切线长定理
一、教材说明：
这是人教版九年级上册第二十四章圆中直线与圆位置关系的《切线长定理》的教学设计。
教材分析：
1、在教材中的地位和作用
直线和圆是生活中最常见的几何图形，它的有关性质被广泛应用，尤其对于切线长定理，它体现了圆的轴对称性，为证明线段相等、角相等、弧相等和垂直关系等提供了一个基本图形和理论依据，为解决与圆有关的计算问题做好了铺垫，具有承上启下的作用。
2、教学目标：
（1）知识目标：了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算。
（2）技能目标：经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过程，培养学生推理能力和阐述自己的观点的能力。
（3）情感目标：引发学生对数学的好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，并培养学生良好的学习习惯和严谨的思维品质。
3、教学重点：理解切线长定理
4、教学难点：应用切线长定理解决问题
三、教法分析：
根据本节课的教学目标和内容及九年级学生基本形成逻辑思维的能力，利用形象直观的图片，在教学上采用直观演示、猜想论证。启发式教学，引起学生的求知欲，激发学生思维活动。
让学生经历观察、画图、猜想、论证以及讨论、分析、演示相结合的教学方法，在帮助学生通过自己动手实验，分析归纳，从实践中获取知识，并通过讨论来加深对知识的理解。
四、学法分析：
通过前一段时间的学习，学生对点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系以及圆的基本性质有了一个大概的了解，尤其是通过垂径定理、（圆心角、弧、弦、弦心距）定理、圆周角定理、切线的判定定理、切线的性质定理等定理的学习和应用，学生的推理和证明能力已经得到一定的锻炼。因此，本课定理的证明学生不会感到困难，但定理的应用，尤其是复杂的应用，学生将会感到一定的困难。
学法指导： 观察猜想、合作交流、总结归纳。
五、教学过程：
旧知联想：
《数学课程标准》中指出，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上，通过对旧知的回忆，明确概念，加深理解。
温故知新篇：提出问题：
直线和圆有几种位置关系，分别是什么？
什么叫直线与圆相切？
3、切线的性质定理内容是什么？
4、过圆上一点作圆的切线，能作几条？过圆外一点作圆的切线能作几条？
以提问的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识产生设疑，把学生带入下一环节——— 发现问题，探求新知
探究应用篇：
（二）新知探究：观察、猜想、度量、证明，形成定理
设计活动一、
过圆外一点画出圆的切线，①切线PA能否度量？为什么？
②切线上点P到切点A的距离能否度量？
引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，可以度量。
设计意图在于让学生区别切线和切线长是两个不同的概念。
导出切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
利用课件来展示点P 的位置的变化，观察图形的特征、猜想
各量之间的关系．
设计活动二、
学生动手操作：先画再折画直线OP，沿OP对折，两半圆能否重合？如果重合，设与A重合点为B，连接PB，
直线PB是否是⊙O切线？
观察、猜想图中PA和PB是否相等？∠APO和∠BPO相等吗？如何验证你的结论？
设计意图：让学生自主探索，归纳经验的基础上获得，教学中应展现的思维形成过程。
证明猜想，形成定理．
证明关键是作出辅助线OA，OB，利用三角形全等证明PA＝PB．∠OPA＝∠OPB
归纳总结：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
用符号语言表示定理：
∵PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
设计意图：数学概念、定理要明确其内涵和外延（条件、结论、应用范围等），通过对定理的阐述，使学生的认知结构得到优化，知识体系得到完善，使学生的数学理解突破思维的难点。
活动三、切线长定理的基本图形研究（小组合作交流）
若连接AB，有AD=BD等．想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？
对于这个题目，引导学生积极思考，大胆思维，与学生一起探究新知识，及时总结、归纳出切线长定理，体现了圆的轴对称性，为我们证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了一个基本图形和理论依据，从而使学生思维层次飞跃一个新的台阶。
应用新知：
例1：已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，CD是⊙O的切线，切于点E，PA=10，
（1）求PCD的周长；（2）∠P=500，F是优弧AB上一点，求∠AFB的度数和∠COD的度数。
巩固练习；
1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，PO交⊙O于E点
（1）若PB=12，PO=13，则AO=____
（2）若PO=10，AO=5， 则PB=____
（3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____
（4）若PA=4，PE=2，则AO=____.
