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2023-2024学年第一学期浙江省杭州市九年级数学期末模拟试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.
1. 袋子中装有2个黑球和1个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，
在看不到球的条件下，下列事件中是必然事件的是（ ）
A．摸出的2个球中有1个球是白球 B．摸出的2个球中至少有1个球是黑球
C．摸出的2个球都是黑球 D．摸出的2个球都是白球
如图，绕点顺时针旋转到的位置．如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
如图，线段AB，CD交于O，，若，，，则的长是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4．已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（ ）
A．9π B．6π C．3π D．2π
已知点P是线段的黄金分割点，且，下列命题说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6 . 若二次函数的图象经过三点，
则a、b、c 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
如图，从点看一山坡上的电线杆，观测点的仰角是45°，向前走到达点，
测得顶端点和杆底端点的仰角分别是60°和30°，则该电线杆的高度（ ）
A． B． C． D．
如图，在中，，高，正方形一边在上，
点E，F分别在上，交于点N，则的长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，
已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
如图，△ABC的两条高AD，BE交于点F，连接ED，则下列结论：
①△ADC∽△BDF；②△BEC∽△ADC；③△ABD∽△ABE；
④△ABC∽△DEC；⑤△BDE∽△AED；⑥△BDF∽△AEF．
其中正确的为（ ）
A．①②③④ B．①②④⑥ C．①②⑤⑥ D．②③④
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11. 若，则______．
12. 如图，是的直径，是弦，若，则________
学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．
则小明和小慧同车的概率为___________．
一辆汽车行驶的路程（单位：m）关于时间（单位：s）的函数解析式是，
经过16s汽车行驶了 m．
15 . 如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，
动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．
如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是 ．
16 .如图，点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为（8，0），
以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，则点C的坐标为 ，
若二次函数的图像经过点A，C，B．已知点P是该抛物线上的动点，当∠APB是锐角时，
点P的横坐标x的取值范围是 ．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球
（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球．
若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，
摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，
求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率．
18 .如图，AB是的直径，四边形ABCD内接于，OD交AC于点E，AD=CD．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．
19 .如图所示，以的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，
球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，
球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有关系式.
解答以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到 如能，需要飞行多少时间？
（2）球飞行到最高点时的高度是多少？
20 .无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），无人机在离地面处，
无人机测得操控者的俯角为，测得教学楼顶处的俯角为，
经测量操控者和教学楼距离为米，若教学楼的高度为米，
求此时无人机距离地面的高度.
（注：点，，，在同一平面上参考数据，，）
21. 边长为4的正方形ABCD，在BC边上取一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F．
(1)求证：△ABE∽△ECF；
(2)若CF的长为1，求CE的长．
22. 已知二次函数的图象经过点和.
（1）求，满足的关系式；
（2）当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围；
（3）若函数图象与轴无交点，求的取值范围.
23.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．
（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．
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2023-2024学年第一学期浙江省杭州市九年级数学期末模拟试卷解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.
1. 袋子中装有2个黑球和1个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，
在看不到球的条件下，下列事件中是必然事件的是（ ）
A．摸出的2个球中有1个球是白球
B．摸出的2个球中至少有1个球是黑球
C．摸出的2个球都是黑球
D．摸出的2个球都是白球
【答案】B
【分析】根据随机事件的具体意义进行判断即可．
【详解】解：A、摸出的2个球中有1个球是白球，是随机事件；不符合题意；
B、随机摸出2个球，至少有1个黑球，是必然事件；符合题意；
C、摸出的2个球都是黑球，是随机事件；不符合题意；
D、摸出的2个球都是白球，是不可能事件；不符合题意；
故选：B．
如图，绕点顺时针旋转到的位置．如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质可知，，再根据角的和差关系即可解答．
【详解】解：∵绕点顺时针旋转到的位置，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选．
如图，线段AB，CD交于O，，若，，，则的长是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由，得出，根据相似三角形的性质列出比例式，
代入数据进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故选：B．
4．已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（ ）
A．9π B．6π C．3π D．2π
【答案】C
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：扇形的半径为3，圆心角为120°，
则这个扇形的面积为：；
故选：C．
5．已知点P是线段的黄金分割点，且，下列命题说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据黄金分割点的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且，
∴，
∴，，
∴A、B、D说法正确，不符合题意，C说法错误，符合题意.
故选C．
6 .若二次函数的图象经过三点，
则a、b、c 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求出二次函数的对称轴以及开口方向，
然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【详解】解：∵
∴二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上，
∴时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，
∵到3的距离为4，2到3的距离为1，4.5到3的距离为1.5，
∴a、b、c的大小关系.
