江苏省邗江中学（集团）2014-2015学年高二下学期期中考试数学（理）试题（普通班）
文档属性
| 名称 | 江苏省邗江中学（集团）2014-2015学年高二下学期期中考试数学（理）试题（普通班） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 128.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-05-05 16:38:20 | ||
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文档简介
江苏省邗江中学2014-2015学年度第二学期
高二数学期中试卷（理科普通班卷）
一、填空题：
1．已知是虚数单位，则 ▲ .
2．空间两点，之间的距离是 ▲ ．
3．用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应为__▲___．
4. 已知，，，，，由此可猜想__▲__．
5．二项式展开式中， 的系数为 ▲ ．
6．已知矩阵A－1 =，B－1 =，则 (AB)－1 = ▲．
7．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，则P＝_▲_.
8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为__▲____．
9．复平面内有三点，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则点对应的复数是____▲_____.
10．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值等于 ▲ ．
11．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的概率是___▲___．
12．设f(n)＝1＋(n∈N*)，则f(k＋1)－f(k)＝__▲___.
13．在某班进行的演讲比赛中，共有位选手参加，其中位女生，位男生.如果位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 ▲ .
(请用数字作答！)
14．若 且，则实数m的值是___▲__．
二、解答题：
15．已知是复数，若为实数（为虚数单位），且为纯虚数．
（1）求复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
16．二阶矩阵M对应的变换将点（1，－1）与（－2，1）分别变换成点（－1，－1）与（0，－2）．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）设直线在变换M作用下得到了直线m：2x－y=4，求的方程．
17.如图，在直三棱柱中，已知，，．
请建立合适的空间直角坐标系，解决以下问题：
（1）求异面直线与夹角的余弦值；
（2）求二面角平面角的余弦值．
18．已知在的展开式中，第6项为常数项.
（1）求n；
（2）问展开式中的有理项分别为第几项？说明理由．
19.某四星高中推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，授予10分降分资格；考核为优秀， 授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等级相互独立．
(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；
(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．
20. 已知.
（1）求的值；
（2）判断与的关系，并用数学归纳法证明.
高二数学期中试卷（理科普通班）
参考答案及评分标准
1． 2． 3． ＝或< 4． 5． 45
6． 7． 8． 1∶8 9． 10．
11． （或未化简，） 12．
13． 60 14． -3或1
15．已知是复数，若为实数（为虚数单位），且为纯虚数．
（1）求复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围
解：（1）设． 1分
由为实数，得，即． 3分
由为纯虚数，得． 5分
∴． 6分
（2）∵， 8分
根据条件，可知 12分
解得，
∴实数的取值范围是． 14分
16．二阶矩阵M对应的变换将点（1，－1）与（－2，1）分别变换成点（－1，－1）与（0，－2）．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）设直线在变换M作用下得到了直线m：2x－y=4，求的方程
解：（Ⅰ）设，则有=，=，
所以， 4分
解得 所以M= 6分
（Ⅱ）因为且m：2， 10分
所以2（x+2y）－（3x+4y）=4，即x+4 =0，这就是直线l的方程 14分
17.如图，在直三棱柱中，已知，，．
请建立合适的空间直角坐标系，解决以下问题：
（1）求异面直线与夹角的余弦值；
（2）求二面角平面角的余弦值．
17．如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系．
则，，，，所以，，
，．
（1）因为，
所以异面直线与夹角的余弦值为．
…………………………7分
（2）设平面的法向量为，
则 即
取平面的一个法向量为；
设平面的法向量为，则 即
取平面的一个法向量为；
则，
所以二面角平面角的余弦值为． …………………………15分
18．已知在的展开式中，第6项为常数项.
（1）求n；
（2）问展开式中的有理项分别为第几项？说明理由。
（1）
故. 7分
（2）设展开式中的有理项为
则，故r =2，5，8
展开式中的有理项分别为第3项，第6项，第9项. 8分
19.某四星高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，授予10分降分资格；考核为优秀， 授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等级相互独立．
(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；
(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．
【解析】(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.
则事件A、B、C是相互独立事件，事件与事件E是对立事件，于是
P(E)＝1－P()＝1－(1－)(1－)(1－)＝. 6分
(2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60.
P(ξ＝30)＝P()＝(1－)(1－)(1－)＝，
P(ξ＝40)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝，
P(ξ＝50)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝，
P(ξ＝60)＝P(ABC)＝. 14分
所以ξ的分布列为 16分
ξ
30
40
50
60
P
20. 已知.
