙楼楼顶的俯角为30°，试求两楼的高。
解：设AB为乙楼，CD为甲楼（如图）
在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，
∴CD＝AC＝80
过B作BE⊥CD于点E，设AB＝x
则DE＝（80-x）米
在Rt△BED中，∠DBE＝30°，BE＝AC＝80米
tan∠DBE＝ 即＝
解得：x＝80（1-）
则AB＝80（1-）（米）
CD＝80米
答：甲楼高为80米，乙楼高为80（1-）米。
说明：本例构造了两个直角三角形，通过解直角三角形来求解。
例2 如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度为1∶，坡面AB的水平宽度为3米，上底宽AD为4米，求坡角B，坝高AE和坝底宽BC各是多少？
分析：将实际问题转化为数学问题，如图所示，实际已知i＝1∶，即知＝，BE＝3 AD＝4，求∠B、AE、BC．此题实质转化为解直角三角形的问题。
解：∵tanB＝i＝＝
又∵∠B是锐角 ∴∠B＝30°
又∵＝i＝
又∵BE＝3
∴AE＝3×＝3
BC＝2BE+AD＝2×3+4
＝4+6
答：坡角B为30°，坝高AE为3米，坝底宽为（6+4）米。
注意：（1）解应用题时，解题过程中可以不写各数量的单位，但最后作答时务必写清单位名称。
（2）应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形同题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形。梯形也是通过作底面高线来构造直角三角形。
（3）本题主要应用坡度是坡角的正切函数而求出坡角，运用坡度的概念求出梯形高，运用等腰梯形性质求出底边。
例3 如图一轮船自西向东航行，在A处测得某岛C，在北偏东60°的方向上，船前进8海里后到达B，再测C岛，在北偏东30°的方向上，问船再前进多少海里与C岛最近？最近距离是多少？
分析：将实际问题转化为数学问题，并构造出与实际问题有关的直角三角形，如图所示，船沿AB方向继续前进至D处与C岛最近，此问题实质就是已知∠A＝90°-60°＝30°，∠ABC＝90°+30°＝120°，AB＝8海里，求BD和CD的解直角三角形问题。
解：根据题设可知△ABC中，∠CAB＝30° ∠ABC＝120°，AB＝BC＝8
∴最近距离即为C到AB所在直线的垂线段CD的长度。
在Rt△CBD中，BC＝8，∠BCD＝60°
于是，BD＝BC·cos60°＝8×＝4（海里）
CD＝BC·sin60°＝8×＝4 （海里）
答：船再前进4海里就与C最近，最近距离是4海里。
注意：根据题意准确画出示意图是解这类题的前提和保障。
典例精评
例1 如图，在山顶B处有一铁塔AB，在A处测得地面上一点C的俯角为60°，在塔底B测得C俯角为45°，已知AB＝30米，求山高DB的值。
分析 本题图形中有两个直角三角形，它们有公共边DC，所以用含有BD的代数式表示DC和AD，而DC和AD在Rt△ADC中，可利用三角函数关系式列出DC的方程，由BD＝DC，得到结论。
解：由已知条件得：
BD＝DC，AD＝30+BD，∠ACD＝60°
在Rt△ADC中，tan60°＝＝＝
∴DC＝15（+1）（米）
∴BD＝15（+1）（米）
答：山高DB为15（+1）米
例2 一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD，试根据图中数据求出坡角α和坝底宽AD（如图所示）。
分析 此题应正确理解，应用坡度、坡角的概念及联系，即i＝tanα＝，将梯形问题，添加高线把梯形转化为两个直角三角形及矩形来解。
解：过C作CF⊥AD于F
∵AB＝CD，BC∥AD
∴CF＝BE＝6，EF＝BC＝4
又∵i＝1∶
∴AE＝FD＝·CF＝×6＝6（米）
∴AD＝AE+EF+FD＝4+12（米）
∵tanα＝＝i＝＝
∴α＝30°
答：坡角α＝30°，坝底宽AD＝（4+12）米。
考点预测
利用三角函数知识解决实际问题在每年的中考题中都有可能出现，并且多以综合题形式出现。
例1 如图，在平地D处测得树顶A的仰角为30°，向树前进10米，到达C处，再测得树顶A的仰角为45°，求树高AB．（结果保留根号）
分析：先将实际问题转化为数学问题，构造出直角三角形
已知∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，CD＝10米，求AB．
由于AB所在的Rt△ABC和Rt△ABD都不够解三角形的条件，所以需设AB＝x，同时解两个直角三角形，得到关于x的方程再求出x的值。
解：设AB＝x米，则在Rt△ABC和Rt△ABD中
BC＝ABcot45° BD＝AB·cot30°
∴CD＝BD-BC＝x（-1）
又∵CD＝10 ∴x（-1）＝10
∴x＝＝5（+1）＝5+5（米）
答：树高为5+5米。
此题为1998年辽宁省的中考试题，这实际上是利用三角板组合的图形题，类似这种类型题每年中考题选上都有几道，望多加注意。