故选：D．
如图，从点看一山坡上的电线杆，观测点的仰角是45°，向前走到达点，
测得顶端点和杆底端点的仰角分别是60°和30°，则该电线杆的高度（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，
根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，
再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
【详解】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x．
在直角△APE中，∠PAE=45°，
则AE=PE=x；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，，
∵AB=AE-BE=6，
则解得：
∴
在直角△BEQ中，
故选：A
如图，在中，，高，正方形一边在上，
点E，F分别在上，交于点N，则的长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，
根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】解：设正方形的边长，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵是的高，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故选：C．
如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，
已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根据圆周角定理可证∠C=∠B，又由AD=BD，可证∠B=∠DAB，即得∠DAP=∠C，可证△DAP∽△ACA，得到AD∶CD=DP∶AD，代值即可计算CD的长．
【详解】解：如图所示，连接AC，
由圆周角定理可知，∠C=∠B，
∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB，
∴∠DAP=∠C，
∴△DAP∽△DCA，
∴AD∶CD=DP∶AD，
得 ，
把，代入得，，
故选：C．
如图，△ABC的两条高AD，BE交于点F，连接ED，则下列结论：
①△ADC∽△BDF；②△BEC∽△ADC；③△ABD∽△ABE；
④△ABC∽△DEC；⑤△BDE∽△AED；⑥△BDF∽△AEF．
其中正确的为（ ）
A．①②③④ B．①②④⑥ C．①②⑤⑥ D．②③④
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：∵△ABC的两条高AD，BE交于点F，
∴∠AEF＝∠FDB＝90°，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠EAF＝∠DBF，
∴△AFE∽△BFD，故⑥正确，
∵∠ADC＝∠BDF＝90°，
∴△ADC∽△BDF，故①正确，
∵∠BEC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，
∴△BEC∽△ADC，故②正确，
∴，
∴，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DEC，故④正确，
③⑤不满足相似的条件，结论错误．
故选：B．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由比例的基本性质，可得，进而得，代入计算即可．
详解】解：
将其代入得：
原式
故答案为：
12. 如图，是的直径，是弦，若，则________
【答案】
【分析】先由圆周角定理可知∠ADB=90°，再求出∠ADC=64°，然后由圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC+∠CDB=90°，
∴∠ADC=90°-∠CDB=90°-26°=64°，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC=64°，
故答案为：
学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．
则小明和小慧同车的概率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解：列表如下三辆车分别用1，2，3表示：
1 2 3
1
2
3
所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种，
则，
故答案为：．
一辆汽车行驶的路程（单位：m）关于时间（单位：s）的函数解析式是，
经过16s汽车行驶了 m．
【答案】272
【分析】根据题意把代入函数解析式求出的值即可．
【详解】解：当时，．
故答案是：272．
15 .如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，
动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．
如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是 ．
【答案】3秒或4.8秒
【分析】如果以点、、为顶点的三角形与相似，由于与对应，那么分两种情况：
①与对应；②与对应．根据相似三角形的性质分别作答．
【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．
①当D与B对应时，有ADE∽ABC．
∴AD：AB＝AE：AC，
∴t：6＝（12﹣2t）：12，
∴t＝3；
②当D与C对应时，有ADE∽ACB．
∴AD：AC＝AE：AB，
∴t：12＝（12﹣2t）：6，
∴t＝4.8．
故当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒，
故答案为：3秒或4.8秒．
16 .如图，点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为（8，0），
以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，则点C的坐标为 ，
若二次函数的图像经过点A，C，B．已知点P是该抛物线上的动点，当∠APB是锐角时，
点P的横坐标x的取值范围是 ．
【答案】 （0，-4） 0＜x＜6
【详解】试题分析：连接CO/，由点A的坐标与点B的坐标可得圆的直径，即可得到半径，
再根据勾股定理即可求得点C的坐标；根据抛物线的对称性，直径所对的圆周角是直角，
再根据∠APB是锐角，即可得到结果.
如图，连接CO/，
由题意得AB=10，则AO/=CO/=5，OO/=3
，
，解得，
∴点C的坐标为(0，-4)，
二次函数的图像经过点A，C，B，
∴抛物线的对称轴为，
∴点C关于对称轴的对称点为（6，-4）
直径所对的圆周角是直角，
∴当∠APB是锐角时，点P的横坐标的取值范围是或或.
