重庆市永川区2023-2024学年高一上学期12月第二次联考模拟数学试题（一）（含答案）

重庆市永川区2023-2024学年高一上学期12月第二次联考模拟
数学试题（一）
一、单项选择题（本大题共8小题，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知集合中所含元素的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．设命题，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．设，则是的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分且必要 D．既不充分也不必要
4．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．9 B．25 C．16 D．12
7．已知函数，若，，均不相等，且= =，则的取值范围是（ ）
A．（1，10） B．(5，6) C．(10，12) D．(20，24)
8．已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分。）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则与是终边相同的角
B．若角的终边过点，则
C．若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度
D．若，则角的终边在第一象限或第三象限
10．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的解集为
C．
D．的解集为
11．下列说法正确的是（ ）
A．若都是正数，且，则的最小值是3
B．若，则
C．若，则的最小值为2
D．已知，且，则
12．已知函数的定义域为D，存在，对一切，若时，都有恒成立，则下列符合题意的函数有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
13．设函数，则的单调递增区间为 ．
14．设函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为 ．
15．设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
16．已知某种药物在血液中以每小时的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物，设经过个小时后，药物在病人血液中的量为.
（1）与的关系式为 .
（2）当该药物在病人血液中的量保持在以上，才有疗效；而低于，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过 小时（精确到.
（参考数据：）
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（满分10分）已知集合 ，，且．
(1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围．
18．（满分12分）已知函数在上有定义，且满足.
(1)求函数的解析式；
(2)若，对均有成立，求实数m的取值范围.
19．（满分12分）已知，．
(1)求的值；
(2)若，试比较与的大小．
20．（满分12分）已知是定义在上的奇函数．
求的解析式；
判断并证明的单调性；
解不等式：
21．（满分12分）比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速．经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：
0 10 40 60
0 1420 4480 6720
为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；．
(1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；
(2)现有一辆同型号纯电动汽车从重庆市中心行驶到成都市中心，其中，国道上行驶，高速上行驶．假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：）满足，且每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足）．则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？
22．（满分12分）已知函数的定义域为.
(1)求实数m的值；
(2)设函数，对函数定义域内任意的，，若，求证：；
(3)若函数在区间上的值域为，求的值.
参考答案
1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．B
7．C 解：函数的图象如图所示，不妨设，则，
所以，，所以，，所以，故选：C
8．A 【详解】函数满足，所以有：
，，
函数满足在上单调递增，由，所以，即
9．CD 【详解】对于A：当时，，但终边不同，故A错误；
对于B：，当时，，故B错误；
对于C：由，得，故C正确；
对于D：，即与同号，则角的终边在第一象限或第三象限，故D正确；
10．AD 【详解】因为关于的不等式的解集为或，
所以且方程的两个根为，，即.
因此选项A正确；因为，，所以由，因此选项B不正确；
由可知：，因此选项C不正确；
因为，所以由，解得：，因此选项D正确，
11．ABD 【详解】解：对于A，都是正数，且，故
所以，当且仅当，即时等号成立，所以，的最小值是，故A选项正确；
对于B，由得，所以，故B选项正确；
对于C，，则，故，当且仅当，即时等号成立，显然无解，故，C选项错误；
对于D，由，且得，所以，故，即，故D选项正确
12．ABCD【详解】，
对A：取成立，A对；对B：对于函数，有对称轴在，单调递减，在区间，单调递增，取时，对任意成立，B对；对C：取成立，C对；
对D：的，取成立，D对.
13．
14． 【详解】作出函数的大致图象，
令，因为恰有6个不同的实数解，
所以在区间上有2个不同的实数解，
，
解得，实数的取值范围为．故答案为：．
15． 【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
16．
【详解】由题意得，即；
令，整理得，因为函数单调递减，，所以，故不能超过7.2小时.
故答案为：①；②7.2.
17．【详解】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，
又，所以 ，解得．
（2）因为，所以，得．
因为命题q：“，”是真命题，所以，
所以，或，得．
综上，．
18．【详解】（1），
∴，
又∵，
∴.
（2），对均有成立，
在上单调递增，，
依题意有对均有成立，
即在时恒成立，
∴，解得，∴实数m的取值范围是.
19．【详解】（1）对于，两边平方得，
所以，∵，∴，，所以，
∴，∴；
（2）联立，解得，所以，
因为，且，所以分子分母同除以有：，解得．
∴.
20．【详解】解：是定义在上的奇函数，
，即．
又．
函数在上为增函数．
证明如下，任取，
为上的增函数．
，即，
，解得，
解集为：
21．【详解】（1）解：对于③，当时，它无意义，故不符合题意，
对于②，当时，，又，
所以，故不符合题意，故选①，
由表中的数据可得，，解得
∴．
（2）解：高速上行驶，所用时间为，
则所耗电量为，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
∴，
国道上行驶，所用时间为，
则所耗电量为，
∵，∴当时，，
∴当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，
该车从重庆市中心行驶到成都市中心的总耗电量最少，最少为．
22．【详解】（1）因为函数的定义域为，
即的解集是或，所以，
则.
（2），
由于或，所以或，
解得或，所以的定义域是.
；
；
故.
（3）依题意，函数在区间上的值域为，
，
若，在单调递减，
且，
解得，所以；
若，在单调递增，
且，
解得，或（舍去），所以
综上所述：或者.