例2 如图，在一座山的山顶B处用高为1米的测倾器望地面C、D两点，测得的俯角分别为60°和45°，若已知DC的长是20米，求山高BE。（结果可用根式表示）
解 在Rt△ACE中，有CE＝AE·tan30°，
在Rt△ADE中，有DE＝AE·tan45°，
∴DC＝DE-CE＝AE（tan45°-tan30°）
∴AE＝＝（30+10）米
∴BE＝AE-AB＝（29+10）米
答：山高为（29+10）米。
例3 如图，上午8时，一条船从A处出发以15海里/时的速度向正北航行，9时45分到达B处，从A处测得灯塔C在北偏西26°，从B处测得灯塔C在北偏西52°，求B处到灯塔C的距离。
解 ∵∠CBN＝∠C+∠BAC
∴∠C＝52°-26°＝26°
∴∠C＝∠BAC，∴AB＝BC
又∵AB＝15×（1+）＝26．25海里
∴B处到灯塔C的距离CB为26．25海里。
例4 如图，从20米高的甲楼顶A处望乙楼顶C处的仰角是30°，望乙楼底D处的俯角是45°，求乙楼的高度。（精确到0.1米，≈1．414，≈1．732）
解 过A点作AE⊥CD，垂足是E，
∵AB∥CD，AE∥BD
∴DE＝AB＝20米
在Rt∠ADE中，∠DAE＝45°，DE＝20米，
∴AE＝20米
在Rt△ACE中，∠CAE＝30°，AE＝20米
∴CE＝AE·tan30°＝米
∴CD＝CE+ED＝ +20＝20（+1）
≈31．5米
答：乙楼的高约是31．5米。
同步达纲练习
知识强化：
一、填空题
1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，AB＝2，则BC＝ ，AC＝ 。
2．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝6，∠A＝60°，则BC＝ 。
3．在△ABC中，∠A＝120°，b＝5，c＝8，则S△ABC＝ 。
4．已知△ABC中，AB＝2，AC＝8，BC＝6，BD是中线，则BD＝ 。
5．已知斜坡AB长为60米，AB的坡度i＝1∶，则斜坡AB的高度为 米。
6．如图，从楼A处望地面C、D两点的俯角分别为45°和30°，若CD距离为100米，则楼AB高为 。
7．等腰直角三角形一腰上的中线与底边夹角的余弦值为 。
8．在△ABC中，∠A＝120°，AB＝10，AC＝5，则sinB·sinC＝ 。
二、选择题
1．Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝2，那么下面结论中不正确的是（ ）
A．c＝4 B、CotA＝ C．sinA+cosB＝1 D．∠B＝30°
2．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝8，则BC的长为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．4
3．如图，从山顶A望地面C、D两点，它们的俯角分别为45°、30°，如果测得CD为100米，那么山高AB等于（ ）
A．100米 B． ×100米 C．50 D．50（+1）米
4．某个水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1∶，坝外斜坡的坡度i＝1∶1，那么两个坡角的和为（ ）
A．90° B．75° C．60° D．105°
素质优化：
1． 一船以每小时20千米的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°，2小时后，船在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°，求灯塔B到船的航线AC的距离。
2．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽8m，坝高25m，斜坡AB的坡度i=1∶2．8，斜坡CD的坡度i′＝1∶2．4，求斜坡AB的坡角α，坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）。
创新深化：
如图，敌人在某岛周围20海里的区域内布设了水雷，某舰由西向东航行，起初在O点处观察此岛的北偏东60°处，航行30海里到达B时，再观察此岛，在北偏东30°处，如果不改变航向，继续向东航行，此舰有没有触雷的危险。
参考答案
知识强化：
一、1．2-2，- 2．2
3．30 4．
5．30 6．50（+1）
7． 8．
二、1．D 2．B 3．D 4．B
素质优化：
1．（80 +120）千米
2．AD＝138米，AB＝74．3米
创新深化：
∵AC＝15＞0 ∴没有触雷的危险
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【知识点拨】
1．如下左图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。
2．如上右图，坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即：i＝。
