重庆市永川区2023-2024学年高一上学期12月第二次联考模拟数学试题（二）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
2．下列叙述正确的是（ ）
A．的角是第二象限的角 B．第二象限的角必大于第一象限的角
C．终边相同的角必相等 D．终边相同的角的同一个三角函数的值相等
3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
6．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知定义在上的函数满足，且时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，都有成立，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分。）
9．下列说法正确的有（ ）
A．命题“，x2+x+1＞0”的否定为“”
B．函数f（x）＝logax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，1）
C．已知函数f（x）＝|x|+2，则f（x）的图象关于直线x＝2对称
D．
10．下列四个选项中，正确的选项有（ ）
A．“不等式成立”的一个必要不充分条件是
B．若，，则
C．与不是同一函数
D．已知，且，若恒成立，则的取值范围为
11．下列表达式正确的是（ ）
A．若，则
B．在锐角中，恒成立
C．
D．，，
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若的图象与直线有三个交点，则实数
B．若有三个不同实数根，则
C．不等式的解集是
D．若对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是
三、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
13．已知某机械装置有两个相互鸣合的齿轮，大轮有48齿，小轮有18齿.如果小轮的转速为120转/分钟，大轮的半径为10cm，则大轮圆周上的一点每秒转过的弧长为 cm.
14．若二次函数在区间上存在零点，则实数m的取值范围是 .
15．已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是 .
16．激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.函数是常用的激活函数之一，其解析式为.给出以下结论：
①函数是增函数；②函数是奇函数；③函数的值域为；
④对于任意实数，函数至少有一个零点.
其中所有正确结论的序号是
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（满分10分）平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
(1)求sinα和tanα的值
(2)若，化简并求值
18．（满分12分）设集合，.
(1)若为空集，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
19．（满分12分）2022年夏天，重庆遭遇了极端高温天气，某空调厂家加大力度促进生产.生产某款空调的固定成本是1000万元，每生产千台，需另投入成本（单位：万元），，生产的空调能全部销售完，每台空调平均售价5千元．
(1)写出年利润（单位:万元）关于年产量x（单位:千台）的关系式；
(2)当年产量为多少千台时，这款空调的年利润最大？最大为多少？
20．（满分12分）若函数对任意，恒有．
（1）指出的奇偶性，并给予证明；
（2）如果时，，判断的单调性；
（3）在（2）的条件下，若对任意实数x，恒有．成立，求k的取值范围．
21．（满分12分）已知函数（且）的图像与函数的图像关于直线对称.
(1)若在区间上的值域为，求的值；
(2)在（1）的条件下，解关于的不等式.
22．（满分12分）已知函数.
(1)当时，解不等式；
(2)若对于任意的，都有，求实数m的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在，使在区间[，β]上的值域是？若存在，求实数m的取值范围:若不存在，说明理由.重庆市永川区2023-2024学年高一上学期12月第二次联考模拟数学试题（二）参考答案
一、单选题
1．C 2.D 3．B 4．B
5．【答案】D【详解】当时，，
当，，
所以函数的图像大致是选项D，故选：D
6．【答案】C【详解】因为函数的定义域为，
所以在上恒成立，当时，，得，不合题意，
当时，则，解得，综上实数的取值范围为
7．【答案】C定义在上的函数满足，所以关于对称，
当时，，因为在上单调递增,在上单调递减, 在上单调递增,所以在上单调递增，，因为，当，即时，
，
令，即或（舍），
所以画出的大致图象 由图象知，当时，，当时，，当时，，
所以，当时，，当时，，
当时，，当或时，，
所以不等式的解集为
8．【答案】A【详解】因为，，
所以，，，
又因为函数是定义在上的偶函数，
所以，
又因为对任意，且，都有成立，
所以函数在上单调递增，又由上可知，，
所以.
二、多选题
9．AB 10．ACD
11．【答案】BCD
【详解】A：，
又，故，错；
B：由题意且，则，所以，对；
C：，对；
D：由，
又，，故，故，
所以，对.
12．【答案】ABD【详解】对于A，如图，作出函数的图象，
由图可知，若的图象与直线有三个交点，则实数，故A正确；
对于B，如图，作出函数的图象，
由题意得两函数交点得横坐标为，不妨设，
则关于对称，故，
由图可知，所以，故B正确；
对于C，由函数的图象可知，当时，，
则由，可得，
则或，解得或，
所以不等式的解集是，故C错误；
对于D，当时，显然不成立，故舍去，
当时，可以通过向左平移个单位得到，
如图2 ，显然不成立，舍去，
当时，可以通过向右平移个单位得到，如图3，
以射线与相切为临界，
即，则，
所以，解得，所以，
综上所述，实数a的取值范围是，故D正确.
三、填空题
13．【答案】15π【详解】由题意知，小轮每秒转过的圈数为，
则每秒大轮转过的圈数为，所以大轮每秒转过的弧长为.
14．【答案】【详解】令，可得，即，
由函数在区间上存在零点，
即方程在区间上有解，
设，可得，
所以，即实数的取值范围是.
15．【答案】【详解】，函数单调递减，，故，
对任意的，都存在，使得，故的值域包含，
①当时，，解得，
此时，成立；
②当时，函数在上单调递减，，成立，
，解得，即；综上所述：.
16．【答案】①②③【详解】对于①，任取、，且，则，
所以，，
所以，，故函数是增函数，①对；
对于②，对任意的，，则函数的定义域为，
且，
，函数是奇函数，②对；
对于③，由可得，可得，
由，可得，解得，故函数的值域为，③对；
对于④，由③可知，，则，
当时，，此时，函数没有零点，④错.
故答案为：①②③.
四、解答题
17．【详解】（1）∵，由三角函数的定义得，；
（2∵，
∴.
18．【详解】（1）依题意，不等式解集为空集，
于是，即，解得，所以.
（2）不等式，解得，即，
，
当时，，则；
当时，，则，而，显然不是的子集；
当时，，则，
由，得，解得，
所以的取值范围是或.
19．【详解】（1）由题意得空调销售收入为（万），则
；
（2）由（1）得：当时，
∴当时，取得最大值250；
当时，
由勾形函数性质知在上递增，在上递减，
∴当时，取得最大值700.综上所述，当年产量为70000台时，年利润最大，最大为700万元.
20．【详解】（1）为奇函数；
证明：令，得，解得：
令，则，
所以函数为奇函数；
（2）在R上单调递减；
证明：任意取，且，则，
又，即
所以在R上单调递减；
（3）对任意实数x，恒有等价于成立
又在R上单调递减，
即对任意实数x，恒成立，
当时，即时，不恒成立；
当时，即时，则，解得：
所以实数k的取值范围为
21．【详解】（1）由题知，是的反函数，，故.
当时，根据指数函数，对数函数的单调性，均在单调递减，于是在上单调递减，故，此时不成立；
当时，根据指数函数，对数函数的单调性，均在单调递增，在上单调递增，故，此时成立. 综上可知：
（2）由（1）知，，为定义在的增函数，
根据，定义域满足：，解得.
由单调性和可得，，整理得，结合可知，
22．【详解】（1）∵∴的定义域为（1，+∞）.
由，
化简得，解得，又，
∴所求不等式的解集为.
（2）对于任意的，都有，等价于，
∵
设
则t在上是增函数，下面按照的单调性分类讨论:
当时，在上递减，则,解得，
当时，在上递增，则，解得与矛盾，故舍去.综上，.
（3）∵，∴在(,+∞)上递减，
∴，即，即关于x方程在(,+∞)上有两个不等的实根，
设，
则，即．综上，不存在这样的α，β满足条件.