2、如图2，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，CD切⊙O于E交PA、PB于C、D两点。
（1）若PA=12，则△PCD周长为____
（2）若△PCD周长=10，则PA=____
（3）若∠APB=30°,则∠AOB=_____，M是⊙O上一动点，则∠AMB=____
设计意图：1道例题及巩固练习题由浅入深、由易到难、各有侧重，体现新课标提出的让不同的学生在数学上得到不同发展的教学理念。这一环节总的设计意图是反馈教学，内化知识。
归纳、小结、反思：总结归纳不应该仅仅是知识的简单罗列，而应该是优化认知结构，完善知识体系的一种有效手段，为充分发挥学生的主题作用，从学习的知识、方法、体验是那个方面进行归纳。
作业延展：
设计了必做题和选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对本节课知识的一个延伸。
六、教学反思：
在整节课中对本课的重点能组织学生自主观察、猜想、证明，并深入分析切线长定理的基本图形，对重要的结论进行总结。切线长定理的基本图形研究环节学生能充分利用已有的知识和新授内容结合，把切线长定理和圆的对称性紧密接合，体现了本节课知识点的基础性和应用的价值。在例题的选择中注重了角度计算，长度计算和在具体情境中能准确地找出并运用切线长定理来分析问题，解决问题。
课件20张PPT。切线长定理说课流程教材分析教法分析学法分析教学过程教材分析：地位作用 本节课要研究的切线长定理，是在学了直线与圆的位置关系；切线的定义、性质以及判定之后进行的；它既是前面知识的应用，又是后面学习的基础，在证明线段相等、角相等、线段成比例等起着重要的作用。教材分析：教学目标知识目标技能目标情感目标了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算。经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过程，培养学生推理能力和阐述自己的观点的能力。引发学生对数学的好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，并培养学生良好的学习习惯和严谨的思维品质。教学重点 掌握切线长定理，利用定理进行相关的计算和证明。教材分析：教学难点灵活运用切线长定理解决实际问题教法分析： 启发式教学，引起学生的求知欲，激发学生思维活动。让学生经历观察、画图、猜想、论证以及讨论、分析、演示相结合的教学方法，在帮助学生通过自己动手实验，分析归纳，从实践中获取知识，并通过讨论来加深对知识的理解。学法分析： 学生对点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系以及圆的基本性质有了一个大概的了解，尤其是通过垂径定理、（圆心角、弧、弦、弦心距）定理、圆周角定理、切线的判定定理、切线的性质定理等定理的学习和应用，学生的推理和证明能力已经得到一定的锻炼。因此，本课定理的证明学生不会感到困难，但定理的应用，尤其是复杂的应用，学生将会感到一定的困难。切线长定理教学过程：（一）旧知联想、创设情境
1、直线和圆有几种位置关系，分别是什么？
2、什么是直线与圆相切？
3、切线的判定定理、性质定理内容是什么？
4、过圆上一点作圆的切线，能作几条？过圆外一点作圆的切线能作几条？设计意图以提问的形式创设情境，使学生对旧知识产生设疑，把学生带入下一环节—发现问题，探求新知 OPA①切线PA能否度量？为什么？
②切线上点P到切点A的距离能否度量？活动一、过圆外一点引圆的切线 PA设计意图：为切线长的定义作准备。设计意图在于让学生区别切线和切线长是两个不同的概念。切线长定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。活动二、自主探究切线长定理观察、猜想切线长PA、PB大小有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？
方法：1、测量。
2、对称性。
3、构造三角形证明全等。如果将⊙o沿直线OP翻折，两半圆能否重合？
如果重合，设与A重合点为B，连接PB，
直线PB是否是⊙O切线？证明猜想，形成定理证明：△AOP≌△BOP证明：
∵PA、PB是⊙o的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP
又OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）
∴PA=PB，∠1=∠2
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。∵PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B为切点
∴PA=PB，∠1=∠2师生归纳：文字语言、
符号语言。12⌒⌒活动三、切线长定理的基本图形研究（小组合作交流） PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，若连接AB，AE、BE。
想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？BAPCED
O设计意图为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了一个基本图形和理论依据。例1、如图：PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O与PA、PB分别交于点C、D，已知PA=10cm，
(1)求△PCD的周长．
(2)如果∠P=50°,求∠AFB和∠COD的度数.师生共同分析，板书例题。新知应用：CPBDAEF · O活动四、巩固练习 见导学案本题设计意图：加强对切线长定理的理解，并且能够对所学知识进行运用。活动五、归纳、小结、反思1、通过本节课的学习，你有什么收获？
2、在运用切线长定理进行计算时，应该注意哪些问题？
3、本节课用到哪些数学方法？意图:让学生对本节所学内容进行系统回顾，加深理解记忆。作业延展:设计意图：让学生课后复习温故本节的学习的内容，对相应的数学学习方法，数学知识进行巩固。板书设计