坡面与水平面的夹角叫做坡角。用字母α表示，
即：i＝＝tanα。
【学法指导】
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决。
【学习过程】
疑难解析：
例1 甲、乙两楼相距80米，从乙楼楼底望甲楼楼顶的仰角为45°，从甲楼楼顶望乙楼楼顶的俯角为30°，试求两楼的高。
解：设AB为乙楼，CD为甲楼（如图）
在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，
∴CD＝AC＝80
过B作BE⊥CD于点E，设AB＝x
则DE＝（80-x）米
在Rt△BED中，∠DBE＝30°，BE＝AC＝80米
tan∠DBE＝ 即＝
解得：x＝80（1-）
则AB＝80（1-）（米）
CD＝80米
答：甲楼高为80米，乙楼高为80（1-）米。
说明：本例构造了两个直角三角形，通过解直角三角形来求解。
例2 如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度为1∶，坡面AB的水平宽度为3米，上底宽AD为4米，求坡角B，坝高AE和坝底宽BC各是多少？
分析：将实际问题转化为数学问题，如图所示，实际已知i＝1∶，即知＝，BE＝3 AD＝4，求∠B、AE、BC．此题实质转化为解直角三角形的问题。
解：∵tanB＝i＝＝
又∵∠B是锐角 ∴∠B＝30°
又∵＝i＝
又∵BE＝3
∴AE＝3×＝3
BC＝2BE+AD＝2×3+4
＝4+6
答：坡角B为30°，坝高AE为3米，坝底宽为（6+4）米。
注意：（1）解应用题时，解题过程中可以不写各数量的单位，但最后作答时务必写清单位名称。
（2）应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形同题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形。梯形也是通过作底面高线来构造直角三角形。
（3）本题主要应用坡度是坡角的正切函数而求出坡角，运用坡度的概念求出梯形高，运用等腰梯形性质求出底边。
例3 如图一轮船自西向东航行，在A处测得某岛C，在北偏东60°的方向上，船前进8海里后到达B，再测C岛，在北偏东30°的方向上，问船再前进多少海里与C岛最近？最近距离是多少？
分析：将实际问题转化为数学问题，并构造出与实际问题有关的直角三角形，如图所示，船沿AB方向继续前进至D处与C岛最近，此问题实质就是已知∠A＝90°-60°＝30°，∠ABC＝90°+30°＝120°，AB＝8海里，求BD和CD的解直角三角形问题。
解：根据题设可知△ABC中，∠CAB＝30° ∠ABC＝120°，AB＝BC＝8
∴最近距离即为C到AB所在直线的垂线段CD的长度。
在Rt△CBD中，BC＝8，∠BCD＝60°
于是，BD＝BC·cos60°＝8×＝4（海里）
CD＝BC·sin60°＝8×＝4 （海里）
答：船再前进4海里就与C最近，最近距离是4海里。
注意：根据题意准确画出示意图是解这类题的前提和保障。
典例精评
例1 如图，在山顶B处有一铁塔AB，在A处测得地面上一点C的俯角为60°，在塔底B测得C俯角为45°，已知AB＝30米，求山高DB的值。
分析 本题图形中有两个直角三角形，它们有公共边DC，所以用含有BD的代数式表示DC和AD，而DC和AD在Rt△ADC中，可利用三角函数关系式列出DC的方程，由BD＝DC，得到结论。
解：由已知条件得：
BD＝DC，AD＝30+BD，∠ACD＝60°
在Rt△ADC中，tan60°＝＝＝
∴DC＝15（+1）（米）
∴BD＝15（+1）（米）
答：山高DB为15（+1）米
例2 一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD，试根据图中数据求出坡角α和坝底宽AD（如图所示）。
分析 此题应正确理解，应用坡度、坡角的概念及联系，即i＝tanα＝，将梯形问题，添加高线把梯形转化为两个直角三角形及矩形来解。
解：过C作CF⊥AD于F
∵AB＝CD，BC∥AD
∴CF＝BE＝6，EF＝BC＝4
又∵i＝1∶
∴AE＝FD＝·CF＝×6＝6（米）
∴AD＝AE+EF+FD＝4+12（米）
∵tanα＝＝i＝＝
∴α＝30°
答：坡角α＝30°，坝底宽AD＝（4+12）米。
考点预测
利用三角函数知识解决实际问题在每年的中考题中都有可能出现，并且多以综合题形式出现。
例1 如图，在平地D处测得树顶A的仰角为30°，向树前进10米，到达C处，再测得树顶A的仰角为45°，求树高AB．（结果保留根号）
分析：先将实际问题转化为数学问题，构造出直角三角形
已知∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，CD＝10米，求AB．
由于AB所在的Rt△ABC和Rt△ABD都不够解三角形的条件，所以需设AB＝x，同时解两个直角三角形，得到关于x的方程再求出x的值。
解：设AB＝x米，则在Rt△ABC和Rt△ABD中
BC＝ABcot45° BD＝AB·cot30°