（1）求的值；
（2）判断与的关系，并用数学归纳法证明。
解：（1）， ,1189 3分
（2）
①n=1时，3=1+2成立 5分
②假设时， 6分
时，
10分
时结论成立。 14分
综上：由①②知： 16分
高二数学期中试卷（理科普通班卷）
一、填空题：
1．已知是虚数单位，则 ▲ .
2．空间两点，之间的距离是 ▲ ．
3．用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应为__▲___．
4. 已知，，，，，由此可猜想__▲__．
5．二项式展开式中， 的系数为 ▲ ．
6．已知矩阵A－1 =，B－1 =，则 (AB)－1 = ▲．
7．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，则P＝_▲_.
8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为__▲____．
9．复平面内有三点，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则点对应的复数是____▲_____.
10．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值等于 ▲ ．
11．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的概率是___▲___．
12．设f(n)＝1＋(n∈N*)，则f(k＋1)－f(k)＝__▲___.
13．在某班进行的演讲比赛中，共有位选手参加，其中位女生，位男生.如果位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 ▲ .
(请用数字作答！)
14．若 且，则实数m的值是___▲__．
二、解答题：
15．已知是复数，若为实数（为虚数单位），且为纯虚数．
（1）求复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
16．二阶矩阵M对应的变换将点（1，－1）与（－2，1）分别变换成点（－1，－1）与（0，－2）．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）设直线在变换M作用下得到了直线m：2x－y=4，求的方程．
17.如图，在直三棱柱中，已知，，．
请建立合适的空间直角坐标系，解决以下问题：
（1）求异面直线与夹角的余弦值；
（2）求二面角平面角的余弦值．
18．已知在的展开式中，第6项为常数项.
（1）求n；
（2）问展开式中的有理项分别为第几项？说明理由．
19.某四星高中推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，授予10分降分资格；考核为优秀， 授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等级相互独立．
(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；
(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．
20. 已知.
（1）求的值；
（2）判断与的关系，并用数学归纳法证明.
高二数学期中试卷（理科普通班）
参考答案及评分标准
1． 2． 3． ＝或< 4． 5． 45
6． 7． 8． 1∶8 9． 10．
11． （或未化简，） 12．
13． 60 14． -3或1
15．已知是复数，若为实数（为虚数单位），且为纯虚数．
（1）求复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围
解：（1）设． 1分
由为实数，得，即． 3分
由为纯虚数，得． 5分
∴． 6分
（2）∵， 8分
根据条件，可知 12分
解得，
∴实数的取值范围是． 14分
16．二阶矩阵M对应的变换将点（1，－1）与（－2，1）分别变换成点（－1，－1）与（0，－2）．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）设直线在变换M作用下得到了直线m：2x－y=4，求的方程
解：（Ⅰ）设，则有=，=，
所以， 4分
解得 所以M= 6分
（Ⅱ）因为且m：2， 10分
所以2（x+2y）－（3x+4y）=4，即x+4 =0，这就是直线l的方程 14分
17.如图，在直三棱柱中，已知，，．
请建立合适的空间直角坐标系，解决以下问题：
（1）求异面直线与夹角的余弦值；
（2）求二面角平面角的余弦值．
17．如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系．
则，，，，所以，，
，．
（1）因为，
所以异面直线与夹角的余弦值为．
…………………………7分
（2）设平面的法向量为，
则 即
取平面的一个法向量为；
设平面的法向量为，则 即
取平面的一个法向量为；
则，
所以二面角平面角的余弦值为． …………………………15分
18．已知在的展开式中，第6项为常数项.
（1）求n；
（2）问展开式中的有理项分别为第几项？说明理由。
（1）
故. 7分
（2）设展开式中的有理项为
则，故r =2，5，8
展开式中的有理项分别为第3项，第6项，第9项. 8分
19.某四星高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，授予10分降分资格；考核为优秀， 授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等级相互独立．
(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；
(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．
【解析】(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.
则事件A、B、C是相互独立事件，事件与事件E是对立事件，于是
P(E)＝1－P()＝1－(1－)(1－)(1－)＝. 6分
(2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60.
P(ξ＝30)＝P()＝(1－)(1－)(1－)＝，
P(ξ＝40)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝，
P(ξ＝50)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝，
P(ξ＝60)＝P(ABC)＝. 14分
所以ξ的分布列为 16分
ξ
30
40
50
60
P
20. 已知.
（1）求的值；
（2）判断与的关系，并用数学归纳法证明。
解：（1）， ,1189 3分
（2）
①n=1时，3=1+2成立 5分
②假设时， 6分
时，
10分
时结论成立。 14分
综上：由①②知： 16分