角的平分线的性质
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课件15张PPT。（1）下图中，能表示点P到直线l的距离的是线段PC的长 如右图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.
将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿
AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?AＢ作法:
⑴以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.
⑵分别以M,N为圆心,大于 的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.
⑶作射线OC,射线OC即为所求.2 .做一做 由上面的探究可以得出作已知角的方法. 已知:∠AOB. 求作:∠AOB的平分线.0（2）用三角尺按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M，N做OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB。为什么？A3.练一练: ⑴平分平角∠AOB.通过上面的步骤得到射线OC以后,把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线AB是什么关系? PM与PN相等吗？将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?可以看出,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等.折一折已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。求证：PD=PE证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）∴ = ，（ ） 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
不必再证全等证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.练一练∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、
CA的距离相等DEF 如图，河南区一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为300米。在图上标出工厂的位置，并说明理由。北比例尺1：20000河 流公 路·OABCP300m┒┓巩固练习
1.在△ABC中, ∠C=900,AD平分∠BAC交BC于点D,若BC=8,BD=5,则点D到AB的距离为多少?
2.能用尺规作出一个450的角吗?小结
1.画一个已知角的平分线
2.角平分线的性质
拓展练习 已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA=OB，PM⊥BD，PN⊥AD，
求证：PM=PN再见
将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿
AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?AＢ作法:
⑴以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.
⑵分别以M,N为圆心,大于 的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.
⑶作射线OC,射线OC即为所求.2 .做一做 由上面的探究可以得出作已知角的方法. 已知:∠AOB. 求作:∠AOB的平分线.0（2）用三角尺按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M，N做OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB。为什么？A3.练一练: ⑴平分平角∠AOB.通过上面的步骤得到射线OC以后,把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线AB是什么关系? PM与PN相等吗？将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?可以看出,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等.折一折已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。求证：PD=PE证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）∴ = ，（ ） 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
不必再证全等证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.练一练∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、
CA的距离相等DEF 如图，河南区一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为300米。在图上标出工厂的位置，并说明理由。北比例尺1：20000河 流公 路·OABCP300m┒┓巩固练习
1.在△ABC中, ∠C=900,AD平分∠BAC交BC于点D,若BC=8,BD=5,则点D到AB的距离为多少?
2.能用尺规作出一个450的角吗?小结
1.画一个已知角的平分线
2.角平分线的性质
拓展练习 已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA=OB，PM⊥BD，PN⊥AD，
求证：PM=PN再见