∴CD＝BD-BC＝x（-1）
又∵CD＝10 ∴x（-1）＝10
∴x＝＝5（+1）＝5+5（米）
答：树高为5+5米。
此题为1998年辽宁省的中考试题，这实际上是利用三角板组合的图形题，类似这种类型题每年中考题选上都有几道，望多加注意。
例2 如图，在一座山的山顶B处用高为1米的测倾器望地面C、D两点，测得的俯角分别为60°和45°，若已知DC的长是20米，求山高BE。（结果可用根式表示）
解 在Rt△ACE中，有CE＝AE·tan30°，
在Rt△ADE中，有DE＝AE·tan45°，
∴DC＝DE-CE＝AE（tan45°-tan30°）
∴AE＝＝（30+10）米
∴BE＝AE-AB＝（29+10）米
答：山高为（29+10）米。
例3 如图，上午8时，一条船从A处出发以15海里/时的速度向正北航行，9时45分到达B处，从A处测得灯塔C在北偏西26°，从B处测得灯塔C在北偏西52°，求B处到灯塔C的距离。
解 ∵∠CBN＝∠C+∠BAC
∴∠C＝52°-26°＝26°
∴∠C＝∠BAC，∴AB＝BC
又∵AB＝15×（1+）＝26．25海里
∴B处到灯塔C的距离CB为26．25海里。
例4 如图，从20米高的甲楼顶A处望乙楼顶C处的仰角是30°，望乙楼底D处的俯角是45°，求乙楼的高度。（精确到0.1米，≈1．414，≈1．732）
解 过A点作AE⊥CD，垂足是E，
∵AB∥CD，AE∥BD
∴DE＝AB＝20米
在Rt∠ADE中，∠DAE＝45°，DE＝20米，
∴AE＝20米
在Rt△ACE中，∠CAE＝30°，AE＝20米
∴CE＝AE·tan30°＝米
∴CD＝CE+ED＝ +20＝20（+1）
≈31．5米
答：乙楼的高约是31．5米。
同步达纲练习
知识强化：
一、填空题
1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，AB＝2，则BC＝ ，AC＝ 。
2．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝6，∠A＝60°，则BC＝ 。
3．在△ABC中，∠A＝120°，b＝5，c＝8，则S△ABC＝ 。
4．已知△ABC中，AB＝2，AC＝8，BC＝6，BD是中线，则BD＝ 。
5．已知斜坡AB长为60米，AB的坡度i＝1∶，则斜坡AB的高度为 米。
6．如图，从楼A处望地面C、D两点的俯角分别为45°和30°，若CD距离为100米，则楼AB高为 。
7．等腰直角三角形一腰上的中线与底边夹角的余弦值为 。
8．在△ABC中，∠A＝120°，AB＝10，AC＝5，则sinB·sinC＝ 。
二、选择题
1．Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝2，那么下面结论中不正确的是（ ）
A．c＝4 B、CotA＝ C．sinA+cosB＝1 D．∠B＝30°
2．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝8，则BC的长为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．4
3．如图，从山顶A望地面C、D两点，它们的俯角分别为45°、30°，如果测得CD为100米，那么山高AB等于（ ）
A．100米 B． ×100米 C．50 D．50（+1）米
4．某个水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1∶，坝外斜坡的坡度i＝1∶1，那么两个坡角的和为（ ）
A．90° B．75° C．60° D．105°
素质优化：
1． 一船以每小时20千米的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°，2小时后，船在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°，求灯塔B到船的航线AC的距离。
2．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽8m，坝高25m，斜坡AB的坡度i=1∶2．8，斜坡CD的坡度i′＝1∶2．4，求斜坡AB的坡角α，坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）。
创新深化：
如图，敌人在某岛周围20海里的区域内布设了水雷，某舰由西向东航行，起初在O点处观察此岛的北偏东60°处，航行30海里到达B时，再观察此岛，在北偏东30°处，如果不改变航向，继续向东航行，此舰有没有触雷的危险。
参考答案
知识强化：
一、1．2-2，- 2．2
3．30 4．
5．30 6．50（+1）
7． 8．
二、1．D 2．B 3．D 4．B
素质优化：
1．（80 +120）千米
2．AD＝138米，AB＝74．3米
创新深化：
∵AC＝15＞0 ∴没有触雷的危险
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