人教版数学八年级上册 周末培优五 （13.3-13.4）（含答案）

人教版数学八年级上册 周末培优五
（范围：13.3-13.4）
一、选择题
1．(2022·泰安)如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°.则∠2的度数是( )
A．70° B．65° C．60° D．55°
　　
第1题图 第2题图 第5题图
2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为(　　)
A．50°　　B．70°　　C．75°　　D．80°
3．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2cm，则AB的长度是(　　)
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
4．等边三角形的三条对称轴中任意两条夹角(锐角)的度数为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
5．如图，将一张长方形纸片ABCD按图中方式折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积为(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于(　　)
A．40° B．30° C．20° D．15°
　 　
第6题图 第10题图 第12题图
7．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，D、E是边BC上的两点，且∠ADE＝∠AED＝2∠BAD，则∠DAE的度数为(　　)
A．56° B．36° C．72° D．不能确定
8．∠AOB的边OA上有两点M、N，在∠AOB的平分线OC上找一点P，使MP＋NP最小，正确的作法是(　　)
9．如图，下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(　　)
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
10．如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝(　　)
A． B． C．a－b D．b－a
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2，2)，点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有(　　)
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
12．如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直
二、填空题
13．如果等腰三角形的一个内角等于110°，则它的两个底角都是________°.
14．如图，AB∥CD，EF交AB于点H，交CD于点G，连接AG，若AG＝HG，∠1＝48°，则∠A＝_________.
　 　
第14题图 第15题图 第17题图
15．根据如图作图痕迹可计算出∠BOC等于_________.
16．等腰三角形的顶角为30°，腰长为4 cm，则三角形的面积是____________.
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，ED⊥BC于点D，交AB于点F，若AF＝2，BF＝3，则CE的长为___.
18．如图，等边三角形ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F，则图中的等腰三角形有___个．
　
第18题图 第19题图
19．如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°.其中正确的有____________．(注：把你认为正确的结论序号都写上)
三、解答题
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝2，求BC的长．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
22．如图，△ABC是边长为12 cm的等边三角形，动点M，N同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动．
(1)若点M，N的运动速度是2 cm/s,4 cm/s，当点N到达点C时，M，N两点都停止运动，设运动时间为t(s)，当t＝2时，判断△BMN的形状，并说明理由；
(2)当它们的运动速度都是2 cm/s，且当点M到达点B时，M，N两点停止运动，设点M的运动时间为t(s)，则当t为何值时，△MBN是直角三角形？
23．如图，△ABC是边长为9的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A，C不重合)，H是CB延长线上的一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(H不与B重合)，过P作PE⊥AB与E，连接PH交AB于D.
(1)当∠BHD＝30°时，求AP的长；
(2)在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由．
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参考答案
一、选择题
1．(2022·泰安)如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°.则∠2的度数是( A )
A．70° B．65° C．60° D．55°
　　
第1题图 第2题图 第5题图
2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为(　B　)
A．50°　　B．70°　　C．75°　　D．80°
3．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2cm，则AB的长度是(　C　)
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
4．等边三角形的三条对称轴中任意两条夹角(锐角)的度数为(　C　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
5．如图，将一张长方形纸片ABCD按图中方式折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积为(　C　)
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于(　C　)
A．40° B．30° C．20° D．15°
　 　
第6题图 第10题图 第12题图
7．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，D、E是边BC上的两点，且∠ADE＝∠AED＝2∠BAD，则∠DAE的度数为(　B　)
A．56° B．36° C．72° D．不能确定
8．∠AOB的边OA上有两点M、N，在∠AOB的平分线OC上找一点P，使MP＋NP最小，正确的作法是(　D　)
9．如图，下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(　D　)
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
10．如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝(　C　)
A． B． C．a－b D．b－a
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2，2)，点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有(　B　)
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
12．如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是(　A　)
A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直
二、填空题
13．如果等腰三角形的一个内角等于110°，则它的两个底角都是________°.
【答案】35
14．如图，AB∥CD，EF交AB于点H，交CD于点G，连接AG，若AG＝HG，∠1＝48°，则∠A＝_________.
【答案】48°
　 　
第14题图 第15题图 第17题图
15．根据如图作图痕迹可计算出∠BOC等于_________.
【答案】30°
16．等腰三角形的顶角为30°，腰长为4 cm，则三角形的面积是____________.
【答案】4 cm2
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，ED⊥BC于点D，交AB于点F，若AF＝2，BF＝3，则CE的长为___.
【答案】7
18．如图，等边三角形ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F，则图中的等腰三角形有___个．
【答案】12
　
第18题图 第19题图
19．如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°.其中正确的有____________．(注：把你认为正确的结论序号都写上)
【答案】①②④⑤
三、解答题
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝2，求BC的长．
解：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°.
∴∠BAC＝120°.
∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°.
∴∠DAC＝120°－90°＝30°＝∠C.
∴AD＝CD＝2.
∵AB⊥AD，∠B＝30°，
∴BD＝2AD＝4.
∴BC＝BD＋CD＝6.
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
解：(1)证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
在△DBE和△ECF中，
∴△DBE≌△ECF，∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形．
(2)∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝∠C，∠A＝40°，
∴∠B＝70°，
∴∠1＋∠2＝110°，
∴∠3＋∠2＝110°，
∴∠DEF＝70°.
22．如图，△ABC是边长为12 cm的等边三角形，动点M，N同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动．
(1)若点M，N的运动速度是2 cm/s,4 cm/s，当点N到达点C时，M，N两点都停止运动，设运动时间为t(s)，当t＝2时，判断△BMN的形状，并说明理由；
(2)当它们的运动速度都是2 cm/s，且当点M到达点B时，M，N两点停止运动，设点M的运动时间为t(s)，则当t为何值时，△MBN是直角三角形？
解：(1)△BMN是等边三角形．
理由：当t＝2时，AM＝4 cm，BN＝8 cm.
∵△ABC是等边三角形且边长是12 cm，
∴BM＝8 cm，∠B＝60°，
∴BM＝BN，
∴△BMN是等边三角形．
(2)在△BMN中，BM＝(12－2t) cm，BN＝2t cm.
①若∠BNM＝90°，则∠BMN＝30°，
∴BN＝BM，
∴2t＝(12－2t)，解得t＝2；
②若∠BMN＝90°，则∠BNM＝30°，
∴BM＝BN，
∴12－2t＝×2t，解得t＝4.
综上所述，当t＝2 s或t＝4 s时，△MBN是直角三角形．
23．如图，△ABC是边长为9的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A，C不重合)，H是CB延长线上的一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(H不与B重合)，过P作PE⊥AB与E，连接PH交AB于D.
(1)当∠BHD＝30°时，求AP的长；
解：当∠BHD＝30°时，易证HB＝DB＝AP.设AP＝x，AD＝2x，
所以x＋2x＝9，解得x＝3，即AP＝3.
(2)在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由．
解：不发生变化．
过点H作HF⊥AB的延长线于点F，
易证△HFB≌△PEA，△DEP≌△DFH，
所以得DE＝DF＝AB＝.