三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球
（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球．
若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，
摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，
求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率．
【答案】
【分析】根据题意作图树状图，可知共有6种可能情况，
而满足条件的有2种情况，进而求概率即可．
【详解】解：根据题意，可作树状图如下，
由树状图可知，共有6种可能情况，满足条件的有2种情况，
所以，得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率为．
18 .如图，AB是的直径，四边形ABCD内接于，OD交AC于点E，AD=CD．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）先根据垂径定理推出，从而得到，
再根据直径所对的圆周角是直角得到，所以，从而结论得证；
设半径为r，再根据勾股定理列出方程求出r，从而求出直径AB的值，
再次根据勾股定理可求出BC即可．
【详解】解：（1），
∴=
又为半径，
，
为直径，
，
（2）设圆的半径为r
，，
，
在中，
即，所以，
，O是AC，AB的中点
，
19 .如图所示，以的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，
球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，
球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有关系式.
解答以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到 如能，需要飞行多少时间？
（2）球飞行到最高点时的高度是多少？
【答案】（1）能，1或3；（2）20m
【分析】（1）当h=15米时，15=20t-5t2，解方程即可解答；
（2）求出当的最大值即可.
【详解】解；（1）解方程：
，
解得：，
需要飞行1s或3s；
（2），
当时，h取最大值20，
∴球飞行的最大高度是.
20 .无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），无人机在离地面处，
无人机测得操控者的俯角为，测得教学楼顶处的俯角为，
经测量操控者和教学楼距离为米，若教学楼的高度为米，
求此时无人机距离地面的高度.
（注：点，，，在同一平面上参考数据，，）
【答案】无人机距离地面的高度为米
【分析】过点作于点，过点作于点．则四边形是矩形，
在中，由，求得，根据，
求得，即可求得．
【详解】解：过点作于点，过点作于点．
则四边形是矩形，，
由题意得，，，，．
在中，，
∴，
在中，，
．
∵
．
∴,
．
答：无人机距离地面的高度为米．
21. 边长为4的正方形ABCD，在BC边上取一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F．
(1)求证：△ABE∽△ECF；
(2)若CF的长为1，求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)CE=2
【分析】（1）结合图形由∠AEB+∠FEC=90°，∠AEB+∠BAE=90°推出∠BAE=∠FEC，
根据正方形的性质得到∠B=∠C=90°，从而推出△ABE∽△ECF；
（2）根据相似三角形的性质和线段之间的和差关系求解即可．
【详解】（1）证明：∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF；
（2）解：∵△ABE∽ECF，
∴，
∴，
解得CE=2．
22. 已知二次函数的图象经过点和.
（1）求，满足的关系式；
（2）当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围；
（3）若函数图象与轴无交点，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）把和分别代入解析式，即可确定a和b的关系；
（2）先表示表示出对称轴，在根据自变量的值满足时，随的增大而增大可确定的范围；
（3）根据函数图象与轴无交点，把表示出来，根据a的取值范围即可求解．
【小问1详解】
把和分别代入函数式，
得方程组.
由这个方程组得.
所以，满足的关系式为.
【小问2详解】
∵当自变量的值满足时，随的增大而增大，且，
∴.
∵，
∴，解得.
所以的取值范围是.
【小问3详解】
由（1）得，，
又∵函数图象与轴无交点，
∴，解得.
∵，
∴当时，的最小值为，当时，.
∴的取值范围是
23.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．
（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．
【答案】（1）详见解析；（2）65°；（3）．
【分析】（1）连接AD，利用圆周角定理推知AD⊥BD，然后由等腰三角形的性质证得结论；
根据已知条件得到∠EOD＝50°，结合圆周角定理求得∠DAC＝25°，
所以根据三角形内角和定理求得∠ABD的度数，则∠C＝∠ABD，得解；
设半径OD＝x．则AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，
根据射影定理知：BD2＝BF AB，据此列出方程求得x的值，最后代入弧长公式求解．
【详解】（1）证明：如图，连接AD．
∵AB是圆O的直径，
∴AD⊥BD．
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD．
（2）解：∵弧DE＝50°，
∴∠EOD＝50°．
∴∠DAE＝∠DOE＝25°．
∵由（1）知，AD⊥BD，则∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABD＝65°．
（3）∵BC＝8，BD＝CD，
∴BD＝4．
设半径OD＝x．则AB＝2x．
由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，
∵AD⊥BD，DF⊥AB，
∴BD2＝BF AB，即42＝x 2x．
解得x＝4．
∴OB＝OD＝BD＝4，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°．
∴弧BD的长是：＝．
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